(7)同一基圆上任意两条渐开线之间的公法线长度处处相等。如图6-10所示的C和C·为 同一基圆上的两条反向渐开线，4B和4B,为C和C'之间的任意两条公法线，根据性质1和 2可知：4B=4B,=AB:同理，两条同向渐开线C和C"之间的任意两条公法线长度也相等， 即：BE=BE=BE。 图6-10同一基圆上任意两条渐开线之间的公法线长度处处相等 6.3.2渐开线方程 研究渐开线齿轮的啮合原理和几何尺寸计算时，常用到渐开线的方程，下面介绍极坐标形式 表示的渐开线方程。 根据渐开线的性质，在图6-8中，由△BOK的几何关系可知 Ik=CosCK (6-3) BK AB ri(0s +ax) tandx =OBOB Ov tan ay-a (6-4) 上式表明展角0k是压力角ak的函数，故称A是压力角ak的渐开线函数，工程上用vax 表示ak,即invak=Ak· 因此得渐开线的极坐标方程为 invak =0k tan ak -ak (0-5) 111
111 （7）同一基圆上任意两条渐开线之间的公法线长度处处相等。如图 6-10 所示的 C 和 C ' 为 同一基圆上的两条反向渐开线， A1B1 和 A2B2 为 C 和 C ' 之间的任意两条公法线，根据性质 1 和 2 可知： A1B1 = A2B2 = AB ；同理，两条同向渐开线 C ' 和 C " 之间的任意两条公法线长度也相等， 即： B1E1 = B2E2 = BE。 图 6-10 同一基圆上任意两条渐开线之间的公法线长度处处相等 6.3.2 渐开线方程 研究渐开线齿轮的啮合原理和几何尺寸计算时，常用到渐开线的方程，下面介绍极坐标形式 表示的渐开线方程。 根据渐开线的性质，在图 6-8 中，由 BOK 的几何关系可知 K b K cos r r = （6-3） ( ) b b K K K OB AB tan r r OB BK + = = = 即 K K K = tan − （6-4） 上式表明展角 K 是压力角 K 的函数，故称 K 是压力角 K 的渐开线函数，工程上用 K inv 表示 K ，即 K K inv = 。 因此得渐开线的极坐标方程为 K K K K b K K inv tan cos r r = = − = （0-5） ） ） ）
6.4渐开线标准直齿圆柱齿轮的基本参数与几何尺寸 6.4.1齿轮各部分的名称 如错误：未找到引用源。所示为标准直齿外圆柱齿轮各部分的名称和符号 l.基圆(base circle)用于生成齿廓渐开线的圆，称为齿轮的基圆，其半径用n表示，直 径用d,表示。 2.齿顶圆(addendum circle)过齿轮齿顶端所作的圆，称为齿项圆，其半径用r,表示，直 径用d,表示。 3.齿根圆(dedendum circle)过轮齿槽底所作的圆，称为齿根圆，其半径用r,表示，直径 用dr表示。 4.分度圆(reference circle)为便于齿轮几何尺寸的表达和计算，在齿轮上规定一个圆作 为基准，将该圆称为分度圆，半径用r表示，直径用d表示。分度圆上具有标准的模数和压力角 (见后续章节介绍)。 5.齿顶高(addendum)分度圆和齿顶圆之间的部分称为齿顶，其径向距离称为齿顶高， 用h表示。 6.齿根高(dedendum)分度圆和齿根圆之间的部分称为齿根，其径向距离称为齿根高， 用h,表示。 7.全齿高齿顶圆和齿根圆之间的径向距离称为全齿高，用h表示，h=h,+: 8.齿厚(tooth thickness)沿任意圆周所量取的、轮齿两侧齿廓间的弧长，称为称为该圆周 上的齿厚，用5x表示。不同圆周上的齿厚是不同的，分度圆上的齿厚用s表示。 9.齿槽宽(space width)沿任意圆周所量取的、相邻两齿之间的弧长，称为该圆周上的齿 槽宽，用ex表示。不同圆周上的齿槽宽是不同的，分度圆上的齿槽宽用e表示。 l0.齿距(pit©h)在任意圆周上所量取的、相邻两齿同侧齿廓之间的弧长，称为该圆周上 的齿距，用Pk表示，Pk=5x+x。不同圆周上的齿距是不同的，分度圆上的齿距用p表示， p=s+e,且s=e:基圆的齿距用pb表示。 11.齿宽齿轮轮齿沿轴线方向的宽度称为齿宽，用B表示。 6.4.2齿轮的基本参数 齿轮的基本参数包括：齿轮的齿数：、模数m、齿顶高系数h、齿顶隙系数c和分度圆压力 角a,它们决定着齿轮的基本尺寸。 上资把地在合用p,.p: 可见计算得出的分度圆直径d与无理数π有关。为了便于计算、制造和检测，规定比值/π为 标准的数值，称作模数，用m表示，单位为毫米(mm),即m=P/π，由此可得分度圆齿距 112
112 6.4 渐开线标准直齿圆柱齿轮的基本参数与几何尺寸 6.4.1 齿轮各部分的名称 如错误!未找到引用源。所示为标准直齿外圆柱齿轮各部分的名称和符号。 1．基圆（base circle） 用于生成齿廓渐开线的圆，称为齿轮的基圆，其半径用 b r 表示，直 径用 b d 表示。 2．齿顶圆（addendum circle） 过齿轮齿顶端所作的圆，称为齿顶圆，其半径用 a r 表示，直 径用 a d 表示。 3．齿根圆（dedendum circle） 过轮齿槽底所作的圆，称为齿根圆，其半径用 f r 表示，直径 用 f d 表示。 4．分度圆（reference circle） 为便于齿轮几何尺寸的表达和计算，在齿轮上规定一个圆作 为基准，将该圆称为分度圆，半径用 r 表示，直径用 d 表示。分度圆上具有标准的模数和压力角 （见后续章节介绍）。 5．齿顶高（addendum） 分度圆和齿顶圆之间的部分称为齿顶，其径向距离称为齿顶高， 用 a h 表示。 6．齿根高（dedendum） 分度圆和齿根圆之间的部分称为齿根，其径向距离称为齿根高， 用 f h 表示。 7．全齿高 齿顶圆和齿根圆之间的径向距离称为全齿高，用 h 表示， h = ha + hf 。 8．齿厚（tooth thickness） 沿任意圆周所量取的、轮齿两侧齿廓间的弧长，称为称为该圆周 上的齿厚，用 K s 表示。不同圆周上的齿厚是不同的，分度圆上的齿厚用 s 表示。 9．齿槽宽（space width） 沿任意圆周所量取的、相邻两齿之间的弧长，称为该圆周上的齿 槽宽，用 K e 表示。不同圆周上的齿槽宽是不同的，分度圆上的齿槽宽用 e 表示。 10．齿距（pitch） 在任意圆周上所量取的、相邻两齿同侧齿廓之间的弧长，称为该圆周上 的齿距，用 K p 表示， K K K p = s + e 。不同圆周上的齿距是不同的，分度圆上的齿距用 p 表示， p = s + e ，且 s = e ；基圆的齿距用 pb 表示。 11．齿宽 齿轮轮齿沿轴线方向的宽度称为齿宽，用 B 表示。 6.4.2 齿轮的基本参数 齿轮的基本参数包括：齿轮的齿数 z、模数 m、齿顶高系数 * a h 、齿顶隙系数 * c 和分度圆压力 角 ，它们决定着齿轮的基本尺寸。 1．齿数（number of teeth） 齿轮在整个圆周上轮齿的总数，用 z 表示。 2．模数（module） 当已知齿轮齿数 z 和分度圆齿距 p 时，分度圆周长 d = zp ，即 d = zp / ， 可见计算得出的分度圆直径 d 与无理数 有关。为了便于计算、制造和检测，规定比值 p / 为 一标准的数值，称作模数，用 m 表示，单位为毫米(mm)，即 m = p / ，由此可得分度圆齿距
p=m (0-6) 因此，分度圆直径d为 d-周长=匹=严=忙 (0-7) 模数是齿轮计算中的基本参数，齿轮的模数越大，齿距与齿厚越大，相同齿数时分度圆直径 也越大。模数与齿厚及分度圆大小之间的关系见错误：未找到引用源。所示，图中三个齿轮的齿 数：相等。 =1 图611齿轮各部分名称和符号 图6-12不同模数的齿轮 为便于齿轮的设计和制造加工，齿轮的模数己经标准化，见表61。选用模数时，应优先选 用第一系列，其次是第二系列，而括号内的模数则尽可能不选用。 表6-1标准模数系列(GB1357-1987) (mm) 0.10.120.15020.250.50.40.50.60.811251.522.534 第一系列 5681012162025324050 第二系列 0.350.70.91.752.252.75(3.25)3.5(3.75)4.55.5(6.5)7 9(11)141822(30)36 45 3.压力角(pressure angle)通常将分度圆上的压力角称为齿轮压力角，用a表示。 因为齿轮在任意点啮合时COSaK=/,对于确定的齿轮，不变，随啮合点K点不同 而改变，所以不同点上啮合时压力角是不相等的。国标(GB1356-2001)规定分度圆上的压力角 α为标准值，一般情况下其值为20°。 4.齿顶高系数(coefficient of addendum)对于标准齿轮，其各部分尺寸都是用模数来表达 和计算的。国标规定齿轮的齿顶高 h=hm (6-8) 式中h称为齿顶高系数： 113
113 p =m （0-6） 因此，分度圆直径 d 为 mz pz mz d = = = = 周长 （0-7） 模数是齿轮计算中的基本参数，齿轮的模数越大，齿距与齿厚越大，相同齿数时分度圆直径 也越大。模数与齿厚及分度圆大小之间的关系见错误!未找到引用源。所示，图中三个齿轮的齿 数 z 相等。 图 6-11 齿轮各部分名称和符号 图 6-12 不同模数的齿轮 为便于齿轮的设计和制造加工，齿轮的模数已经标准化，见表 6-1。选用模数时，应优先选 用第一系列，其次是第二系列，而括号内的模数则尽可能不选用。 表 6-1 标准模数系列（GB1357-1987） （mm） 第一系列 0.1 0.12 0.15 0.2 0.25 0.5 0.4 0.5 0.6 0.8 1 1.25 1.5 2 2.5 3 4 5 6 8 10 12 16 20 25 32 40 50 第二系列 0.35 0.7 0.9 1.75 2.25 2.75 (3.25) 3.5 (3.75) 4.5 5.5 (6.5) 7 9 (11) 14 18 22 (30) 36 45 3．压力角（pressure angle） 通常将分度圆上的压力角称为齿轮压力角，用 表示。 因为齿轮在任意点啮合时 K b K cos = r / r ，对于确定的齿轮， b r 不变， K r 随啮合点 K 点不同 而改变，所以不同点上啮合时压力角是不相等的。国标（GB1356-2001）规定分度圆上的压力角 为标准值，一般情况下其值为 20º。 4．齿顶高系数（coefficient of addendum） 对于标准齿轮，其各部分尺寸都是用模数来表达 和计算的。国标规定齿轮的齿顶高 h h m * a = a （6-8） 式中 * a h 称为齿顶高系数
5.顶隙系数(coefficient of addendum)两齿轮在啮合传动时，一个齿轮的齿顶圆与另一个 齿轮的齿根圆之间要留有一定的间隙，此间隙的径向高度称为顶隙(bottom clearance),用c表 示。标准顶隙也是模数m的倍数，表示为 c=c'm (6-9) 式中c'称为顶隙系数。 渐开线标准直齿圆柱齿轮的基本参数均为标准值，其中齿顶高系数和顶隙系数￠'也己标 准化，对于正常齿制的齿轮：=1，c=0.25:短齿制的齿轮：=0.8，c=0.3。 6.4.3浙开线标准直齿圆柱齿轮几何尺寸的计算 m、a、h和c'均为标准值，且s=e的齿轮，称为标准齿轮。表6-2所示为外啮合渐开线 标准直齿圆柱齿轮几何尺寸的计算公式。 表62渐开线标准直齿圆柱齿轮几何尺寸计算公式 名称 符号 小齿轮 大齿轮 齿数 , 分度圆直径 d d1=m1 d=2 齿项高 h.=h.m 齿根高 h 4=(6+cm 齿全高 h h=h+h 齿顶圆直径 da da=di+2h d2=d2+2h 齿根圆直径 d dn=d-2h d2=d2-2h 基圆直径 do=d cosa die=d cosa 齿距 D D=刀 齿宽 s=p/2 齿槽宽 e e=p/2 基圆齿距 A P=pcosa 法向齿距 任意圆上的压力角 0osax=片/r 任意圆上的齿厚 0 k-s-2(mak-ima),其中mak=&=tandk-ak 标准中心距 0 a=(d+d2) 传动比 公品异 1.基圆齿距 任一圆周上的齿距都等于其圆周长与齿轮齿数的比值，即PK-2,所以，-2红5 114
114 5．顶隙系数（coefficient of addendum） 两齿轮在啮合传动时，一个齿轮的齿顶圆与另一个 齿轮的齿根圆之间要留有一定的间隙，此间隙的径向高度称为顶隙（bottom clearance），用 c 表 示。标准顶隙也是模数 m 的倍数，表示为 c c m * = （6-9） 式中 * c 称为顶隙系数。 渐开线标准直齿圆柱齿轮的基本参数均为标准值，其中齿顶高系数 * a h 和顶隙系数 * c 也已标 准化，对于正常齿制的齿轮： 1 * ha = ， 0.25 * c = ；短齿制的齿轮： 0.8 * ha = ， 0.3 * c = 。 6.4.3 渐开线标准直齿圆柱齿轮几何尺寸的计算 m、 、 * a h 和 * c 均为标准值，且 s = e 的齿轮，称为标准齿轮。表 6-2 所示为外啮合渐开线 标准直齿圆柱齿轮几何尺寸的计算公式。 表 6-2 渐开线标准直齿圆柱齿轮几何尺寸计算公式 名称 符号 小齿轮 大齿轮 齿数 z 1 z 2 z 分度圆直径 d d1 = mz1 d2 = mz2 齿顶高 a h h h m * a = a 齿根高 f h h (h c )m * f a = + 齿全高 h h = ha + hf 齿顶圆直径 a d da1 = d1 + 2ha da2 = d2 + 2ha 齿根圆直径 f d df1 = d1 − 2hf df2 = d2 − 2hf 基圆直径 b d db1 = d1 cos db2 = d2 cos 齿距 p p = m 齿宽 s s = p / 2 齿槽宽 e e = p / 2 基圆齿距 b p pb = pcos 法向齿距 n p pn = pb 任意圆上的压力角 K K b K cos = r /r 任意圆上的齿厚 K s 2 ( ) K K K K r inv inv r r s = s − − ，其中 K K K K inv = = tan − 标准中心距 a ( ) 2 1 a = d1 + d2 传动比 12 i 1 2 2 1 2 1 12 z z n n i = = = 1．基圆齿距 任一圆周上的齿距都等于其圆周长与齿轮齿数的比值，即 z r p K K 2 = ，所以 z r p b b 2 =
将=心osa代入即得 -2rc0g=代0a (0-10) 2.法向齿距 在齿廓的法线方向上测得的相邻两同向齿廓间的距离，称为法向齿距，用P。表示 如错误未找到引用源。所示，在基圆上任选一点N,作基圆的切线NB,由渐开线的性质可 知，该线是渐开线4B,和42B2所在齿廓的公法线，则将B,B,称为两轮齿的法向齿距。 因为NB=⑦，NB,=,所以 P,=BB,=NB,-N8=4,-=4A,=p (6-11) 可见法向齿距与切点N的选择无关，与基圆齿距相等。 3.任意圆上的齿厚 齿轮在不同圆周上的齿厚是不同的，如图6-14所示为齿轮的一个轮齿，其中人、s、α、日分 别表示齿轮分度圆半径、齿厚、压力角及渐开线展角：k、5K、k及0k分别表示齿轮任意圆 上的半径、齿厚、压力角及展角：为任意圆上齿厚所对应的圆心角。 由图可知 s=kp=rk(∠COC-2∠C'O) 将∠C0C'=三、∠COK=Ax-0、mvax=&代入可得 k=[月-2avas-va]--2a-va (6-12) 图613法向齿距与基圆齿距相等 图614任意圆齿厚 115
115 将 rb = rcos 代入即得 cos 2 cos b p z r p = = （0-10） 2．法向齿距 在齿廓的法线方向上测得的相邻两同向齿廓间的距离，称为法向齿距，用 pn 表示。 如错误!未找到引用源。所示，在基圆上任选一点 N，作基圆的切线 NB ，由渐开线的性质可 知，该线是渐开线 A1B1 和 A2B2 所在齿廓的公法线，则将 B1B2 称为两轮齿的法向齿距。 因为 NB1 = NA1 ， NB2 = NA2 ，所以 pn = B1B2 = NB2 − NB1 = NA2 − NA1 = A1A2 = pb （6-11） 可见法向齿距与切点 N 的选择无关，与基圆齿距相等。 3．任意圆上的齿厚 齿轮在不同圆周上的齿厚是不同的，如图 6-14 所示为齿轮的一个轮齿，其中 r、s、 、 分 别表示齿轮分度圆半径、齿厚、压力角及渐开线展角； K r 、 K s 、 K 及 K 分别表示齿轮任意圆 上的半径、齿厚、压力角及展角； 为任意圆上齿厚所对应的圆心角。 由图可知 sK = rK = rK（COC '−2C 'OK'） 将 r s COC ' = 、 C 'OK' = K − 、 K K inv = 代入可得 2(inv inv ) 2 (inv inv ) K K K K K K = − − = − − r r r s r s s r (6-12) 图 6-13 法向齿距与基圆齿距相等 图 6-14 任意圆齿厚 ） ） ） ） ）