((1),(2),(3)直接得自定义.对(4)我们给出直观证明如下:让我们简单地使用记号 ={Bn:l≤t} 对于S<1,由随机过程Φ,是(B,)可知的,故 E(∫dB1|,)=∫,dB 再则,对于s≤l<lk+,我们有 E(AB4|2)=E[E(④4AB4|n),]=E,E(△B4|n) 对于k求和,再取极限便得 E{中dBn|,)=0 合起来就是 E(∫dB2,)=∫dB 这就直观地证明了(4).而这里的直观证明是利用了线性性质, Brown运动的性质,条件期望的性质,最 后还要加上极限与取条件期望的次序可以交换.类似的考虑,可以得到(5)的直观证明.而性质(4)(5) 的严格证明要涉及测度论的许多知识,本书从略 (6)令 ∫nB.-J∫4 则M是(B1)鞅,称为to积分的指数鞅,它是 Brown运动的指数鞅的自然推广,我们将在下一段中用 Ito公式证明它 需要特别强调的是,性质(4)与(5)是使Ito积分比 Stratonovich积分更易于用 于随机分析的理论推导的原因. 3.2Ito公式一随机积分的换元公式与复合函数的随机微分公式 在普通函数微积分中,复合函数的微分公式与积分的换元公式是相互等价的两个最基本 的公式.而在随机微积分中,我们也有一个对应的公式,虽然它比微积分中的公式复杂,但 是通过它仍然可以如在微积分中那样,把Ito积分方便地应用到许多问题中去 定义12.50(Ito过程) 设 5,=x+Φ,dB,+]平ds, 其中随机过程Φ2,出都是(B,)可知的,且对任意固定的o,都是t的连续函数,满足 348
348 （（１），（２），（３）直接得自定义. 对（４）我们给出直观证明如下: 让我们简单地使用记号 F t {B :u t} = u £ D . 对于 s < t , 由随机过程Ft 是( ) Bt 可知的, 故 { | 0 u u s E F dB ò F ) s u u s = F dB ò 0 . 再则, 对于 £ k < k+1 s t t , 我们有 ( | k k E Ft DBt F ) s [ ( | k k = E E Ft DBt F ) | k t F ] s [ ( | k k = E Ft E DBt F ) | k t F s ] = 0 . 对于k 求和, 再取极限便得 { | u u t s E F dB ò F s ) = 0. 合起来就是 { | 0 u u t E F dB ò F ) s u u s = F dB ò 0 . 这就直观地证明了（４）. 而这里的直观证明是利用了线性性质， Brown 运动的性质, 条件期望的性质, 最 后还要加上极限与取条件期望的次序可以交换. 类似的考虑, 可以得到（5）的直观证明.而性质（４），（５） 的严格证明要涉及测度论的许多知识，本书从略. * （６） 令 dB ds t s t s s t M e 2 0 0 2 1 F - F ò ò = , (12. 27) 则 Mt 是( ) Bt 鞅, 称为 Ito 积分的指数鞅. 它是 Brown 运动的指数鞅的自然推广, 我们将在下一段中用 Ito 公式证明它. 需要特别强调的是, 性质（４）与（５）是使 Ito 积分比 Stratonovich 积分更易于用 于随机分析的理论推导的原因. 3. 2 Ito 公式—随机积分的换元公式与复合函数的随机微分公式 在普通函数微积分中，复合函数的微分公式与积分的换元公式是相互等价的两个最基本 的公式． 而在随机微积分中，我们也有一个对应的公式，虽然它比微积分中的公式复杂, 但 是通过它仍然可以如在微积分中那样, 把 Ito 积分方便地应用到许多问题中去. 定义１２.５０ （Ito 过程） 设 x dB ds s t s s t t = + ò F + ò Y 0 0 x , 其中随机过程Ft Yt , 都是( ) Bt 可知的, 且对任意固定的ω，都是t 的连续函数， 满足
Ea ds E|平,|ds<,而」d理解为在O固定后的普通积分,则5称 为lto过程.它也可以记成如下的lto形式微分 + 设5是Ito过程.又二元实函数∫(,x)对x二阶光滑且对t一阶光滑.令n为复合得 到的随机过程n1=f(1,5,),则下面的Ito公式表明7也是一个Ito过程.也就是说, Ito过程对于这种光滑函数的复合运算是封闭的 我们先分析例12.35,它说明了B是一个Ito过程,且d(B2)=B,dB1+dt 于是对于∫(x)=x2,有d(B,)=d(B2)≠BdB1=f(B1)dB1·可见为了得到 d(B),仅用通常的微积分中的一阶展开∫(B,)dB是不够的,必须还补充以 (x)=1x2的Taym展开中的第二项r(B,MB)=(dB)2,它提供了d(4B2)中 的第二项dt.比较后可见有下面的引理 引理12.51 (dB,)2=dt,即dB1=(d) 它说明dB,是(d的)半阶无穷小(dh)2.从而对于Ito过程的复合函数f(t,,),在作微 分(即随机微分)的时候,必须把 Taylor展开应用到二阶 d(,)=f'(51)d,+f"(2,d,)2 (12 这才穷尽了半阶无穷小作出的的贡献.例12.35的结论可以一般化为下面的定理 定理12.2(lto公式,随机微分公式) 设5为Ito过程,即d1=Φ,dB+Hd.二元实函数∫(1,x)对x二阶光滑且对t 一阶光滑.那么,n=∫(t,5)也是Ito过程,而且有 dn,=d(151)+d2f(t,l,)=f'(t,5,)dm+fx(t,5,)d,+f"(td5)2 (f+f1+Φfx")d+fxΦ,dB, 其中 (ds)'=(, dB,+p, do)=d: dr (12.31) (理解与证明Io公式的核心是:(dB,)2=d,即dB1=(an)2,在严格的论证中它实际上
349 ò F < ¥ ¥ E ds s 2 0 , ò Y < ¥ ¥ E ds s | | 0 , 而 ds s t ò Y 0 理解为在w 固定后的普通积分, 则 t x 称 为 Ito 过程. 它也可以记成如下的 Ito 形式微分 d dB ds t = Fs s + Ys x . 设 t x 是 Ito 过程. 又二元实函数 f (t, x) 对 x 二阶光滑且对t 一阶光滑. 令ht 为复合得 到的随机过程 ( , ) t t h = f t x , 则下面的 Ito 公式表明ht 也是一个 Ito 过程. 也就是说, Ito 过程对于这种光滑函数的复合运算是封闭的. 我们先分析例 12.35， 它说明了 2 2 1 Bt 是一个 Ito 过程, 且 d B B dB dt t ) = t t + 2 1 ( 2 . 于是对于 2 2 1 f (x) = x , 有 t t t t t t df B d B ) B dB f '(B )dB 2 1 ( ) ( 2 = ¹ = . 可见为了得到 ( ) df Bt , 仅用通常的 微 积分中的一阶展开 Bt dBt f '( ) 是不够的 , 必须还 补充 以 2 2 1 f (x) = x 的 Taylor 展开中的第二项 2 ' '( )( ) 2 1 t t f B dB 2 ( ) t = dB , 它提供了 ) 2 1 ( 2 Bt d 中 的第二项 dt . 比较后可见有下面的引理. 引理１２.５１ dB dt t = 2 ( ) , 即 2 1 dB (dt) t = . (12. 28) 它说明dBt 是( dt 的)半阶无穷小 2 1 (dt) ． 从而对于 Ito 过程的复合函数 ( , ) t f t x , 在作微 分(即随机微分)的时候, 必须把 Taylor 展开应用到二阶: 2 ''( )( ) 2 1 ( ) '( ) t t t t t df x = f x dx + f x dx , (12. 29) 这才穷尽了半阶无穷小作出的的贡献. 例１２．３５的结论可以一般化为下面的定理. 定理 12.2（Ito 公式，随机微分公式） 设 t x 为 Ito 过程, 即 d dB dt t = Ft t + Yt x . 二元实函数 f (t, x) 对 x 二阶光滑且对t 一阶光滑. 那么, ht ( , ) t = f t x 也是 Ito 过程, 而且有 ( , ) 2 1 ( , ) 2 t t t dh = df t x + d f t x 2 ''( , )( ) 2 1 '( , ) '( , ) t t x t t xx t t = f t x dt + f t x dx + f t x dx t x t t xx x t t = f + f Y + F f '')dt + f 'F dB 2 1 ( ' ' 2 , (12. 30) 其中 = 2 ( ) t dx 2 ( dB dt) Ft t + Yt dt t 2 =F D . (12. 31) (理解与证明 Ito 公式的核心是: dB dt t = 2 ( ) , 即 2 1 dB (dt) t = ,在严格的论证中它实际上
将被关系E∑(△B)2-1|2→0所代替) Ito公式实际上就是用 Taylor公式对f(t,5,)作关于dt的一阶近似.它也就给出了 Ito公式的直观推导.而其严格推导则需要较为精致的随机分析工具,本书中并不必要介 绍 推论12.52设51为Io过程:d1=ΦdB1+里dt.f(x)二阶光滑.那么, f(,)也是Ito过程,而且有 d(,)=d(,)+-d2(,)=f'(51)dl+f"'(5,)d5) (H+=Φ;厂)dt+f,dB (12.32) 注1设5为Ito过程:d5,=Φ,dB,+Hdt.f(x)二阶光滑.那么, f(,)dB.=](,)B.+2」f(s, 注2设,是 stratonovich型o过程5,=x+∫中,dB,+∫里(写成 d5,=Φ,odB2+dt),那么,可以证明它有如普通的微积分那样的复合函数的微分的链 法则;即对于三阶可微的函数f(x)有d(1)=f(5,)od 定理12.53(多维Ito公式) 设,=(5,…,5),5、(i≤d)为Ito过程:dl=ΦdB1+甲dh f∫(t,x)为对x二阶光滑且对t一阶光滑.那么,n=∫(t,E,)也是Ito过程,而且有 dn,=d(t,5;)+-d2f(,) =f(M+∑f(,5,0+∑f5dp;) =+∑甲"+∑n"h+∑"B (12.33) 其中 d s(dE(=(dB,+p()((dB, +pods)=podt (12.34) 推论12.54(乘积公式)设5,1都是Ito过程,则 350
350 将被关系 | ( ) | 0 2 2 E å DB ( ) - t ® k t n k 所代替 ) . Ito 公式实际上就是用 Taylor 公式对 ( , ) t f t x 作关于dt 的一阶近似. 它也就给出了 Ito 公式的直观推导. 而其严格推导则需要较为精致的随机分析工具, 本书中并不必要介 绍. 推论１２．５２ 设 t x 为 Ito 过程: d dB dt t = Ft t + Yt x . f (x) 二阶光滑. 那么, ( ) t f x 也是 Ito 过程, 而且有 ( ) 2 1 ( ) ( ) 2 t t t df x = df x + d f x 2 ' '( )( ) 2 1 '( ) t t t t = f x dx + f x dx t t x t t = f Y + F f ' ')dt + f 'F dB 2 1 ( ' 2 (12. 32) 注 1 设 t x 为 Ito 过程: d dB dt t = Ft t + Yt x . f (x) 二阶光滑. 那么, s s t f ( )o dB 0 x ò 2 1 ( ) 0 = + ò s s t f x dB f ds s s t ò '( )F 0 x 注 2 设 t x 是 Stratonovich 型的 Ito 过程 x dB ds s t s s t t = + ò F + ò Y 0 0 x o （写成 d dB dt t = Ft t + Yt x o ）, 那么,可以证明它有如普通的微积分那样的复合函数的微分的链 法则； 即对于三阶可微的函数 f (x) 有 t t d t df (x ) = f '(x )o x . 定理１２．５３ (多维 Ito 公式) 设 ( , , ) (1) (d ) t t t x x L x r = , ,( ) ( ) i d i xt £ 为 Ito 过 程 : d dB dt i t t i t i t ( ) ( ) ( ) x = F + Y . f (t, x) r 为对 x r二阶光滑且对t 一阶光滑. 那么, ht ( , )t f t x r = 也是 Ito 过程, 而且有 ( , ) 2 1 ( , ) 2 t t t dh = df t x + d f t x ''( , )( ) 2 1 '( , ) '( , ) ( ) ( ) , 1 ( ) 1 j t i x x t t d i j i x t t d j f t t t dt f t d f t d d i i j x x x x x x r r å å = = = + + t i x t d i x x j t i t d i j i x t d i f t f f dt f dB i i j i ''] [ ' ] 2 1 [ ' ' ( ) 1 ( ) ( ) , 1 ( ) 1 = +å Y + å F F + å F = = = , (12. 33) 其中 = ( ) ( j) t i t dx dx ( ) ( ) ( ) dB dt i t t i Ft + Y ( ) ( ) ( ) dB dt j t t j Ft + Y dt j t i t ( ) ( ) =F F D . (12. 34) 推论１２．５４ （乘积公式） 设 t ht x , 都是 Ito 过程, 则
d(5n,)=5dm,+n,d51+(d5)dn2) 推论12.55(推广的Ito公式) 设5为Ito过程,g(x)为有界连续函数(显见g(5,)ds也是It过程).又若 ∫(t,x)是对x二阶光滑,且对t一阶光滑的实函数,h(x)一阶连续可微.那么 n,=h(g(5)ds)f(,5,)也是Io过程,而且有 dm,==((g(,)g)+g(,)() 证明用二维过程(5,「g(5,)d)的1to公式) 例12.56设,b是常数,Gaus过程n=e"mo+dje"dB,J,则有 dn, =-bn, dt +odB 证明令5,=m+可Je"dB,则n,=e5,对它用Ito公式便得到 dn, =e- ds, -be-s,dt =odB, -bn,dt [注]这里n,满足一个随机微分方程.(由它的定义还知道它是一个 Gauss马氏过程, 可以证明它就是参数为β=b,γ=,的oU过程.)这个随机微分方程最早出现于理论物 理中,称为 Langen in方程 例12.57设Φ,是有界的(即存在M>0,使得对于任意(1,O)有 Φ、(o)kM),且为(B,)可知的随机过程.又 Z=e",5=」ΦdB Φ2ds 那么,由Ito公式推出 dz =des =estd +es(dE,)
351 ( ) ( )( ) d t t td t td t d t dht x h = x h +h x + x . (12. 35) 推论１２. ５５ (推广的 Ito 公式) 设 t x 为 Ito 过程, g (x) 为有界连续函数（显见 g ds s t ( ) 0 x ò 也是 Ito 过程）. 又若 f (t, x) 是对 x 二阶光滑，且对 t 一阶光滑的实函数, h(x) 一阶连续可微. 那么, ht ( ( ) ) ( , ) 0 s t t h g x ds f t x ò = 也是 Ito 过程, 而且有 dht = = + ò f t h g ds g dt s t t t ( , ) '( ( ) ) ( ) 0 x x x ( ( ) ) ( , ) 0 s t t h g x ds df t x ò . (证明 用二维过程( , ( ) ) 0 g ds s t t x x ò 的 Ito 公式). 例１２．５６ 设s , b是常数，Gauss 过程 ò = + - t s bt bs t e e dB 0 0 h [h s ], 则有 dht = -bhtdt +sdBt . 证明 令 ò = + t s bs t e dB 0 x h0 s , 则 t bt t h e x - = . 对它用 Ito 公式便得到 d e d be dt t bt t bt t h x x - - = - dB b dt = s t - ht [注] 这里ht 满足一个随机微分方程.(由它的定义还知道它是一个 Gauss 马氏过程, 可以证明它就是参数为 b b 2 , 2 s b = g = 的 OU 过程.) 这个随机微分方程最早出现于理论物 理中，称为 Langevin 方程. 例 １２． ５７ 设 Ft 是有界的 （ 即存在 M > 0 ，使得对于任意 (t,w) 有 | Ft (w) |£ M ），且为( ) Bt 可知的随机过程. 又 Z e dB ds s t s s t t t t 2 0 0 2 1 = ,x = ò F - ò F x . 那么, 由 Ito 公式推出 2 ( ) 2 1 t t t dZ de e d e d t t t x x x x x = = +
e5(ddB1-Φ2d)+esΦ2d=ZΦ,dB 可见Z是随机微分方程 dZ=ZΦdB 满足初始条件 的解.事实上由下面的定理12.59知道此解是唯一的.又由于Z1作为Ito过程只含对 Brown 运动的随机积分项,由Ito积分的性质(4)得到Z1是(B;)鞅.这就顺便地证明了Ito积分 的指数鞅性质 例12.58(描述证券的 Black- Scholes模型) Black- Scholes用如下的随机微分方程(称为 Black- Scholes随机微分方程) ds, 5,(bdt +odB 的解ξ来描述证券价格的随机模型,其中bd+oB称为随机的收益变化率,常数b称为 平均收益率( Yield),常数σ称为波动率( olati ity).这个方程与例12.57中的 方程非常类似.我们容易用Ito公式直接验证 是Back- Scholes随机微分方程的解.当50=1时,这个解就是几何 Brown运动 从本章第4节中的定理,我们可以知道,在初始值ξ。给定的条件下,例1 例12.57与例12.58三个例子中的解,都是唯一的 Ito公式成立的范围可以更广,但是需要用测度论的语言.我们这里只能就特殊的情 况,把Ito公式的核心内容介绍给读者,使读者能领略随机微积分的概要.要完全地,严 格地懂得与掌握随机微积分,读者必须先掌握基本的测度论知识与方法. 4.随机微分方程与扩散过程简介 4.1随机微分方程 在例12.56与例12.57中,我们已经给出了两个特殊的随机微分方程 ,=-bn+odB1与dZ1=ZΦ,dB,,本段将介绍较为一般的随机微分方程 随机微分方程也称随机积分方程,是表达相当广的一类连续时间、连续状态的 Markoⅴ 过程的一个重要而方便的工具.随机微分方程的一般形式为 d51=b(t,5,d+o(t,51)dB (12.36) 它应该理解为其积分形式
352 t t t t t t t e dB dt e dt Z dB = t F - F + t F = F 2 2 2 1 ) 2 1 ( x x . 可见 Zt 是随机微分方程 dZt = ZtFtdBt 满足初始条件 Z0 = 1 的解. 事实上由下面的定理12.59知道此解是唯一的. 又由于 Zt 作为Ito过程只含对Brown 运动的随机积分项, 由 Ito 积分的性质(４)得到 Zt 是( ) Bt 鞅. 这就顺便地证明了 Ito 积分 的指数鞅性质. 例１２．５８ (描述证券的 Black-Scholes 模型) Black-Scholes 用如下的随机微分方程(称为 Black-Scholes 随机微分方程) ( ) d t t bdt sdBt x = x + 的解 t x 来描述证券价格的随机模型, 其中 bdt +sdBt 称为随机的收益变化率, 常数b 称为 平均收益率（Yield）, 常数s 称为波动率(Volatility). 这个方程与例１２．５７中的 方程非常类似. 我们容易用 Ito 公式直接验证 t b t B t e s s x x D - + = ) 2 ( 0 2 是 Black-Scholes 随机微分方程的解. 当x0 = 1时, 这个解就是几何 Brown 运动. 从本章第 4 节中的定理, 我们可以知道, 在初始值 0 x 给定的条件下, 例１２．５６， 例１２.５７与例１２．５８三个例子中的解, 都是唯一的. Ito 公式成立的范围可以更广，但是需要用测度论的语言. 我们这里只能就特殊的情 况，把 Ito 公式的核心内容介绍给读者， 使读者能领略随机微积分的概要. 要完全地，严 格地懂得与掌握随机微积分，读者必须先掌握基本的测度论知识与方法. 4. 随机微分方程与扩散过程简介 4. 1 随机微分方程 在例１２．５６与例１２．５７中, 我们已经给出了两个特殊的随机微分方程： dht = -bht +sdBt 与 dZt = ZtFtdBt . 本段将介绍较为一般的随机微分方程. 随机微分方程也称随机积分方程, 是表达相当广的一类连续时间、连续状态的 Markov 过程的一个重要而方便的工具. 随机微分方程的一般形式为 t t t dBt dx = b(t,x )dt +s(t,x ) . (12. 36) 它应该理解为其积分形式