D0I:10.13374/1.issm100103.2008.0L.022 第30卷第1期 北京科技大学学报 Vol.30 No.1 2008年1月 Journal of University of Science and Technology Beijing Jan.2008 类具有状态及控制滞后的不确定系统的鲁棒控制 赵立英刘坤刘贺平 1)北京科技大学应用科学学院，北京1000832)北京科技大学信息工程学院，北京100083 摘要针对一类具有状态及控制滞后的不确定系统，研究了其鲁棒H控制，用线性矩阵不等式的方法设计了一种状态反 馈控制器·该控制器在鲁棒镇定系统的同时，能保证闭环系统从扰动到被控输出的H范数小于某一给定的常数. 关键词时滞系统；不确定性：鲁棒H控制：线性矩阵不等式 分类号TP273 Robust control for a class of uncertain systems with delayed state and control ZHAO Liying.LIU Kun,LIU Heping 1)School of Applied Science.University of Science and Technology Beijing.Beijing 100083.China 2)School of Information Engineering.University of Science and Technology Beijing Beijing 100083.China ABSTRACI The problem of robust Hee control was discussed for a class of uncertain systems with delayed state and control.A state feedback controller was designed in terms of linear matrix inequality (L MI).It stabilized the systems and simultaneously guaranteed a pre"specified H disturbance attenuation constraint for all admissible uncertainties. KEY WORDS time-delay systems:uncertainty:robust Ho control:LMI 实际系统的数学模型中不可避免地带有不确定 系统的范数有界时变不确定性；d(t),d2(t)分别 性.文献[1一4]讨论了一类时滞不确定系统的鲁棒 为系统的状态时变时滞与控制输入时变时滞，且满 控制问题，但是系统仅在状态输入中含有时滞，本 足0≤d(t)<∞，a1(t)≤a<1,0≤d2(t)<o∞， 文在文献[1]系统的控制通道中加入了时滞滯环节，因 d2(t)≤B1. 而所考虑系统更具有实际意义· 假设干扰信号0(t)∈R',且0(t)∈L2[0, 1系统描述 ∞)，系统的时变参数不确定性满足 [△A△A1△B2]= 考虑如下不确定时滞系统： M1F1(t)[E1 E2 E3] x(t)=(A十△A)x(t)+(A1十△A1)x(t (2) [△C△C1AD2]= d(t)+Bo(t)十(B2十△B2)u(t-d2(t) M2F2(t)[E4E5E6] z(t)=(C+△C)x(t)+(C十△C)x(t- 其中，M1,M及E:(i=1,…,6)为已知实数矩阵； d(t)+Do(t)+(D2十△Dz)u(t-d2(t) F(t)和F2(t)为未知矩阵函数，每一元素都是 、x(t)=(t),t∈[一4,0] (1) Lebesque可测的，且满足F(t)F(t)I, 式中，状态向量x(t)∈R:控制输入向量u(t)∈ F吃(t)F2(t)≤I, Rm;A,A1,B1,B2,C,C1,D1,D2为已知的适当维 本文涉及系统二次稳定和H∞范数界Y约束下 数的实常数矩阵；△4，△A1,△B2,△C,△C1,△D2为 鲁棒二次稳定的概念， 定义1]考虑系统 收稿日期：2006-08-20修回日期：2006-11-17 x(t)=f[x(t),x(t-di(t)),x(t-d2(t)),t] 基金项目：北京科技大学建龙创业基金资助项目 (3) 作者简介：赵立英(1965一)，女，副教授 如果存在函数V(x(t),t)和正常数1,2,3及
一类具有状态及控制滞后的不确定系统的鲁棒控制 赵立英 刘 坤 刘贺平 1） 北京科技大学应用科学学院北京100083 2） 北京科技大学信息工程学院北京100083 摘 要 针对一类具有状态及控制滞后的不确定系统研究了其鲁棒 H∞控制用线性矩阵不等式的方法设计了一种状态反 馈控制器．该控制器在鲁棒镇定系统的同时能保证闭环系统从扰动到被控输出的 H∞范数小于某一给定的常数． 关键词 时滞系统；不确定性；鲁棒 H∞控制；线性矩阵不等式 分类号 TP273 Robust control for a class of uncertain systems with delayed state and control ZHA O LiyingLIU KunLIU Heping 1） School of Applied ScienceUniversity of Science and Technology BeijingBeijing100083China 2） School of Information EngineeringUniversity of Science and Technology BeijingBeijing100083China ABSTRACT T he problem of robust H∞ control was discussed for a class of uncertain systems with delayed state and control．A state feedback controller was designed in terms of linear matrix inequality （LMI）．It stabilized the systems and simultaneously guaranteed a pre-specified H∞ disturbance attenuation constraint for all admissible uncertainties． KEY WORDS time-delay systems；uncertainty；robust H∞ control；LMI 收稿日期：2006-08-20 修回日期：2006-11-17 基金项目：北京科技大学建龙创业基金资助项目 作者简介：赵立英（1965—）女副教授 实际系统的数学模型中不可避免地带有不确定 性．文献［1—4］讨论了一类时滞不确定系统的鲁棒 控制问题但是系统仅在状态输入中含有时滞．本 文在文献［1］系统的控制通道中加入了时滞环节因 而所考虑系统更具有实际意义． 1 系统描述 考虑如下不确定时滞系统： x · （t）＝（A＋ΔA） x（t）＋（A1＋ΔA1）x（t— d1（t））＋B1ω（t）＋（B2＋ΔB2） u（t—d2（t）） z（t）＝（C＋ΔC） x（t）＋（C1＋ΔC1）x（t— d1（t））＋D1ω（t）＋（D2＋ΔD2） u（t—d2（t）） x（t）＝φ（t）t∈［—μ0］ （1） 式中状态向量 x（ t）∈R n；控制输入向量 u（ t）∈ R m；AA1B1B2CC1D1D2 为已知的适当维 数的实常数矩阵；ΔAΔA1ΔB2ΔCΔC1ΔD2 为 系统的范数有界时变不确定性；d1（ t）d2（ t）分别 为系统的状态时变时滞与控制输入时变时滞且满 足0≤ d1（ t）＜∞d · 1（ t）≤α＜10≤ d2（ t）＜∞ d · 2（ t）≤β＜1． 假设干扰信号 ω（ t）∈R l且 ω（ t ）∈L2［0 ∞）．系统的时变参数不确定性满足 ［ΔA ΔA1 ΔB2］＝ M1F1（ t）［ E1 E2 E3］ ［ΔC ΔC1 ΔD2］＝ M2F2（ t）［ E4 E5 E6］ （2） 其中M1M2 及 Ei（ i＝1…6）为已知实数矩阵； F1（ t ）和 F2（ t ）为未知矩阵函数每一元素都是 Lebesgue 可 测 的且 满 足 F T 1 （ t ） F1 （ t ） ≤ I F T 2（ t）F2（ t）≤ I． 本文涉及系统二次稳定和 H∞范数界 γ约束下 鲁棒二次稳定的概念． 定义1［5］ 考虑系统 x · （ t）＝ f ［ x（ t）x（ t— d1（ t））x（ t— d2（ t））t ］ （3） 如果存在函数 V （ x（ t）t）和正常数 τ1τ2τ3 及 第30卷 第1期 2008年 1月 北 京 科 技 大 学 学 报 Journal of University of Science and Technology Beijing Vol．30No．1 Jan．2008 DOI:10．13374／j．issn1001－053x．2008．01．022
.106 北京科技大学学报 第30卷 K6类函数9(r),92(r)使得 Q十EE十h团十2圆E2十2lhB<0. (1)9(‖x(t)‖)≤V(x(t),t)≤ 292(x(t)ll), 2主要结果 (②)(x(),t)≤-3‖x(t)‖2， 考虑系统(I)在状态反馈控制律u(t)=Kr(t) 则称系统（③）是二次稳定的. 下的二次稳定性.将u(t)=K(t)代入(I),则闭 定义2]对于系统(1)，如果存在状态反馈控 环系统为： 制器u(t)=Kx(t),其中K∈RmXn,使得系统满足 ()=(A+MiFIE)x(+(A1+ (1)o(t)三0时，闭环系统是二次稳定的， MiFiE2)x(t-di(t))Bi(t)+ (2)给定一常数Y>0,在零初始条件下，满足 (B2 K+MiF1E3 K)x(t-d2(t)) H∞范数约束条件‖z(t)‖2≤y‖o(t)‖2，则称 z(t)=(C+MF2E4)x(t)十(C1+(4) 系统(1)是具有H范数界Y约束下鲁棒二次稳 M2 F2 Es)x(t-di(t))+Di(t)+ 定的， (D2K+M2 F2 E6K)x(t-d2(t)) 引理山给定适当维数的实数矩阵Q,, x(t)=p(t),t∈[-“，0] E,H,E2,△1(t),△(t),其中Q为对称矩阵，且 通过研究闭环系统(4)的二次稳定性和H特性，得 △T(t)△1(t)≤I,△5(t)△(t)≤I,则Q+ 出下面的定理， h△(t)E+E△T(t)+△(t)E2+ 定理1给定一常数Y>0,对任意满足(2)式 EB△过(t)H<0成立的充分必要条件为，存在e1> 的不确定矩阵F(t)和F2(t),如果存在对称正定 0,2>0,使得 矩阵P,S,S2,使得 P(A1+MFF2)P(B2 K+MF1 Es K)PB (C+MF2E)T (A1+MiFE2)P -(1-a)S 0 0 (C十MF2)T (B2 K+MF Es K)P 0 -(1-352 0 (D2 K+MkF2 E6 K) <0 (5) BP 0 0 -Y1 D C+M2F2E C1+M2 F2Es D2 K M2 F2 E K D -1 成立，则闭环系统(4)是二次稳定的，且满足‖z(t)‖≤ r'()Px()+ x'(0)S1x()d0+ -d() y‖o(t)‖l2,Ho(t)∈L2[0,∞).其中2=(A+ MF1E1)T P+P(A+MiF1E)+S1+S2. 证明：构造Lyapunov函数 为了讨论闭环系统(4)的二次稳定性，令0(t)三0， V(x(t),t)= 这时 x(t) E P(A1+M1F1E2)P(B2 K+M1F1Es K) (x(t),t)≤ x(t-di(t)) (A1+MiFE2)T P -(1-a)S1 0 Lx(t-d2(t) (B2 K+MiF1Es K)TP 0 -(1-PBS2 x(t) x(t) 1T「 x(t) x(t-d1(t)△x(t-d1(t) x(t-di(t)) x(i-d2(t)) Lx(t-d2(t)) Lx(t-d2(t)) 由(5)式可以得出20，所以入(2)<0，于是 入(2)[‖x(t)‖2+‖x(t-d(t)‖2+ V(x(t),t)≤ ‖x(t-d2(t)‖2]≤入m(2)‖x(t)l2. x(t) 令=-入x(2),则>0，从而有(x(t),t)≤ [xT()x(-d()x(-d2()]x(-d() 一τ‖x()‖2，所以闭环系统(4)是二次稳定的. _x(t-d2(1)) 为了讨论闭环系统(4)的H∞特性，令初始值
K ［6］类函数 φ1（ r）φ2（ r）使得 （1） τ1φ1 （‖ x （ t ） ‖） ≤ V （ x （ t ）t ） ≤ τ2φ2（‖x（ t）‖） （2） V · （ x（ t）t）≤—τ3‖x（ t）‖2 则称系统（3）是二次稳定的． 定义2［7］ 对于系统（1）如果存在状态反馈控 制器 u（ t）＝ Kx（ t）其中 K∈R m× n使得系统满足 （1） ω（ t）≡0时闭环系统是二次稳定的 （2） 给定一常数 γ＞0在零初始条件下满足 H∞范数约束条件‖ z （ t）‖2≤γ‖ω（ t）‖2则称 系统（1）是具有 H∞ 范数界 γ约束下鲁棒二次稳 定的． 引理［1］ 给定适当维数的实数矩阵 QH1 E1H2E2Δ1（ t）Δ2（ t）其中 Q 为对称矩阵且 ΔT 1（ t ） Δ1（ t ） ≤ IΔT 2 （ t ） Δ2（ t ） ≤ I则 Q ＋ H1Δ1（ t ） E1＋ E T 1 ΔT 1 （ t ） H T 1 ＋ H2Δ2（ t ） E2＋ E T 2ΔT 2（ t） H T 2＜0成立的充分必要条件为存在ε1＞ 0ε2＞0使得 Q＋ε1E T 1 E1＋ε—1 1 H1H T 1＋ε2E T 2 E2＋ε—1 2 H2H T 2＜0． 2 主要结果 考虑系统（1）在状态反馈控制律 u（ t）＝ Kx（ t） 下的二次稳定性．将 u（ t）＝ Kx（ t）代入（1）则闭 环系统为： x · （ t）＝（ A＋ M1F1E1） x（ t）＋（ A1＋ M1F1E2） x（ t— d1（ t））＋B1ω（ t）＋ （B2K＋ M1F1E3K） x（ t— d2（ t）） z（ t）＝（C＋ M2F2E4） x（ t）＋（C1＋ M2F2E5） x（ t— d1（ t））＋ D1ω（ t）＋ （ D2K＋ M2F2E6K） x（ t— d2（ t）） x（ t）＝φ（ t）t∈［—μ0］ （4） 通过研究闭环系统（4）的二次稳定性和 H∞特性得 出下面的定理． 定理1 给定一常数 γ＞0对任意满足（2）式 的不确定矩阵 F1（ t）和 F2（ t）如果存在对称正定 矩阵 PS1S2使得 Σ P（A1＋ M1F1F2） P（B2K＋ M1F1E3K） PB1 （C＋ M2F2E4） T （A1＋ M1F1E2） T P —（1—α）S1 0 0 （C1＋ M2F2E5） T （B2K＋ M1F1E3K） T P 0 —（1—β）S2 0 （D2K＋ M2F2E6K） T B T 1P 0 0 —γ2I D T 1 C＋ M2F2E4 C1＋ M2F2E5 D2K＋ M2F2E6K D1 —I ＜0 （5） 成立则闭环系统（4）是二次稳定的且满足‖z（t）‖2≤ γ‖ω（ t）‖2∀ω（ t）∈L2［0∞）．其中 Σ＝（ A＋ M1F1E1） T P＋P（ A＋ M1F1E1）＋S1＋S2． 证明：构造 Lyapunov 函数 V （ x（ t）t）＝ x T （ t） Px（ t）＋∫ t t－d1 （ t） x T （θ） S1x（θ）dθ＋ ∫ t t－d2 （ t） x T （θ） S2x（θ）dθ． 为了讨论闭环系统（4）的二次稳定性令 ω（ t）≡0 这时 V · （ x（ t）t）≤ x（ t） x（ t— d1（ t）） x（ t— d2（ t）） T Σ P（ A1＋ M1F1E2） P（B2K＋ M1F1E3K） （ A1＋ M1F1E2） T P —（1—α） S1 0 （B2K＋ M1F1E3K） T P 0 —（1—β） S2 × x（ t） x（ t— d1（ t）） x（ t— d2（ t）） ≜ x（ t） x（ t— d1（ t）） x（ t— d2（ t）） T Ω x（ t） x（ t— d1（ t）） x（ t— d2（ t）） ． 由（5）式可以得出 Ω＜0所以 λmax（Ω）＜0于是 V · （ x（ t）t）≤ ［ x T （ t） x T （ t— d1（ t）） x T （ t— d2（ t））］ Ω x（ t） x（ t— d1（ t）） x（ t— d2（ t）） ≤ λmax（Ω）［‖x（ t）‖2＋‖x（ t— d1（ t））‖2＋ ‖x（ t— d2（ t））‖2］≤λmax（Ω）‖x（ t）‖2． 令τ＝—λmax（Ω）则 τ＞0从而有 V · （ x（ t）t）≤ —τ‖x（ t）‖2所以闭环系统（4）是二次稳定的． 为了讨论闭环系统（4）的 H∞ 特性令初始值 ·106· 北 京 科 技 大 学 学 报 第30卷
第1期 赵立英等：一类具有状态及控制滞后的不确定系统的鲁棒控制 .107, 9(t)=0. d2(t),(t)]T,此时(x(t),t)≤(t)N, 设5(t)=[x(t),x(t-d(t),x(t- (t),其中 E P(A1+M1F1E2)P(B2 K+M1F1E3 K)PBi (A1+MiF1E2)P -(1-a)S 0 0 (B2 K+M1F1Es K)P 0 -(1-52 0 BP 0 0 0 所以z'(t)z(t)-Yo'(t)o(t)+(x(t),t)≤(t)(t), 1 Φ12 Φ13 PB1+(C+Mz F2 E)T Di 2 重22 Φ23 (C1+M2 F2 Es)D Φ= (6) 3 Φ33 D2 K+M2 F2 E K)Di L DI (C+M2 F2E)DI(C1+M2 F2 Es)DI (D2 K+M2 F2 E6 K) DIDI-YI 其中， o(t)]dt,所以有 Φ11=2+(C+MF2E4)'(C+M2F2E4), J=Jo [z"(t)z(t)-YoT(t)()+ Φ12=P(A1十M1F1E2)+ (C+M2 F2 E)(C1+M2 F2 Es), (x(t)t)]H≤05(e)(t)d≤0. ①13=P(B2K+MFEK)+ (C+M2 F2 E4)(D2 K+M2 F2 Es K), 所以‖z(t)‖2≤y‖o(t)‖2，Ho(t)∈L2[0, Φ22=(C1十MF2E)T· 0o) (C+M2F2Es)-(1-a)S1, 综上所述，定理1得证， D23=(C1+M2 F2 Es)(D2 K+M2 Fz E6 K), 给出的定理2是将系统(4)镇定的充分条件表 示为系统的LMI求解问题. D3=(D2K+M2F2E6K)T· 定理2对于系统(1)，给定一常数Y>0,存在 (D2K+MF2E6K)-(1-B)S2 对称正定矩阵P,S1,S2,使得不等式条件(5)成立 根据Schur引理，式(5)可等价于Φ<0. 的充分必要条件是，存在©10,20，适当维数的 此时引入J=。[z()z(t)-Yw'(t)· 矩阵W及对称正定矩阵X,Y,V∈Rx,使得下面 线性矩阵不等式 XE XE AIV B2W B1 XCT X E1X 一e1I 0 E2V E3 W 0 0 0 0 E4X 0 一e2I EsV Es W 0 0 0 0 VAT VE VES -(1-a)V 0 0 vcl 0 0 WT B:WT Es WT Es -(1-BY 0 WTD 0 0 <0(7) B 0 0 0 0 -Y1 D 0 0 CX 0 CIV D2 W D1 -I+E2 M2 M 0 0 0 0 0 0 0 0 -V 0 0 0 0 0 0 0 0 -Y
φ（ t）＝0． 设 ξ（ t）＝［ x T （ t）x T （ t— d1（ t））x T （ t— d2（ t））ω T （ t）］ T此时 V · （ x（ t）t）≤ξ T （ t） N· ξ（ t）其中 N＝ Σ P（ A1＋ M1F1E2） P（B2K＋ M1F1E3K） PB1 （ A1＋ M1F1E2） T P —（1—α） S1 0 0 （B2K＋ M1F1E3K） T P 0 —（1—β） S2 0 B T 1 P 0 0 0 所以 z T （ t） z（ t）—γ2ω T （ t）ω（ t）＋ V · （ x（ t）t）≤ξ T （ t）Φξ（ t） Φ＝ Φ11 Φ12 Φ13 PB1＋（C＋ M2F2E4） T D1 ΦT 12 Φ22 Φ23 （C1＋ M2F2E5） T D1 ΦT 13 ΦT 23 Φ33 （ D2K＋ M2F2E6K） T D1 D T 1（C＋ M2F2E4） D T 1（C1＋ M2F2E5） D T 1（ D2K＋ M2F2E6K） D T 1 D1—γ2I （6） 其中 Φ11＝Σ＋（C＋ M2F2E4） T （C＋ M2F2E4） Ф12＝P（ A1＋ M1F1E2）＋ （C＋ M2F2E4） T （C1＋ M2F2E5） Φ13＝P（B2K＋ M1F1E3K）＋ （C＋ M2F2E4） T （ D2K＋ M2F2E6K） Φ22＝（C1＋ M2F2E5） T· （C1＋ M2F2E5）—（1—α） S1 Φ23＝（C1＋ M2F2E5） T （ D2K＋ M2F2E6K） Φ33＝（ D2K＋ M2F2E6K） T· （ D2K＋ M2F2E6K）—（1—β） S2． 根据 Schur 引理式（5）可等价于 Φ＜0． 此时引入 J＝∫ ∞ 0 ［ z T （ t ） z （ t ）—γ2ω T （ t ）· ω（ t）］d t所以有 J＝∫ ∞ 0 ［ z T （ t） z （ t）—γ2ω T （ t）ω（ t）＋ V · （ x（ t）t）］d t≤∫ ∞ 0 ξ T （ t）Φξ（ t）d t≤0． 所以‖ z （ t）‖2≤γ‖ω（ t）‖2∀ω（ t）∈L2［0 ∞）． 综上所述定理1得证． 给出的定理2是将系统（4）镇定的充分条件表 示为系统的 LMI 求解问题． 定理2 对于系统（1）给定一常数 γ＞0存在 对称正定矩阵 PS1S2使得不等式条件（5）成立 的充分必要条件是存在 ε1＞0ε2＞0适当维数的 矩阵 W 及对称正定矩阵XYV∈R n× n使得下面 线性矩阵不等式 Σ ～ XE T 1 XE T 4 A1V B2W B1 XC T X X E1X —ε1I 0 E2V E3W 0 0 0 0 E4X 0 —ε2I E5V E6W 0 0 0 0 VA T 1 VE T 2 VE T 5 —（1—α）V 0 0 VC T 1 0 0 W T B T 2 W T E3 W T E6 0 —（1—β） Y 0 W T D T 2 0 0 B T 1 0 0 0 0 —γ2I D T 1 0 0 CX 0 0 C1V D2W D1 — I＋ε2 M2 M T 2 0 0 X 0 0 0 0 0 0 —V 0 X 0 0 0 0 0 0 0 —Y ＜0 （7） 第1期 赵立英等： 一类具有状态及控制滞后的不确定系统的鲁棒控制 ·107·
,108 北京科技大学学报 第30卷 成立，其中=XAT十AX十e1M1M. [E1E2E3K00]TFI[(PM)T0000]+ 证明：定义 [0000M5]TF2[E4EE6K00]+ H= [E4EE6K00]TF5[0000M]<0.(8) PAI PB2 K PB1 应用引理，式(8)成立的充分必要条件为，存在 AIP -(1-a)S1 0 0 cl 1>0,2>0使得 (B2K)P 0 -(1-52 0 (D2K)T H+e[(PM)T000O]T[(PM)T0000]+ BiP 0 -21D '[EE2E3K00]'[EE2EK00]+ [0000ME]r[0000ME]+ CI D2K 其中三=ATP+PA十S1十S2,则条件(5)等价于 2'[E4EE6K00]P[E4EE6K00]<0(9) H+[(PM)T0000]TF1[EE2E3K00]+ 根据Schur引理，式(9)等价于 E E PA1 PB2 K PB1 CT E -EI 0 E2 E3K 0 0 0 0 E 0 -e2I Es E6K 0 0 0 0 ATP E卧 E -(1-)S1 0 0 d 0 0 (B2K)TP (E3K)T (E6K)T 0 -(1-BS2 0 (D2 K)T 0 0 <0,(10) BiP 0 0 0 0 -21 D 0 0 C 0 0 Ci D2 K D1 一I+2M2ME 0 0 0 0 0 0 0 0 -51 0 1 0 0 0 0 0 0 0 -s2 其中T=ATP+PA十e1 PM MIP. trol Theory Appl.1999.16(2):275 在式(10)两边左乘和右乘矩阵G=diagp-1, (顾永如，王守臣，钱积新.一类具有状态及控制滞后的不确定 系统的鲁棒控制.控制理论与应用，1999,16(2)：275) 1,1,S,S21,1,1,1,Ii,并令X=P1,V=S1, [3]Xu S Y,Lam J.Zou Y.New results on delay-dependent robust Y=S21,W=KS2,通过化简，可推出线性矩阵不 Hoo control for systems with Time varying delays.Automatica, 等式(7)，因此定理2得证， 2006(42):343 [4]Jiang X F.Fei S M.Feng C B.Delay-dependent Hoo state feed- 3结论 back control for linear time-delay system with input delay.Acta Autom Sin,2001,27(1):108 从定理的证明过程可以得出，如果存在c1>0, (江偕富，费树岷，冯纯伯。线性时滞系统依赖于时滞的状态反 2>0,存在适当维数的矩阵W及正定矩阵X,Y, 馈控制.自动化学报，2001,27(1)：108) V∈Rx,使得线性矩阵不等式(T)成立，则状态反 [5]Zhang QL.Yang D M.Analysis and Synthesis for Uncertain 馈控制器w(t)=Wy-1x(t)鲁棒镇定系统(1)， Singular Systems.Shenyang:Northeastern University Press, 2002 且闭环系统满足性能‖z(t)‖2≤Y‖o(t)‖2， (张庆灵，杨冬梅.不确定广义系统的分析与综合·沈阳：东北 Ho(t)∈L2[0,o) 大学出版社，2002) [6]Liao XX.Theoretical Methods and Applications of Stability. 参考文献 Wuhan:Huazhong University of Technology Press.2002 [1]Zhao P W,Yao Y,Xu L Q.Robust control for time-delay sys- (廖晓昕，稳定性的理论、方法和应用，武汉：华中科技大学出 tems with time varying uncertainties.Electr Mach Control, 版社，2002) 2000,4(2):69 [7]Wang JC.Su H Y,Jin JX.Robust Hoo controller design for lin- (赵培文，姚郁，徐刘全.时变时滞不确定系统的鲁棒控制.电 ear time varying uncertain systems with delayed state and control. 机与控制学报，2000,4(2)：69) Control Theory Appl.1998.15(2):257 [2]Gu Y R.Wang S C.Qian J X.Robust Hoo control for a class of (王景成，苏宏业，金建祥.线性时变不确定时滞系统的鲁棒 uncertain dynamic systems with delayed states and control.Con 控制.控制理论与应用，1998,15(2)：257)
成立．其中 Σ ～ ＝XA T＋ AX＋ε1 M1 M T 1． 证明：定义 H＝ Ξ PA1 PB2K PB1 C T A T 1 P —（1—α） S1 0 0 C T 1 （ B2K） T P 0 —（1—β） S2 0 （ D2K） T B T 1 P 0 0 —γ 2 I D T 1 C C1 D2K D1 — I 其中 Ξ＝ A T P＋PA＋S1＋S2．则条件（5）等价于 H＋［（ PM1） T0000］ T F1［ E1 E2 E3K00］＋ ［ E1 E2 E3K00］ T F T 1［（ PM1） T0000］＋ ［0000 M T 2］ T F2［ E4 E5 E6K00］＋ ［ E4 E5 E6K00］ T F T 2［0000 M T 2］＜0． （8） 应用引理式（8）成立的充分必要条件为存在 ε1＞0ε2＞0使得 H＋ε1［（ PM1） T0000］ T ［（ PM1） T0000］＋ ε—1 1 ［ E1 E2 E3K00］ T ［ E1 E2 E3K00］＋ ε2［0000 M T 2］ T ［0000 M T 2］＋ ε—1 2 ［ E4 E5 E6K00］ T ［ E4 E5 E6K00］＜0（9） 根据 Schur 引理式（9）等价于 Γ E T 1 E T 4 PA1 PB2K PB1 C T I I E1 —ε1I 0 E2 E3K 0 0 0 0 E4 0 —ε2I E5 E6K 0 0 0 0 A T 1 P E T 2 E T 5 —（1—α） S1 0 0 C T 1 0 0 （B2K） T P （ E3K） T （ E6K） T 0 —（1—β） S2 0 （ D2K） T 0 0 B T 1 P 0 0 0 0 —γ 2I D T 1 0 0 C 0 0 C1 D2K D1 — I＋ε2M2M T 2 0 0 I 0 0 0 0 0 0 —S —1 1 0 I 0 0 0 0 0 0 0 —S —1 2 ＜0（10） 其中 Γ＝ A T P＋PA＋ε1PM1 M T 1 P． 在式（10）两边左乘和右乘矩阵 G＝diag｛P —1 IIS —1 1 S —1 2 IIII｝并令 X＝P —1V＝S —1 1 Y＝S —1 2 W＝ KS —1 2 通过化简可推出线性矩阵不 等式（7）因此定理2得证． 3 结论 从定理的证明过程可以得出如果存在 ε1＞0 ε2＞0存在适当维数的矩阵 W 及正定矩阵 XY V∈R n× n使得线性矩阵不等式（7）成立则状态反 馈控制器 u ∗（ t）＝ WY —1 x （ t）鲁棒镇定系统（1） 且闭环系统满足性能‖ z （ t）‖2≤γ‖ω（ t）‖2 ∀ω（ t）∈ L2［0∞）． 参 考 文 献 ［1］ Zhao P WYao YXu L Q．Robust control for time-delay systems with time-varying uncertainties． Electr Mach Control 20004（2）：69 （赵培文姚郁徐刘全．时变时滞不确定系统的鲁棒控制．电 机与控制学报20004（2）：69） ［2］ Gu Y RWang S CQian J X．Robust H∞ control for a class of uncertain dynamic systems with delayed states and control．Control Theory Appl199916（2）：275 （顾永如王守臣钱积新．一类具有状态及控制滞后的不确定 系统的鲁棒控制．控制理论与应用199916（2）：275） ［3］ Xu S YLam JZou Y．New results on delay-dependent robust H∞ control for systems with Time-varying delays．A utomatica 2006（42）：343 ［4］ Jiang X FFei S MFeng C B．Delay-dependent H∞ state feedback control for linear time-delay system with input delay．Acta A utom Sin200127（1）：108 （江偕富费树岷冯纯伯．线性时滞系统依赖于时滞的状态反 馈控制．自动化学报200127（1）：108） ［5］ Zhang Q LYang D M．A nalysis and Synthesis for Uncertain Singular Systems．Shenyang：Northeastern University Press 2002 （张庆灵杨冬梅．不确定广义系统的分析与综合．沈阳：东北 大学出版社2002） ［6］ Liao X X．Theoretical Methods and Applications of Stability． Wuhan：Huazhong University of Technology Press2002 （廖晓昕．稳定性的理论、方法和应用．武汉：华中科技大学出 版社2002） ［7］ Wang J CSu H YJin J X．Robust H∞ controller design for linear time-varying uncertain systems with delayed state and control． Control Theory Appl199815（2）：257 （王景成苏宏业金建祥．线性时变不确定时滞系统的鲁棒 控制．控制理论与应用199815（2）：257） ·108· 北 京 科 技 大 学 学 报 第30卷