例1设D是园域:1≤x2+y2朋 3e≤ ety dorte 解在D上,f(x,y)=e+的最小值m=e,最大值 M=e4,而D的面积SD)=4-=3π由估值公 式(3)得 Bies do< ate D 前页后页结束
前页 后页 结束 例1 设D是圆域： 1 4 + x y 2 2 ，证明 2 2 4 3πe e d 3 πe . + x y D 解 在D上， 的最小值m=e，最大值 M=e4，而D的面积S(D)=4π–π=3π.由估值公 式(3)得 2 2 ( , ) ex y f x y + = 2 2 4 3πe e d 3πe . x y D +
82二重积分的计算 二重积分的计算主要是化为两次定积分计算,称 为二次积分或累次积分下面从二重积分的几何意义来 引出这种计算方法 821二重积分在直角坐标系下的计算 在直角坐标系中,如果用平行于两个坐标轴的两 组直线段,将区域D分割成n个小块△a,△a2,…,Δan, 从而有 do=dxdy 即(x,p)da=J(x,)d D 前页后页结束
前页 后页 结束 8.2.1 二重积分在直角坐标系下的计算 二重积分的计算主要是化为两次定积分计算，称 为二次积分或累次积分.下面从二重积分的几何意义来 引出这种计算方法. 在直角坐标系中，如果用平行于两个坐标轴的两 组直线段，将区域D分割成n个小块 从而有 即 1 2 , , , , n ( , )d ( , )d d . D D f x y f x y x y = 8.2 二重积分的计算 d d d = x y
假定函数f(x,y在有界闭区域D上连续且在D上f(x,y)>0, (x,p)da表示以f(xy为顶区域D为底的 曲顶柱体的体积v 1当D为矩形区域时,a≤x≤b c≤y≤d,a,b,c,d为常数) 任取x∈(a,b),用过点x且垂直 于x轴的平面截曲顶柱体,则 可得到一曲边梯形,其面积为a s(x)=f(x, y)dy b 前页后页结束
前页 后页 结束 ( , )d D f x y 假定函数 在有界闭区域D上连续,且在D上 , 1.当D为矩形区域时, ,a,b,c,d 为常数), 表示以f (x,y)为顶,区域D为底的 曲顶柱体的体积V. 任取 ,用过点 x且垂直 于x 轴的平面截曲顶柱体,则 可得到一曲边梯形,其面积为 a b x f x y ( , ) f x y ( , ) 0 a x b ≤ ≤ c y d ≤ ≤ x a b ( , ) ( ) ( , ) d c s x f x y y = d c d s x( )
于是由平行截面面积己知的立体体积公式可得: V= s(x)dx f(x,y)dy)dx 所以∫f(x,xdy=((x,)dy)dx=ax(x,)dy 这是先对J后对的累次积 分计算二重积分的方法 同法可得到先对后对 的积分方法 f(x, y)dxdy D b b f(x, y)dxdy= dy f(x, y)dx 前页后页结束
前页 后页 结束 ( )d ( ( , )d )d b b d a a c V s x x f x y y x = = 于是由平行截面面积已知的立体体积公式可得: 所以 ( , )d d ( ( , )d )d d ( , )d b d b d a c a c D f x y x y f x y y x x f x y y = = 同法可得到先对x后对y 的积分方法. c d y ( , )d d D f x y x y [ ( , )d ]d d ( , )d d b d b c a c a = = f x y x y y f x y x 这是先对y后对x的累次积 分计算二重积分的方法 a b