第6章DeRham理论本章利用微分形式的分析手段研究流形的拓扑性质，我们知道，同调群是代数拓扑中用以刻画空间拓扑性质的重要拓扑不变量：在代数拓扑中研究同调群的主要手段是“对空间进行部分”以及“求边缘”，另一方面，“在流形的区域上对最高阶微分形式进行积分”这一操作事实上给出了空间区域跟微分形式之间的一种对偶关系，而根据Stokes公式，“对空间区域求边缘”的运算跟“对微分形式求外微分”的运算是对偶的.于是在光滑流形上，可以不必通过对空间区域求边缘的几何/组合方式研究同调群，而是通过对微分形式求外微分的分析方式研究其对偶即上同调群6.1deRham上同调群6.1.1deRham上同调群闭微分形式和恰当微分形式正如在同调论中“一个区域是否具有非空边缘”以及“一个区域是否是另一个区域的边缘”是研究同调群时的基本出发点一样，对于由微分形式定义的deRham上同调群，“一个微分形式是否具有非零外微分”以及“一个微分形式是否是另一个微分形式的外微分”也是最基本的出发点：定义6.1.1.（闭与恰当形式）设M是光滑流形，wEk(M是M上的k次光滑微分形式(1）若dw=0，则称w是闭微分形式(2)若存在nE2k-1(M）使得w=dn则称w是恰当微分形式品M上全体k次闭微分形式记为Zk(M)，全体k次恰当微分形式记为Bk(M)注6.1.2.设dimM=m.则根据定义，。当k>m时Bk(M)=Zk(M)=[0)。当k=0时B(M)=[0]),而Z(M)= (f E C(M) I df =0) ~RK其中K是M的连通分支的数量。当k=m时zm(M）=2m(M)例6.1.3.考虑M=R.则显然B(R)=[0)，z°(R)R以及2(IR) = C(R)由于对R上的任意1形式 g(t)dt,有w=g(t)dt 一→w =dG, 其中G(t) =g(T)dT.所以21(R)=B(R)=Z(R)
第 6 章 De Rham 理论 本章利用微分形式的分析手段研究流形的拓扑性质. 我们知道，同调群是代数拓扑 中用以刻画空间拓扑性质的重要拓扑不变量. 在代数拓扑中研究同调群的主要手段是 “对空间进行剖分”以及“求边缘”. 另一方面，“在流形的区域上对最高阶微分形式进行 积分”这一操作事实上给出了空间区域跟微分形式之间的一种对偶关系，而根据 Stokes 公式，“对空间区域求边缘”的运算跟“对微分形式求外微分”的运算是对偶的. 于是在 光滑流形上，可以不必通过对空间区域求边缘的几何✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿ /组合方式研究同调群，而是通过对 微分形式求外微分的分析方式研究其对偶即上同调群 ✿✿✿✿✿✿✿✿ . 6.1 de Rham 上同调群 6.1.1 de Rham 上同调群 ¶ 闭微分形式和恰当微分形式 正如在同调论中“一个区域是否具有非空边缘”以及“一个区域是否是另一个区域 的边缘”是研究同调群时的基本出发点一样，对于由微分形式定义的 de Rham 上同调 群，“一个微分形式是否具有非零外微分”以及“一个微分形式是否是另一个微分形式的 外微分”也是最基本的出发点： 定义 6.1.1. (闭与恰当形式) ♣ 设 M 是光滑流形, ω ∈ Ω k (M) 是 M 上的 k 次光滑微分形式. (1) 若 dω = 0，则称 ω 是 闭微分形式. (2) 若存在 η ∈ Ω k−1 (M) 使得 ω = dη, 则称 ω 是 恰当微分形式. M 上全体 k 次闭微分形式记为 Z k (M)，全体 k 次恰当微分形式记为 Bk (M). 注 6.1.2. 设 dim M = m. 则根据定义， 当 k > m 时 Bk (M) = Z k (M) = {0}. 当 k = 0 时 B0 (M) = {0}, 而 Z 0 (M) = {f ∈ C ∞(M) | df = 0} ' R K. 其中 K 是 M 的连通分支的数量. 当 k = m 时 Z m(M) = Ωm(M). 例 6.1.3. 考虑 M = R. 则显然 B 0 (R) = {0}, Z0 (R) ' R 以及 Ω 0 (R) = C ∞(R). 由于对 R 上的任意 1 形式 g(t)dt, 有 ω = g(t)dt ⇐⇒ ω = dG, 其中G(t) = ˆ t 0 g(τ )dτ. 所以 Ω 1 (R) = B1 (R) = Z 1 (R)
6.1deRham上同调群deRham上同调群根据定义，zk(M) = ker(d : 2*(M) → 2k+1(M)Bk(M) = Im(d : 2k-1(M) -→ 2k(M)因为对于任意k和任意wE2(M)，dw=d(dw)=0,所以作为向量空间(以及作为加法群)，有以下包含关系Bk(M) C zk(M) C 2k(M)定义6.1.4.（deRham上同调群）定义M的k阶deRham上同调群为商空间Har(M) := z*(M)/B*(M),并称等价类[w]为wEZk(M)所在的deRham上同调类品例6.1.5.对于M=R.由例6.1.3易见R,k=0,Har(R) ~[0], k>0注6.1.6.设dimM=m，且有K个连通分支.根据注6.1.2,RK,=0,Har(M) ~[0], k>m特别地，dimHar(Z)=80.虽然Hir（M）作为线性空间确实可能是无穷维的，本章后面将证明，对于许多光滑流形（包括所有紧流形）而言，所有deRham上同调群都是有限维线性空间定义6.1.7.（Betti数与Euler示性数）如果dimHar(M)<o0对所有k成立，则称br(M) = dim Hhr(M)为M的k阶Betti数，称(-1)*bi(M)X(M) = k=0为 M 的 Euler 示性数-注6.1.8.一般地，若一列线性空间Vi以及线性映射Li：Vi→Vi+1满足“对于任意i均有L;oLi-1=0"，则称（有限或无限）序列Lk+..... Ve-1 V+1为上链复形并定义相应的上同调群（若映射方向相反，则称为链复形并定义同调群）：特别地，0d2(M)d2'(M)d...d2m(M)d0是一个上链复形，被称为deRham上链复形156
6.1 de Rham 上同调群 ¶ de Rham 上同调群 根据定义， Z k (M) = ker(d : Ωk (M) → Ω k+1(M)), B k (M) = Im(d : Ωk−1 (M) → Ω k (M)). 因为对于任意 k 和任意 ω ∈ Ω k (M)，d 2ω = d(dω) = 0, 所以作为向量空间 (以及作为加法 群)，有以下包含关系 B k (M) ⊂ Z k (M) ⊂ Ω k (M). 定义 6.1.4. ( de Rham 上同调群) ♣ 定义 M 的 k 阶 de Rham 上同调群为商空间 Hk dR(M) := Z k (M)/Bk (M), 并称等价类 [ω] 为 ω ∈ Z k (M) 所在的 de Rham 上同调类. 例 6.1.5. 对于 M = R, 由例6.1.3易见 Hk dR(R) ' R, k = 0, {0}, k > 0 注 6.1.6. 设 dim M = m，且有 K 个连通分支. 根据注6.1.2, Hk dR(M) ' R K, k = 0, {0}, k > m 特别地，dim H0 dR(Z) = ∞. 虽然 Hk dR(M) 作为线性空间确实可能是无穷维的，本章后面将证明，对于许多光滑 流形 (包括所有紧流形) 而言，所有 de Rham 上同调群都是有限维线性空间. 定义 6.1.7. (Betti 数与 Euler 示性数) ♣ 如果 dim Hk dR(M) < ∞ 对所有 k 成立, 则称 bk(M) = dim Hk dR(M) 为 M 的 k 阶 Betti 数, 称 χ(M) = Xm k=0 (−1)k bk(M) 为 M 的 Euler 示性数. 注 6.1.8. 一般地，若一列线性空间 Vi 以及线性映射 Li : Vi → Vi+1 满足“对于任意 i 均有 Li ◦ Li−1 = 0”，则称 (有限或无限) 序列 · · · Lk−2 −→ Vk−1 Lk−1 −→ Vk Lk −→ Vk+1 Lk+1 −→ · · · 为✿✿✿✿✿✿✿✿✿ 上链复形并定义相应的✿✿✿✿✿✿✿✿✿ 上同调群(若映射方向相反，则称为✿✿✿✿✿✿ 链复形并定义✿✿✿✿✿✿ 同调群). 特别地， 0 d −→ Ω 0 (M) d −→ Ω 1 (M) d −→ · · · d −→ Ω m(M) d −→ 0. 是一个上链复形，被称为 de Rham 上链复形. 156
6.1deRham上同调群T例子：Si的deRham上同调群下面计算Si的deRham上同调群Hir(Si)根据注6.1.6，Har(SI)~R，且k≥2时Hr(S')=0，所以只需计算Har(SI).注意到在S1=R/2元Z上，虽然“角度”变量6不是一个整体定义的光滑函数，但由d在R上的平移不变性可知微分形式do是sl上整体定义的处处非零的1次微分形式（因此SI上的1次微分形式do是闭形式但不是恰当形式.此外，d是S上整体定义的光滑向量场8。的对偶).故z'(s') =2'(sl) = (fdo / f eC(s')~fdofEC(R),f是周期为2元的周期函数)另一方面，根据微积分基本定理w是1次恰当微分形式→>w=df，其中于是周期函数，周期为2元g(0)do = 0.>=9(0)d0.其中9是周期为2元的周期函数，且所以B(Sl）=(gd0「gEC(R),g是周期为2元的周期函数，且g(0)do = 0).考虑线性映射[fd] -f(0)d0.O: Hr(S') →R,下证它是线性同构，从而Hlr(SI）～R：。是良定的fi(0)do=[fid] =[fdd] fido-fdeB'(S)f(0)do。β是单射：fi()dof(0)do[fidd] [fdd] fido -fdo B'(s') 。是满射：对任意cER,令f(0)：=，则fdoeZ1(S1)，且p([fde])f(0)do = c.故s的所有deRham上同调群为Rk = 0,1,HaR(Sl)[0], k>1.特别地，x(S1)=0.deRham上同调的函子性根据定义，对于任意光滑流形M，其k阶deRham上同调群Hke(M）是一个群(事实上是线性空间).事实上，HR可以被视为是“所有光滑流形的范畴”到“所有群（或所有线性空间）的范畴”的一个反变函子（见第一章习题）.为此，对于每个光滑映射（光滑流形范157
6.1 de Rham 上同调群 ¶ 例子：S 1 的 de Rham 上同调群 下面计算 S 1 的 de Rham 上同调群 Hk dR(S 1 ). 根据注6.1.6，H0 dR(S 1 ) ' R，且 k ≥ 2 时 Hk dR(S 1 ) = 0，所以只需计算 H1 dR(S 1 ). 注 意到在 S 1 = R/2πZ 上, 虽然“角度”变量 θ 不是一个整体定义的光滑函数, 但由 d 在 R 上的平移不变性可知微分形式 dθ 是 S 1 上整体定义的处处非零的 1 次微分形式 (因此 S 1 上的 1 次微分形式 dθ 是闭形式但不是恰当形式. 此外，dθ 是 S 1 上整体定义的光滑向量场 ∂θ 的对偶). 故 Z 1 (S 1 ) = Ω1 (S 1 ) = {f dθ | f ∈ C ∞(S 1 )} ' {f dθ | f ∈ C ∞(R), f是周期为2π的周期函数}. 另一方面，根据微积分基本定理， ω 是 1 次恰当微分形式 ⇐⇒ω = df, 其中 f 是周期函数，周期为 2π ⇐⇒ω = g(θ)dθ, 其中 g 是周期为 2π 的周期函数, 且 ˆ 2π 0 g(θ)dθ = 0. 所以 B 1 (S 1 ) = {gdθ | g ∈ C ∞(R), g 是周期为 2π 的周期函数, 且 ˆ 2π 0 g(θ)dθ = 0}. 考虑线性映射 ϕ : H1 dR(S 1 ) → R, [f dθ] 7→ ˆ 2π 0 f(θ)dθ. 下证它是线性同构，从而 H1 dR(S 1 ) ' R： ϕ 是良定的: [f1dθ] = [f dθ] =⇒ f1dθ − f dθ ∈ B 1 (S 1 ) =⇒ ˆ 2π 0 f1(θ)dθ = ˆ 2π 0 f(θ)dθ. ϕ 是单射: [f1dθ] 6= [f dθ] =⇒ f1dθ − f dθ 6∈ B 1 (S 1 ) =⇒ ˆ 2π 0 f1(θ)dθ 6= ˆ 2π 0 f(θ)dθ. ϕ 是满射: 对任意 c ∈ R, 令 f(θ) := c 2π , 则 f dθ ∈ Z 1 (S 1 )，且 ϕ([f dθ]) = ˆ 2π 0 f(θ)dθ = c. 故 S 1 的所有 de Rham 上同调群为 Hk dR(S 1 ) ' R, k = 0, 1, {0}, k > 1. 特别地，χ(S 1 ) = 0. ¶ de Rham 上同调的函子性 根据定义，对于任意光滑流形 M，其 k 阶 de Rham 上同调群 Hk dR(M) 是一个群 (事实上是线性空间). 事实上，Hk dR 可以被视为是“所有光滑流形的范畴”到“所有群 (或所 有线性空间) 的范畴”的一个反变函子 (见第一章习题). 为此，对于每个光滑映射 (光滑流形范 157
6.1deRham上同调群畴中的态射)pECo(M,N)，需要给出相应deRham上同调群之间的群同态（或线性映射)，其定义方式非常自然，即借用微分形式的拉回运算：定义6.1.9.（deRham上同调群的拉回）对于任意ECM,N），称* : Har(N) → Har(M),*([nl) := [*n)为由诱导的deRham上同调群的拉回映射当然，首先需要验证上述定义的合理性：由do*=*d可知p*(zk(N)) Czk(M) 且 *(B(N)) C B*(M)于是。若n是N上的闭微分形式，则*n是M上的闭微分形式。若[n1] =[m2],则 [*n1] =[*m2]故上述*的定义不依赖于上同调类[m]中代表元的选取，从而是良定的.显然拉回映射*是线性映射（从而是加法群同态）：且容易验证对应关系~4*满足(反变）函子性，即(a) Id* = Id.(b) (Φop)* = Φ* o *.作为直接推论，立刻得到deRham上同调群在微分同胚下的不变性推论6.1.10.（微分同胚不变性）如果：M→N是微分同胚，则对任意k* : Hlr(N) - Har(M)是线性同构.特别地，br(N) =br(M), Vk,以及 x(N) = x(M)2上同调类的乘积还可以将微分形式的乘积（即楔积)改造为上同调类的运算。很自然地定义[W]和[m]的乘积为[w^n]，为此需要验证良定性：。首先设wEZ(M)，nEZ(M),则d(wn)=dwn+(-1)wdn=0,即w △n E zk+i(M).。其次，对于任意iE2k-1(M)以及2E/-1(M)(w + d1)A(n+dE2)=wAn +d [(-1)wAE2 +(-1)k-161An +(-1)k-11AdE2]换言之,[w^n] 与[w] 中的w以及[n] 中的n的选取无关.所以可以定义158
6.1 de Rham 上同调群 畴中的态射)ϕ ∈ C∞(M, N)，需要给出相应 de Rham 上同调群之间的群同态 (或线性映射)， 其定义方式非常自然，即借用微分形式的拉回运算： 定义 6.1.9. (de Rham 上同调群的拉回) ♣ 对于任意 ϕ ∈ C∞(M, N), 称 ϕ ∗ : Hk dR(N) → Hk dR(M), ϕ∗ ([η]) := [ϕ ∗ η] 为由 ϕ 诱导的 de Rham 上同调群的拉回映射. 当然，首先需要验证上述定义的合理性：由 dϕ∗ = ϕ ∗d 可知 ϕ ∗ (Z k (N)) ⊂ Z k (M) 且 ϕ ∗ (B k (N)) ⊂ B k (M). 于是 若 η 是 N 上的闭微分形式，则 ϕ ∗η 是 M 上的闭微分形式， 若 [η1] = [η2]，则 [ϕ ∗η1] = [ϕ ∗η2]， 故上述 ϕ ∗ 的定义不依赖于上同调类 [η] 中代表元的选取，从而是良定的. 显然拉回映射 ϕ ∗ 是线性映射 (从而是加法群同态)，且容易验证对应关系 ϕ ⇝ ϕ ∗ 满足 (反变)✿✿✿✿✿✿✿ 函子性，即 (a) Id∗ = Id. (b) (ψ ◦ ϕ) ∗ = ϕ ∗ ◦ ψ ∗ . 作为直接推论，立刻得到 de Rham 上同调群在微分同胚下的不变性： 推论 6.1.10. (微分同胚不变性) ♥ 如果 ϕ : M → N 是微分同胚, 则对任意 k ϕ ∗ : Hk dR(N) → Hk dR(M) 是线性同构. 特别地， bk(N) = bk(M), ∀k, 以及 χ(N) = χ(M). ¶ 上同调类的乘积 还可以将微分形式的乘积 (即楔积) 改造为上同调类的运算. 很自然地定义 [ω] 和 [η] 的乘积为 [ω ∧ η]，为此需要验证良定性： 首先设 ω ∈ Z k (M)，η ∈ Z l (M), 则 d(ω ∧ η) = dω ∧ η + (−1)kω ∧ dη = 0, 即 ω ∧ η ∈ Z k+l (M). 其次，对于任意 ξ1 ∈ Ω k−1 (M) 以及 ξ2 ∈ Ω l−1 (M), (ω + dξ1)∧(η + dξ2)=ω∧η + d î (−1)kω∧ξ2 + (−1)k−1 ξ1∧η + (−1)k−1 ξ1∧dξ2 ó . 换言之, [ω ∧ η] 与 [ω] 中的 ω 以及 [η] 中的 η 的选取无关. 所以可以定义 158
6.1deRham上同调群定义6.1.11.（上同调类的上积）定义上同调类 [] E HaR(M)和[ml E Har(M) 的上积为[w] U [n] := [w An] E Ht'(M)注6.1.12.上积给出了mHar(M)=@HaR(M)k=0上的一个分次环结构，因而（Har(M)，+U）被称为deRham上同调环对于任何光滑映射：M→N，由*(αB)=*α*β可知拉回映射*：HaR(N）→HaR(M）实际上是环同态，且满足同样的函子性。换而言之，HR是从光滑流形范畴到分次环范畴的一个反变函子.特别地，如果是微分同胚，则*：Hr(N）→H(M）是环同构6.1.2同伦不变性TdeRham上同调的同伦不变性接下来证明一个更强的结果：如果两个流形是同伦等价的，那么它们有相同的deRham上同调群.首先回忆同伦等价的概念：对于拓扑空间M和N，如果存在连续映射：M→N和：N→M使得o与Id同伦，o与IdM同伦，则称M和N同伦等价同伦等价是比同胚或微分同胚弱得多的等价关系，同伦等价的空间可以具有不同的维数例如Sm-1同伦等价于Rm\[0]，而Rm中任意星形区域同伦等价于单点集【ro]定理6.1.13.（deRham上同调群的同伦不变性）设M,N为光滑流形.如果M和N同伦等价，则Hir(M) ~ Har(N),Vk.?显然，同伦不变性蕴含了推论6.1.14.（deRham上同调群的拓扑不变性）如果M和N同胚，则HkR(M)~HhR(N)对于所有k成立注6.1.15.虽然在定义Har(M）时需要使用M上的光滑结构（例如定义算子d和以及空间2*(M）等)，但是由拓扑不变性可知Har(M）只依赖于M的拓扑结构，而与其光滑结构无关！事实上，对于任意拓扑空间X，可以定义它的奇异上同调群Hking(X，R)，它只依赖于X的拓扑（事实上只依赖于X的同伦类).著名的deRham定理断言定理6.1.16.（deRham定理）Har(M) = Hking(M, R), Vk.a该定理的证明参见？？，第5.5节159
6.1 de Rham 上同调群 定义 6.1.11. （上同调类的上积） ♣ 定义上同调类 [ω] ∈ Hk dR(M) 和 [η] ∈ Hl dR(M) 的上积为 [ω] ∪ [η] := [ω ∧ η] ∈ H k+l dR (M). 注 6.1.12. 上积给出了 H∗ dR(M) = Mm k=0 Hk dR(M) 上的一个分次环结构，因而 ✿✿✿✿✿✿ (H∗ dR(M), +, ∪) 被称为 de Rham 上同调环. 对于任何光滑 映射 ϕ : M → N，由 ϕ ∗ (α ∧ β) = ϕ ∗α ∧ ϕ ∗β 可知拉回映射 ϕ ∗ : H∗ dR(N) → H∗ dR(M) 实 际上是环同态，且满足同样的函子性. 换而言之，H∗ dR 是从光滑流形范畴到分次环范畴 的一个反变函子. 特别地，如果 ϕ 是微分同胚，则 ϕ ∗ : H∗ dR(N) → H∗ dR(M) 是环同构. 6.1.2 同伦不变性 ¶ de Rham 上同调的同伦不变性 接下来证明一个更强的结果：如果两个流形是同伦等价的，那么它们有相同的 de Rham 上同调群. 首先回忆同伦等价的概念： 对于拓扑空间 M 和 N，如果存在连续映射 ϕ : M → N 和 ψ : N → M 使得 ϕ ◦ ψ 与 IdN 同伦，ψ ◦ ϕ 与 IdM 同伦，则称 M 和 N 同伦等价. 同伦等价是比同胚或微分同胚弱得多的等价关系，同伦等价的空间可以具有不同的维数， 例如 S m−1 同伦等价于 R m \ {0}，而 R m 中任意星形区域同伦等价于单点集 {x0}. 定理 6.1.13. (de Rham 上同调群的同伦不变性) ♥ 设 M, N 为光滑流形. 如果 M 和 N 同伦等价，则 Hk dR(M) ' Hk dR(N), ∀k. 显然，同伦不变性蕴含了 推论 6.1.14. (de Rham 上同调群的拓扑不变性) ♥ 如果 M 和 N 同胚，则 Hk dR(M) ' Hk dR(N) 对于所有 k 成立. 注 6.1.15. 虽然在定义 Hk dR(M) 时需要使用 M 上的光滑结构 (例如定义算子 d 和以及空 间 Ω k (M) 等)，但是由拓扑不变性可知 Hk dR(M) 只依赖于 M 的拓扑结构，而与其光滑结 构无关！事实上，对于任意拓扑空间 X，可以定义它的奇异上同调群 Hk sing(X, R)，它只 依赖于 X 的拓扑（事实上只依赖于 X 的同伦类). 著名的 de Rham 定理断言 定理 6.1.16. (de Rham 定理) ♥ Hk dR(M) = Hk sing(M, R), ∀k. 该定理的证明参见??，第 5.5 节. 159