利用Silnikov定理构造混沌系统

D0I:10.13374/j.issn1001053x.2005.05.061 第27卷第5期 北京科。技大学学报 Vol.27 No.5 2005年10月 Journal of University of Science and Technology Beijing 0ct.2005 利用Silnikov定理构造混沌系统 朱淑芹)杨淼)张先华)闵乐泉12四 1)北京科技大学应用科学学院数学系，北京1000832)北京科技大学信息工程学院，北京100083 摘要利用Silnikov定理构造了一类新的三维二次多项式混沌系统，该系统只具有一个平 衡点.理论分析表明该系统具有Smale马蹄意义的混沌，计算机仿真实例显示系统的Smale马 蹄具有吸引性.利用该方法还可以构造其他的三维二次多项式混沌系统。 关键词同宿轨道；混沌系统：Silnikov定理 分类号0191 近20年来，混沌动力学系统已在广泛的领域 系统，在构造的过程中，考查了一些经典的混沌 得到应用，如大脑神经网络分析、图像数据加密、 系统：Lorens系统，Chenm系统和Lv系统，发现 非线性系统辨识、计算机图形处理、通信和信息 它们的一些共同性质，如系统在平衡点的雅可比 处理、生物医学，因此有关混沌的诱发、控制与 矩阵的行列式值小于零，且特征值有一个负实 反控制的研究得到了越来越多的关注.有关学者 根，和一对具有正实部的共轭复根.一般的三维 开始研究如何构造新的混沌系统.陈关荣和吕金 二次多项式系统具有以下形式： 虎在Lorenz系统的基础上分别构造出了Chen系 x,=∑ayxx+Eaxa 产 】 统和Lv系统，文献[4]基于Silnikov定理构造了 3 一个三维二次多项式混沌系统.本文在Silnikov =∑bpxx+Ebx+b (2) 定理的基础上，构造了一类新的三维混沌二次多 Ecxxx+Ecxtc 项式混沌系统，数值仿真表明该系统存在混沌吸 其中，ay,bi,Ci,an b,c,a,b,c(,j户l,2,3)为系数.构造 引子. 的系统形式如下： 1 Silnikov定理 [元1=41x1十a12x2十a163 2=a2ixx3十anx2十b (3) Silnikov定理设 -ax1十a3xx3+C X(=f(X() (1) 其中，a1,a,a1,a2,a2,a,an,b,c为实参数.系统 其中，tERx∈R,fR一R且设存在x∈R使得 (3)的平衡点(x,,x)可由系统(3)解出： fx)0.令J=Dfx)是x)在平衡点x.的雅可比 xaub-ana, (4) a1a1-41a2k 矩阵.J满足以下条件： x2ban） (5) (1)J有三个特征根：a,肚io,其中a<0,B>0, 其中，x3是下面方程的实解： lapB,aB,w∈R. anaza-(apana+bauan+canan)x+ (2)存在一条通过平衡点x的同宿轨道. canaz+anab=0 (6) 则系统(I)存在Smale马蹄的混沌. 因此式(4)，(5)和(6)确定了方程(3)的一平衡 2构造新的混沌系统 点，记作Ox,,).于是得到系统(3)在平衡点的 雅可比矩阵为： 为了构造一个满足Silnikov定理的新的混沌 an 收稿日期：200409-10修回日期：200411-11 Jauxi an aax (7) 基金顶目：因家自然科学基金资助项目No.60074034,N0. a anx anx 70271068:高等学校博士学科点专项科研基金资助项目No. 其行列式值为： 2002008004) det()=aanax2-anazaxx-azanaxx 作者简介：朱淑芹(1980一)，女，硕士研究生

第 2 7 卷 第 5 期 2 0 0 5 年 1 0 月 北 京 科 技 大 学 学 报 OJ u r . a l o f U n i v e r s iyt o f S e ie n e e a n d l’e c h n o l o gy B e ij i n g Vb l . 2 7 N O 一 5 o e t 2 00 5 利 用 S il n i k o v 定理构造混沌系统 朱淑芹 ” 杨 森 ” 张先 华 ” 阂 乐 泉 ’ ,2) l) 北 京科技 大学 应用科学学 院数 学系 , 北 京 10 0 0 83 2 )北 京科 技大 学信 息工程 学院 , 北 京 0r 0 0 83 摘 要 利用 is l n ik o v 定 理构 造 了一类 新 的三 维二 次多 项式混 沌 系统 , 该 系 统只 具 有一 个平 衡 点 . 理论 分析表 明该系 统具有 S m al e 马蹄意 义 的混沌 , 计算 机 仿真 实例显 示系 统 的 S lna le 马 蹄 具有 吸 引性 . 利 用 该方法 还可 以构 造其 他 的三维 二 次多 项式 混沌系 统 . 关键 词 同宿 轨道 ; 混 沌系统 ; iS hi ko v 定理 分类号 0 19 1 近 20 年来 , 混 沌 动力 学系统 己 在广泛 的领 域 得到应 用 , 如大脑 神经 网络分 析 、 图像 数 据加 密 、 非线 性 系统 辨识 、 计 算机 图形 处理 、 通 信 和信 息 处理 、 生 物 医学 『l,2J , 因此有 关 混沌 的诱 发 、 控制 与 反控 制 的研 究得 到 了越 来越 多 的关注 . 有 关学 者 开始研 究如 何构 造 新 的混沌 系 统 . 陈关 荣和 吕金 虎在 L o er nz 系 统 的基 础 上 分别 构造 出了 hC en 系 统 和 L v 系 统〔3] , 文 献 4[ ]基 于 is in l k o v 定理 构造 了 一个 三 维二 次 多项 式混 沌 系 统 . 本 文在 is ln 枷 v 定理 的基础 上 , 构 造 了一类 新 的三 维混 沌二 次 多 项式混 沌 系统 . 数值 仿 真表 明该 系 统存在 混沌 吸 引子 . 系 统 , 在构 造 的过 程 中 , 考 查 了一 些经 典 的混 沌 系统 : L 。 化sn 系统 , C h en 川 系 统和 vL 系 统囚 , 发 现 它们 的一 些共 同性 质 , 如 系统在 平衡 点 的雅 可 比 矩 阵 的行 列 式值 小于 零 , 且 特 征 值 有 一 个负 实 根 , 和 一对 具 有正 实 部 的共扼 复 根 . 一 般 的三 维 二次 多 项式 系统 具 有 以下 形式 : 陈 一 全 。 , 、 + 全二+ia 九= 艺 b声丙+ 艺 b沐汁 b 若护= 】 卜 l 允= 艺 c声丙 十艺 c沐汁 c ( 2 ) 勺 = 盆 卜 l 其 中 , 马 , 氏 , 心 , a 、 瓦 , 。 , a , b , c( i, ’=j l , 2, 3) 为 系数 . 构 造 的系 统 形式 如 下 : 、 、, . 少、 户. 4 ù 了 曰I 、.、了 1 S il n iko v 定 理 S InI 彻 v 定 理`, , ` ,设 ’X( ’)t = 月州 )t ( l) 其 中 , 掩孔 x 任 R 3 , :f 牙一牙 且 设 存 在 凡任贾 使 得 力恤J = 0 . 令 J = 切卜 ` ) 是力吮) 在 平衡 点 戈 的雅 可 比 矩 阵 . J 满足 以下 条件 : ( l) J 有 三 个 特 征 根 : a ,产i。 , 其 中 a 0< , 户0, } a } > 刀 , a , 刀 , 。 任 R . (2 )存在 一 条通 过 平衡 点戈 的同宿 轨 道 . 则系 统 ( l) 存在 S m al e 马蹄 的混 沌 . 2 构 造 新 的 混 沌 系 统 为 了构造 一个 满 足 is in 枷 v 定理 的新 的混沌 收稿 日期 : 2 00 4 we 0于 10 修回 日期 : 2 0 0冬11一 11 基 金项 目 : 国家 自然 科学 基金 资助 项 目 困 。 . 6 0 7 4 0 34 , N .o 70 27 10 68 ) ; 高等 学校博 士学 科点专 项科 研基 金资助 项 目 (N .o 2 0 0 2 0 0 80 04 ) 作者 简介 : 朱淑 芹( 19 8 -0 一) , 女 , 硕 士研 究生 ( 3 ) 其 中 , a : 1 , a l Z , a l 3 , a Z , , 仇 2 , a 3 t , a , 2 , b , c 为 实 参 数 . 系 统 (3 ) 的 平衡 点 ( x , , 燕 , 为 )可 由系 统 (3) 解 出 : a , Z b 一 a , 3 a 2详」 口一 口 22一口 一2伪 IX3 丸一土(b +a Z lx 3 ) “ 2 2 其 中 , 花 是 下 面方 程 的 实解 : a l 3a Z , 角粥一 ( a : 3a 22 a 3 1+ b a : l a 32+ e a IZ几 l )x, + e a l l a 2 2 +a 12a 3 l b = 0 (6 ) 因此 式 (4 ) , (5) 和 (6) 确 定 了方程 (3) 的一平 衡 点 , 记 作 O :(x , 戏 , 石) . 于是 得 到系 统 (3) 在平 衡 点 的 雅可 比 矩 阵为 : , } a 11 . J 一 } a ” x ’ 】“ 3 - a 一2 口 13 口 22 山 IX I a 3挤 3 角2工2 ( 7) 其行 列 式值 为 : d e t切= a l ,伪 2a 3丙一 a . ; a Z ,场式。 x3 一 山 : a : Za ,式满+ DOI: 10. 13374 /j . issn1001 -053x. 2005. 05. 061

636· 北京科技大学学报 2005年第5期 anaaxaanax-asazas (8) x:(t)-a+Zaie 相应的特征多项式为： det(1-J0='+p22+p2+q (9) x:(t)-bo+Ebie (17) 其中，p=-(am+a,+ax) x(r)-c+Ecie p:=x:(2anan+anay)anb+anan-ananx-anan 把式(17)代入式(16)通过比较系数可得： p=-2a2a11a2mX1-2a12a21ax1-a32a1b-41x421C (ao,bo,co)xixix) (18) aazaauanan a 记 (10) (B+JO)川b=0 (19) 若满足： ei] +va-am时修，a a 0 (kaHK(O))b: (>1) (20) 且4大于零，det()小于零，则式(9)等于零时，有三 an Ebicj 个根：一个实根a,两个共轭虚根肚iw,且a<0, 同式(1)的情况：令B-a,(ai,bi,c)≠0由一个任意 B-0,lab-B-0. 参数n确定，其余的参数，bi,c也就惟一确定 3同宿轨道存在性定理 了.从而得到了方程(3)的一个负解（≤0）.令kl- J(OB,则B,I+B,J(OF-B.则式(15)，(20)化为： 利用Silnikov定理构造混沌系统还必须证明 0 系统存在过平衡点的同宿轨道，下面利用微分方 b B-1 wzao (21) 程组级数解方法构造系统的同宿轨道， an∑b,g 4 (1)当t20时，令 0 xl(0)-ac+Ea.e- B-1 a1∑aig (>1) (22) hl ci] x:(t)-bo+Eb.e (12) o6 令5，则易知当0时令正解与负解相等.从而 50-c+2ce 系统(3)的同宿轨道可表示如下： 这里a,b,c4是待定系数，a为式(9)的负实根.把 xt∑aue",t≥0 式(12)代入式(3)通过比较系数，可得： x= xi+Eae-,r0 (ao,bo,co)-(xixix3) (13) a xt∑be,t≥0 同样可得 (al-J(O)川b,-0 (14) x2(= xi+Ebie-,10 = 因为det(aI-J(O)0,(a,b,c)+(0,0,0)有解.且 xt∑ce,t20 a,b,c可被一个任意参数5确定，即它们可用参 x(t)= xi+Zcic",10 数表示出来.类似地可得出： l 0 综上所述，给出如下定理： a (kal-JO) ★ (>1) (15) 定理若det()和4分别由式(8)和式(10)定 anΣbg 义，det()<0,>0且式(11)式成立，则系统(3)存在 由于det(kad-J(O)》≠0(>l1),故(a,bc是惟一 Smale马蹄的混沌. 确定的.因此式(12)(15)确定了方程(3)的一个 4数值仿真 正解（≥0）. (2)t≤0时.令=-t(1>0),则式(3)变为： 在系统(3)中，令： 1=-a1x1-a13x2-a16 a=-1.44,a2=1.5,a13-2,a=-1.5,an=-1,a=1, =-aux x-anx-b (16) aa0.1,an=-1.44,b--1.3,c=-aaa1-00b =-asix1-anxx-c 则系统(3)满足Silnikov定理.这时有混沌吸引子 类似于t>0的情况，令： 出现，其图像如图1所示

一 63 6 . 北 京 科 技 大 学 学 报 2 0 5 年 第 5 期 a 2 1a : 3a 3满+ a 3 . a t Z仇 ,x l 一 a , 3a 2刃, , ( 8 ) 相应 的特 征 多 项式 为 : de t必 一刀减 3 +P 刃切扒+q (9 ) 其 中 , lP 二一 ( 。 刀 +a : , +a 3丙) p2 浅( 2仇 Za , +2 a : l a 3 2 )+a , Z b+a ,:鱼 2一 鱼 : a t满一 a l 3a 3 I P 3= 一 Z a , 2a l l a 2汲一 Z a : Za z. a , Lx : 一 a 3 2a : : b 一 a , 2伪 l e 一 a : 3仇 : a 3粥+ a l, a , ,而 为 (诊翎 a + 艺a 沁场 为(诊= 瓦+ 艺b沁场 ( 17 ) xs( 诊=c6 + 艺帝恤 把 式 ( 17) 代 入 式 ( 16) 通 过 比较 系数可 得 : `产、. 八O 、尹 9 `且门几. 才 t 1 .、 记 若 满足 : △一图耳图 沂笋骊 一 涯雨伽i妈半剖 闪 ! 卫 , } ` +ka(IJ O) , } ” 花 1 一 } 处 ’ 了分} `眨” 气c ` ) ! a 3 2乙 . D粉 ! 、 仕尸蕊 , (2 0 ) 、., J夕. 0 门 书.1 1. J 了1、 l. 护`.、 且刁大 于零 , de t切小 于零 , 则 式 (9 )等 于零 时 , 有三 个 根 : 一个 实 根 a , 两个 共 扼虚根产i。 , 且 a < 0, 少 0 , } a 卜功卜 0 . 3 同 宿 轨道 存在 性定 理 利用 iS in 业o v 定 理构 造 混沌 系 统还 必 须证 明 系统 存 在过 平衡 点 的 同宿 轨道 . 下面 利用 微分 方 程 组级 数 解〔7] 方法 构造 系 统 的 同宿 轨道 . ( l ) 当 t 全 0 时 , 令 同式 ( l) 的情 况 : 令户 a , a( ; ,ib ,ic ) 续 0 由一 个任 意 参 数 粉确 定 , 其 余 的参 数 成 , ib, 成也 就惟 一确 定 了 . 从而 得到 了方 程 ( 3) 的一 个 负解 (t ` 0) . 令无吐一 (J O) =B , 则 胡召J 干刀 , 武O ) = 一B . 则式 ( 15) , ( 2 0) 化 为 : ( 2 1) 从:( :而2) x 浅t) 二a0 + 艺解加 卜 1 丸( t) = b0 + 艺b声 加 r ( 12 ) *a( 飞 } 竺 l } ” * l =B 一 ’ } “ ’ `息 a 两 } L仇 ) l a , , 厅蕊b刊 1 0 1 l a k l l _ l } ” 七 1 ` 一 ’ { “ ’ ` 分 “ } `>k , , t ck J } a , ,息b叼 与 ()t = ` 。十 Z c追加 令 f 么 则 易知 当 拼 o 时 令正 解 与 负解 相 等 . 系 统 (3) 的 同宿 轨 道可 表示 如 下 : 这里 负 , 瓦 , 负 是待 定 系数 , a 为 式 (9) 的 负实 根 . 把 式 ( 12) 代入 式 (3 )通 过 比 较 系数 , 可得 : (a0 , b 。 , c0 ) = (x ;风关) ( 13 ) x l ()t = 为 ()t = 与()t = 解气t 2 0 a 沁气林O 疙问. 铭倒. 疙问. 铭间倒。 艺b` 气 t之 0 同样 可 得 (aI 一 (J O) ) { :: 、 C z 因为 d e (t 口I 一 (J O) )=0 , b : , e l卜 ( 0 , 0 , 0 )有 解 ( 14 ) . 且 艺b沁加 , 苏O 日碑ǎ刀 、卜jales al, b l , c : 可 被一 个 任 意参 数 睿确 定 , 即它们 可 用参 数 亡表 示 出来 . 类 似地可 得 出 : 解气 t 七 0 帝加 , 杯0 , 、 ( 0 、 l a k l 1 1 `kaI 一 (J O) ,卜} 一 { “ ’ 】 沙卜 >k , , ( , , , ck() 卜护叼 由于 de (t胶 xI 一 (J O) )羊 0 (>k l ) , 故 (仇*,b ,c k) 是惟 一 确 定 的 . 因此 式 ( 12 )代 15) 确 定 了方 程 ( 3) 的 一个 正 解 (t 之 0) . ( 2 ) t` 0 时 . 令。 一 t ( t > 0 ) , 则式 (3 )变 为 : 综上 所述 , 给 出如 下 定理 : 定理 若 d e t ()J 和 刁分 别 由式 ( 8) 和 式 ( 10) 定 义 , det 切< O , 」> 0且 式 ( 11) 式 成 立 , 则系 统 (3 )存在 S m al e 马 蹄 的混沌 . 4 数值仿 真 }主 l - }于 - [为= 一口 12工 l一口 l详2 一 口一详 3 一 a Z 戊lxs 一 口 2详2 一 b 一口 3 I X z一仍琪碑3 一 C 在 系 统 (3 ) 中 , 令 : a : : = 一 1 . 4 4 , a l Z = 1 . 5 , a : 3 =2 , a3 . ” 一 1 . 5 , 场 2= 一 l , 场一l , ( 16 ) 场厂0 . 1 , 角3= 一 1 . 4 4 , =b 一 1 . 3 , c ` 卫鲤塑匡卫鲤必 口 一2 这 时 有混 沌 吸 引子 类似 于 t > O 的情 况 , 令 : 则 系 统 (3 )满 足 is ln 伽 v 定理 . 出现 , 其 图像 如 图 1 所 示

VoL27 No.5 朱淑芹等：利用Silnikov定理构造混沌系统 ·637· 96 (a) (6) 6 61 2 0 20 40 60 80 100 0 20 40 60 80 100 20 40 60 80 100 图1混沌吸引子.()变量xx:(b)变量随时间的演化；(c)变量随时间的演化：()变量，随时间的演化 Fig.1 Chaos attractor.(a)Variablesxx.Time evolutions of variables:(b)x:;(c)x:;and (d)x 5结论 1998 [2]方锦清.驾驭混沌与发展高新技.北京：原子能出版杜，2001 在考察了几个经典混沌系统和利用Silnikov [3)陈关荣，吕金虎.Lo心z系统族的动力学分析、控制与同 步.北京：科学出版杜，2002.112 定理的基础上，建立了一个判别存在Smale马蹄 [4]Zhou T,Chen G,Yang Q.Constructing a new chaotic system bas- 意义混沌的定理，利用该定理构造了一类新的三 ed on the Silnikov criterion.Chaos Solitons Fractals,2004,19: 维二次多式混沌系统.该系统至少具有一个实平 985 衡点，像Lorenz系统一样，具有两个非线性项.数 [5]刘增荣.混沌微扰判据.上海：上海科技教育出版社，146 [6]Silva C P.Silnikov theorem:a tutorial.IEEE Trans Circults 值模拟例子确认了理论的有效性.利用这种构造 Syst-l,1993,40(10675 方法，也可构造其他类型的二次多式混沌系统. [7]Chen G,Ueta T.Yet another chaotic attractor.Int J Bifurcation Ch03,1999,9:1465 参考文献 [8]钱伟长，微分方程的理论及其解法，北京：国防工业出版 [1]Chen G,Dong X.From Chaos to Order:Methodologies,Perspec- 社，381 tives and Applications.Singapore:World Scientific Pub.Co. Constructing a chaotic system based on the Silnikov theorem ZHU Shuqin,YANG Miao,ZHANG Xianhua",MIN Lequan2 1)Applied Science School,University of Science and Technology Beijing,Beijing 100083,China 2)Information Engineering School,University of Science and Technology Beijing,Beijing 100083,China ABSTRACT Based on the Silnikov theorem,a theorem that confirmed the existence of Smale horseshoes sense chaos was set up.Using the theorem,a new kind of quadratic chaotic system could be constructed,which has a uni- que equilibrium point.A numerical simulation example demonstrated that this system could have chaotic attractor. In particular the method could be used to generate other quadratic chaotic systems. KEY WORDS homoclinic orbit;chaotic system;Silnikov theorem

、勺 7 L 2 N 0 . 5 朱 淑芹 等 : 利用 S U 业o 定 理构 造混 沌 系统 n v . 3 7 6 . 图 1 混沌 吸引子 . a) 变量 声沼 ( xl , ; ( b )变最 x : 随 时 间的演 化 ; c( )变量xz 随 时 间的演 化 ; (d) 变量为 随时 间 的演化 F lg . I C 卜a o s a tr a c t o .r ( a ) Va ir a b l e s x ,丙丙 . n m e e v o l u 柱o n s of v a ir a b l e s : ( b ) x : : ( e ) x2 ; a n d ( d ) x , 5 结论 在 考 察 了几 个经 典 混沌 系 统和 利 用 is ln 伽 v 定理 的基 础 上 , 建 立 了一 个判 别存 在 Sm al e 马蹄 意义混 沌 的定 理 . 利用 该 定理构 造 了一类 新 的三 维二 次多式 混 沌系 统 . 该系 统至 少具 有 一个 实平 衡 点 , 像 L o ~ 系统 一样 , 具 有 两个非线 性 项 . 数 值 模拟 例子 确认 了理论 的有 效性 . 利 用 这种 构造 方法 , 也 可 构造 其他 类 型 的二 次 多式 混 沌系 统 . 参 考 文 献 [ ] ] C h e n G , D o n g X . F or m C h a o s t o o dr e r : Me ht o d o l o ig e s , p e r s P e e - t i v e s an d A PP li e a it o n s . S i n g a P o 玲: W b r ld S e i e nt iif e P ub . C o . , 19 9 8 2[ ] 方 锦清 . 驾驭 混沌与 发展 高新技 . 北京 : 原子 能出版社 , 20 01 3[ 」 陈关荣 , 吕 金虎 . L o re nz 系 统族 的动力 学分 析 、 控制与 同 步 · 北京 : 科学 出版 社 , 2 0 02 . 112 4[ ] hZ o u T, C h e n G , Y a n g Q . C o n s trU e t in g a new e h a o t i e sy st e m b a s - e d o n t h e S il n i k o v e ir t e ir o n . C h a o s 5 0 肚t o n s F r a e t a 肠 , 2 0 0 4 , 19 : 9 8 5 5[ 』 刘 增荣 . 混 沌微扰 判据 . 上 海 :上海 科技 教育 出版社 , 146 [ 6 ] S il v a C R S I nI i k o v ht e眼m : a tu o ir a l . IE E E 介 a n s C 诫 u i妞 S ys -t I , 19 9 3 , 4 0 ( 10 ) : 67 5 【7] C h e n G , U e at 工 eY t an o ht e r ch ao it e a tr a c ot .r I n t J B iof 代a 幼0 . C 卜a o s , 19 9 9 , 9 : 146 5 8[ ] 钱 伟长 . 微 分方 程的理 论及 其解法 . 北京 : 国防工业 出版 社 , 3 8 1 C o n s trU c t i n g a e h a o t i e s y s t e m b a s e d o n ht e S iin 议o v ht e o re m Z 厅` hS qu inl ), YA N G 初勿 0 ,2) 乙阮 4刀 G X公 n h u a Z气似从 z L qe ~ ,2)l 1) A P P li e d s e i e n e e S e h o o l , U垃 v e r s ity o f s e i e n c e a o d eT c ha o l o gy B e ij 毗 , B e ij in g 10 0 0 8 3 , C ihn a 2 ) nI of n 刀 a tion E n g i n e e r i n g S ch o o l , U in v e 玲iyt o f s e ien c e an d eT e hn o 1 0 g y B e ij ing , B e ij ign 10 0 0 8 3 , Ch in a A B S T R A C T B a s e d o n ht e S i in l k o v ht e o re m , a ht e oer m t h at e o n if n n e d ht e e x i s t on e e o f S m al e h o r s e s ho e s s e n s e e h a o s w a s s e t uP . U s ign het ht e o o m , a n e w k i n d o f qu a dr at i e hc ao it e s y s et m e o u l d b e e o n s trU e et d , hw i e h h a s a un i - q u e e q u ilib ir um P o iin . A n u m e ir e a l 51们Qu lat ion e x a m Pl e d em o n s t r a t e d ht at ht i s s y s t e m e o u l d h va e e h a o t i e a t r a e ot .r I n P a rt i c u l鱿 ht e m e ht o d e o u l d b e u s e d ot g e n ear te o ht er qu a d r a t i c e h a o t i e s y s et m s . K E Y W O R D S h o m o e lin i e o br it : e h a o t i e s y s ot m ; S iin i k o v ht e o er m