《复变函数与积分变换》课程教学资源（教案讲义）第八章 傅里叶变换（The Fourier transformation）

则f(t)=A+A,cos(no,t+0,)，这说明如果f,(0)代表信号，那么一个周期为T的信号可以分解成简谐波的和，这些谐波的频率分别为基频の的倍数，换句话说，信号.()并不含有各种频率的成分，而仅由一系列具有离散频率的谐波所构成，其中A.反映了频率为no.的谐波在f.()中所占的份额，称为振幅，e,反映了频率为nの.的谐波沿时间轴移动的大小，称为相位.c，作为复数，可以完全刻画信号f.()的频率特性，称为f.()的离散频谱，ca称为离散振幅谱，argc,称为离散相位谱例8.1求以T为周期的函数-1<1<02f.(0)=T2,0<t<2的离散频谱和它的傅里叶级数的复指数形式-号，当μ二0时，解令0=C =F(0)=3一(2dt=1，f.(t)dt=TJoT当n±0时,c,=F(n)=f(0ermdt=e-mdt=(e" -1)3-n元6

6 则 0 0 1 ( ) cos( ) n n n f t A A n t    + = = + +  ，这说明如果 f t()  代表信号，那 么一个周期为 T 的信号可以分解成简谐波的和，这些谐波的频率 分别为基频 0 的倍数，换句话说，信号 f t()  并不含有各种频率 的成分，而仅由一系列具有离散频率的谐波所构成，其中 A n 反映 了频率为 0 n 的谐波在 f t()  中所占的份额，称为振幅， n 反映了 频率为 0 n 的谐波沿时间轴移动的大小，称为相位. n c 作为复数， 可以完全刻画信号 f t()  的频率特性，称为 f t()  的离散频谱， n c 称为离散振幅谱， arg n c 称为离散相位谱. 例8.1 求以 T 为周期的函数 0, 0 2 ( ) 2,0 2 T t f t T t   −    =      的离散频谱和它的傅里叶级数的复指数形式. 解 令 0 2 T   = ，当 n = 0 时， 2 2 0 0 2 1 1 (0) ( ) 2 1 T T T c F f t dt dt T T  − = = = =   ， 当 n  0 时， 0 2 2 0 2 0 0 2 1 2 ( ) ( ) ( 1) T T T jn j t jn t n T j c F n f t e dt e dt e T T n       − − − − = = = = −  

0,n=2k2jn=2k+lnn元所以f.()的傅里叶级数的复指数形式为：-2jj(2n-1)apf.()=1+(2n-1)元ne-0振幅谱为1,n=0,F(no)|=0,n= ±2,2,n=±l[1n|元相位谱为0,n=2k元.n=2k+1>0argF(no.)=2元,n=2k+1<0n二、傅里叶积分（Fourierintegral）任何一个非周期函数f()，都可看成是由某个周期函数f(t)当T→+oo时转化而来的，即f(t)= lim fr(t)由f()是周期函数，可以知道， fr(t)e-iman di Jeimonf.(0)-Z[n=127

7 0, 2 ( 1) 2 , 2 1 jn n k j e j n n k n    −  =  = − =  − = +   所以 f t()  的傅里叶级数的复指数形式为： 0 2 (2 1) ( ) 1 (2 1) n j n t n j f t e n    =+ − =− − = + −  . 振幅谱为 0 1, 0, ( ) 0, 2, 2 , 1, | | n F n n n n     =  = =     =   相位谱为 0 0, 2 arg ( ) , 2 1 0 2 , 2 1 0 2 n k F n n k n k      =   = = +     − = +    二、 傅里叶积分（Fourier integral） 任何一个非周期函数 f t() , 都可看成是由某个周期函数 () T f t 当 T → + 时转化而来的，即 ( ) lim ( ) T T f t f t →+ = 由 () T f t 是周期函数，可以知道， 2 1 2 1 ( ) [ ( ) ] T jn t jn t T T T n f t f t e dt e T   + − − = = 

所以可以得到(t)e-inor dteif(t)= lim Jr(0)= lim令△0=0,-0-1=2元/T，T=2元/0，0,=n0，则A00T-8因此(0)= Jim (0)=lim )ALojetAafr(t)e-iot dt2元4起A按照积分的定义，在一定条件下，上面表达式可以写成：f()=[ (terdt endo称为函数f(t)的傅氏积分公式定理（Theorem)8.2若f(t)在(-co，+co)上满足条件：（1)f(t)在任一有限区间上满足狄氏条件；(2)f()在无限区间（-°0+)上绝对可积在(-0,+)绝对可积是指的[1f(t)Idt收敛。则[ r da[f(t)t为连续点；f(t+0)+ f(t-0)t为间断点。2上述定理称为傅氏积分定理。可以证明，当满足傅氏积分定理条件时，公式可以写为三角形式，根据欧拉公式有8

8 所以可以得到 2 0 0 2 1 j j ( ) lim ( ) lim ( ) d T T n n t T T T T n f t f t f e e T      − + − →+ →+ =−   = =       令 1 2  = − =     n n− T ， T =  2 ， n 0   = n ，则  →  → +  0 T 因此 j j 0 1 ( ) lim ( ) lim ( ) d 2 n nt T T T n f t f t f e e              −  + − →+  → =−   = =        按照积分的定义，在一定条件下，上面表达式可以写成： 1 ( ) ( ) 2 i i t f t f e d e d       + + − − −   =       称为函数 f t() 的傅氏积分公式 定理(Theorem)8.2 若 f t() 在(-∞, +∞)上满足条件: (1) f t() 在任一有限区间上满足狄氏条件; (2) f t() 在无限区间(-∞, +∞)上绝对可积. ( , ) | ( ) | d f t t + − 在 − + 绝对可积是指的 收敛。 则 1 ( ) 2 i i t f e d e d       + + − − −         ( ) ( 0) ( 0) 2 f t t f t f t t   =  + + −   为连续点； 为间断点。 上述定理称为傅氏积分定理. 可以证明，当满足傅氏积分定理条件时，公式可以写为三角 形式，根据欧拉公式有

[(eor d er d -[(0)einn ]do[(t)coso(-t)dr+(t)sino(t-T)d ]do因为实部和虚部分别是的偶函数和奇函数：所以(0)=[f(t)coso(t-t)dt da进而可以得到f(0)=[f()coso(t-t)dt ]da

9 1 1 j j j ( ) ( ) ( ) d d ( ) d d 2 2 t t f t f e e f e             +  +  − − − − − −     = =             1 ( )cos ( )d ( )sin ( ) 2 f t j f t d d           +  + − − −   = − + −        因为实部和虚部分别是的偶函数和奇函数， 所以 1 ( ) ( )cos ( )d d 2 f t f t       +  − −   = −       进而可以得到 0 1 f t f t ( ) ( )cos ( )d d       +  −   = −      

21$8.2傅里叶变换和单位冲激函数傅里叶变换、单位冲激函数的概念和性质、单位冲激函数的傅里叶变换1、掌握求函数的傅里叶变换2、正确理解单位冲激函数的概念和性质3、正确理解单位冲激函数的傅里叶变换1、傅里叶变换的概念2、单位冲激函数的傅里叶变换单位冲激函数的概念10

10 2 1 §8.2 傅里叶变换和单位冲激函数 傅里叶变换、单位冲激函数的概念和性质、单位冲激函数的傅里叶变换 1、掌握求函数的傅里叶变换 2、正确理解单位冲激函数的概念和性质 3、正确理解单位冲激函数的傅里叶变换 1、傅里叶变换的概念 2、单位冲激函数的傅里叶变换 单位冲激函数的概念