6.4映射度理论6.4映射度理论本节对于定向流形之间的逆紧映射，定义映射度的概念并给出应用．为此，首先需要计算任意m维光滑流形M的最高阶deRham上同调群6.4.1最高阶deRham上同调群可定向流形的最高阶紧支deRham上同调群在前两节已经证明了Hm(Sm）～R和HmRm）R.下面证明该结论对一般的连通定向光滑流形都成立：定理6.4.1.（连通可定向流形的最高阶紧支deRham上同调群）若M是m维连通定向光滑流形，则映射JM：Hm(M）→R是线性同构(从而此时有Hm(M)~R)0证明因为JM是线性满射，只需证明JM是单射，即证目标：若wE2m(M）满足JMw=0,则存在μE2m-1(M）使得w=dμ因为M是连通的而且supp(w）是紧集，可以取连通紧集Kwsupp(w)。下面通过对“K，的好覆盖所需开集个数”进行归纳，证明上述结论.如果Kw有一个仅包含一个坐标卡的好覆盖，即存在包含Kw的坐标卡U～Rm，则wE2m(U)，则由紧支deRham上同调的Poincaré引理（即定理6.3.6)以及拓扑不变性，存在μE2m-1(U）使得在U中有w=dμ1，于是零扩张后的μ=μ就是所求下面假设欲证的自标对“所有满足“K，具有一个由k一1个坐标卡组成的好覆盖的wEnm(M)”都成立，并设wE2m(M)满足“Kw具有好覆盖[Ui，*，U)”断言：存在Ui，使得U=UitiU是连通的.断言的证明：构造图G，其顶点U1，.，WK分别对应于Ui,,Uk：顶点Ui与ui有边相连当且仅当UinUi≠の.那么图G是一个连通图.根据图论，任意连通图总可以删除一个顶点（及与之相连的边），使得剩下的图仍然是连通的：只需要选择该图的一棵“生成树”，并删除该树的“一片叶子”即可取UUV关于覆盖[U,V)的一个单位分解[pU,Pv}，并令wu=puw，！wV=pVw注意由wE2m(M）可知wu,wvE2m(M).因为Kw是连通的，所以UnV≠0.选取M上一个支集落在UnV中的紧支m次微分形式wo，使得wo=wUJMJM则wu-woE2m(M)，且JM(wu-wo)=0.根据归纳假设，存在nuE2m-1(M）使得wu-wo=dnu174
‶‴ 映射度理论 6.4 映射度理论 本节对于定向流形之间的逆紧映射，定义映射度的概念并给出应用 为此，首先需 要计算任意m 维光滑流形 M 的最高阶 ⁒ 上同调群 6.4.1 最高阶de Rham 上同调群 ¶ 可定向流形的最高阶紧支de Rham上同调群 在前两节已经证明了 Hm c S m ≃ R 和 Hm c R m ≃ R 下面证明该结论对一般的连 通定向光滑流形都成立： 定理 6.4.1. (连通可定向流形的最高阶紧支de Rham上同调群) ♡ 若M是m维连通定向光滑流形，则映射 ´ M › Hm c M → R 是线性同构 (从而此时有 Hm c (M) ≃ R) 证明 因为 ´ M 是线性满射，只需证明 ´ M 是单射，即证 目标： 若 ω ∈ m c M 满足 ´ M ω ‽ ‰ 则存在 µ ∈ m−‱ c M 使得 ω ‽ dµ 因为 M 是连通的而且 ⁵⁰⁰ ω 是紧集，可以取连通紧集 Kω ⊃ ⁵⁰⁰ ω 下面通过对 “Kω的好覆盖所需开集个数”进行归纳，证明上述结论 如果Kω有一个仅包含一个坐标卡的好覆盖，即存在包含 Kω 的坐标卡 U ≃ R m，则 ω ∈ m c U 则由紧支 ⁒ 上同调的 ⁐– 引理(即定理6.3.6)以及拓扑不变性，存 在 µ‱ ∈ m−‱ c U 使得在 U 中有 ω ‽ dµ‱，于是零扩张后的 µ ‽ ι∗µ‱ 就是所求 下面假设欲证的目标对“所有满足‘Kω 具有一个由 k − ‱个坐标卡组成的好覆盖’ 的 ω ∈ m c M ”都成立，并设 ω ∈ m c M 满足“Kω 具有好覆盖 {U‱, · · · , Uk}” 断言： 存在 Ui，使得 U ‽ ∪j̸‽iUj 是连通的 断言的证明：构造图 G，其顶点 v‱, · · · , vk 分别对应于 U‱, · · · , Uk；顶点 vi 与 vj 有边相连当且仅当 Ui ∩ Uj ̸‽ ∅ 那么图 G 是一个连通图 根据图论， 任意连通图总可以删除一个顶点 及与之相连的边 ，使得剩下的图仍然是连 通的：只需要选择该图的一棵“生成树”，并删除该树的“一片叶子”即可 取U ∪ V 关于覆盖{U, V }的一个单位分解{ρU , ρV }，并令 ωU ‽ ρU ω, ωV ‽ ρV ω. 注意由 ω ∈ m c M 可知ωU , ωV ∈ m c M 因为 Kω 是连通的，所以 U ∩ V ̸‽ ∅ 选 取M 上一个支集落在 U ∩ V 中的紧支 m 次微分形式 ω‰，使得 ˆ M ω‰ ‽ ˆ M ωU . 则 ωU − ω‰ ∈ m c M ，且 ´ M ωU − ω‰ ‽ ‰ 根据归纳假设，存在 ηU ∈ m−‱ c M 使得 ωU − ω‰ ‽ dηU . ‱‷‴
6.4映射度理论类似地，由m(wV+wo)=-JMwu+JMwo=0可知存在nvE2m-1(M)使得wy+wo=dnv.口因此w=wu+wy=d(nu+nv),其中nu+nvEm-1(M)可定向流形的最高阶deRham上同调群由于紧流形的紧支deRham上同调群就是通常的deRham上同调群，故推论6.4.2.（紧致连通可定向光滑流形的最高阶deRham上同调群）设M是m维紧致连通可定向光滑流形，则HaR(M) ~R为了计算非紧的可定向光滑流形的最高阶的deRham上同调群，需要如下引理：引理6.4.3.（非紧连通流形的特定开覆盖）设M是非紧连通流形，则存在M的局部有限可数覆盖[Vl，满足(1)每个V都是连通预紧开集，(2)对于任意k，存在j>k使得VnVi≠0口由此可以证明定理6.4.4.（非紧连通可定向光滑流形的最高阶deRham上同调群）设M是m维非紧的连通可定向光滑流形，则Har(M) = 03证明取M的满足上述引理的局部有限开覆盖[V，并令【pk}为从属于该开覆盖的一个单位分解。对于任意k,取定一个(k)>k使得VsnVi()≠0，并取定nk E2m(Vn Vi(k))C2m(M)使得 JM nk=1.对任意wEQm(M)，记wk=pkwE2m(Ve)令ci=Jwi,则w1-CiniE2m(V)且(w1 - cin) = 0所以由定理6.4.1，存在μ1E22m-1(V）使得dμ= wi- cin接下来归纳地定义E2m-1(V）如下：设已定义了常数c1，，Ck，以及μ1E2m-1(Vi)，.，2m-1(Ve)，使得对任意j≤k均有duj=wi+ cini-cinj.j(i)=j令ck+1=Jv+(wk+1+≥Cn），则由wk+1+TCn-Ck+1nk+1E2m(Vk+1)j(0)=k+1j()=k+1175
‶‴ 映射度理论 类似地，由 ´ M ωV ω‰ ‽ − ´ M ωU ´ M ω‰ ‽ ‰ 可知存在ηV ∈ m−‱ c M 使得 ωV ω‰ ‽ dηV . 因此 ω ‽ ωU ωV ‽ d ηU ηV , 其中 ηU ηV ∈ m−‱ c M □ ¶ 可定向流形的最高阶 de Rham上同调群 由于紧流形的紧支 ⁒上同调群就是通常的 ⁒上同调群，故 推论 6.4.2. (紧致连通可定向光滑流形的最高阶 de Rham上同调群) ♡ 设 M 是m维紧致连通可定向光滑流形，则 Hm dR M ≃ R. 为了计算非紧的可定向光滑流形的最高阶的 ⁒上同调群，需要如下引理： 引理 6.4.3. (非紧连通流形的特定开覆盖) ♢ 设 M 是非紧连通流形，则存在 M 的局部有限可数覆盖 {Vk}，满足 ‱ 每个 Vk 都是连通预紧开集， ′ 对于任意 k，存在 j > k 使得 Vk ∩ Vj ̸‽ ∅ 由此可以证明 定理 6.4.4. (非紧连通可定向光滑流形的最高阶 de Rham 上同调群) ♡ 设 M 是m维非紧的连通可定向光滑流形，则 Hm dR M ‽ ‰ 证明 取 M 的满足上述引理的局部有限开覆盖 {Vk}，并令 {ρk} 为从属于该开覆盖 的一个单位分解 对于任意 k 取定一个 j k > k 使得 Vk ∩ Vj k ̸‽ ∅，并取定 ηk ∈ m c Vk ∩ Vj k ⊂ m c M 使得 ´ M ηk ‽ ‱ 对任意 ω ∈ m M ，记 ωk ‽ ρkω ∈ m c Vk 令 c‱ ‽ ´ V1 ω‱ 则 ω‱ −c‱η‱ ∈ m c V‱ 且 ˆ V1 ω‱ − c‱η‱ ‽ ‰. 所以由定理 ‶‴‱，存在 µ‱ ∈ m−‱ c V‱ 使得 dµ‱ ‽ ω‱ − c‱η‱. 接下来归纳地定义µi ∈ m−‱ c Vi 如下：设已定义了常数 c‱, · · · , ck，以及 µ‱ ∈ m−‱ c V‱ · · · , µk ∈ m−‱ c Vk 使得对任意 j ≤ k均有 dµj ‽ ωj X j i ‽j ciηi − cjηj . 令 ck‱ ‽ ´ Vk+1 ωk‱ P j i ‽k‱ ciηi 则由 ωk‱ P j i ‽k‱ ciηi − ck‱ηk‱ ∈ m c Vk‱ ‱‷‵
6.4映射度理论且Wk+1+ Z Cini-Ck+1nk+1e 2m(V+1)=0V+j(i)=k+1可知存在μk+1E2m-1(Vk+1）使得Cinj-Ck+1nk+1dμk+1=wk+1 +j()=k+1最后，令μ=由[V)的局部有限性可知该求和是局部有限的，所以确实定义了Qm-1(M）中的一个元素，且Ecknk = w,d=dk=wk+cni-kkkj(i)=k口从而定理得证不可定向流形的最高阶deRham以及紧支deRham上同调群对于m维连通不可定向光滑流形M，为了计算其最高阶deRham上同调以及紧支deRham上同调群，需要考虑其定向双重覆叠元：M→M.其中M=(p,Op)|pEM,O,是T,M的一个定向)(称为M的定向双重覆叠空间)，而元(p,Op）=p是自然的投影映射.可以证明(留作练习)：。M可被赋予拓扑和光滑结构，使之成为一个m维连通定向流形，且元是光滑双重覆叠映射。该覆叠的非平凡Deck变换o：M→M是反转定向微分同胚下面借助M的最高阶deRham上同调群去研究M的最高阶deRham上同调群定理6.4.5.（不可定向流形的最高阶deRham/紧支deRham上同调群）设M是m维连通不可定向光滑流形，则HaR(M) = Hm(M) = 0.O证明对于任意wE2m(M)，令w=元*w(注意元是逆紧映射)，则E2m(M)，且a*w=g*元*w=(πoo)w=π*w=w.于是J=J*=-J.由此可知=0.由推论6.3.11以及推论6.4.2，存在ne2m-1(M）使得w=dm.注意(+g*)在Deck变换下不变，从而定义了M上的紧支m-1形式n，且dn=w.这就证明了Hm(M)=[0]对于deRham上同调群，若M是m维紧致连通不可定向光滑流形，则H（M）=Hm(M)=[0]若M是m维非紧且连通不可定向光滑流形，则由定理6.4.4可知Hm(M)=口[0]，从而不必借助积分映射，依然可得HaR(M)=[0]综上所述：假设M是m维连通光滑流形，则R，M紧且可定向，R，M可定向，H(M)~而Hm(M)0，M非紧或不可定向0，M不可定向176
‶‴ 映射度理论 且 ˆ Vk+1 ωk‱ X j i ‽k‱ ciηi − ck‱ηk‱ ∈ m c Vk‱ ‽ ‰ 可知存在 µk‱ ∈ m−‱ c Vk‱ 使得 dµk‱ ‽ ωk‱ X j i ‽k‱ ciηj − ck‱ηk‱. 最后，令 µ ‽ P k µk 由 {Vk} 的局部有限性可知该求和是局部有限的，所以确实 定义了 m−‱ M 中的一个元素，且 dµ ‽ d Xµk ‽ X k ωk X k X j i ‽k ciηi − X k ckηk ‽ ω, 从而定理得证 □ ¶ 不可定向流形的最高阶 de Rham以及紧支 de Rham 上同调群 对于 m 维连通不可定向光滑流形 M，为了计算其最高阶 ⁒ 上同调以及紧 支 ⁒ 上同调群，需要考虑其定向双重覆叠 π › Mf → M 其中 Mf ‽ { p, Op | p ∈ M, Op 是 TpM的一个定向} (称为 M 的定向双重覆叠空间) 而π p, Op ‽ p 是自然的投影映射 可以证明(留作练习)： Mf 可被赋予拓扑和光滑结构，使之成为一个 m 维连通定向流形，且 π 是光滑双 重覆叠映射 该覆叠的非平凡⁄变换 σ › Mf → Mf 是反转定向微分同胚 下面借助 Mf 的最高阶 ⁒ 上同调群去研究 M 的最高阶 ⁒ 上同调群 定理 6.4.5. (不可定向流形的最高阶 de Rham/紧支 de Rham 上同调群) ♡ 设 M 是 m 维连通不可定向光滑流形 则 Hm dR M ‽ Hm c M ‽ ‰. 证明 对于任意ω ∈ m c M ，令ωe ‽ π ∗ω(注意π是逆紧映射)，则ωe ∈ m c Mf ，且 σ ∗ωe ‽ σ ∗π ∗ω ‽ π ◦ σ ∗ω ‽ π ∗ω ‽ ω. e 于是 ´ Mf ωe ‽ ´ Mf σ ∗ωe ‽ − ´ Mf ωe 由此可知 ´ Mf ωe ‽ ‰ 由推论‶″‱‱以及推论‶‴′，存在 ηe ∈ m−‱ c Mf 使得 ωe ‽ dηe 注意 ‱ ′ ηe σ ∗ηe 在⁄变换下不变，从而定义了M上的紧 支m − ‱形式η，且dη ‽ ω 这就证明了 Hm c M ‽ {‰} 对于 ⁒上同调群，若M是m维紧致连通不可定向光滑流形，则 Hm dR M ‽ Hm c M ‽ {‰} 若M是m维非紧且连通不可定向光滑流形，则由定理‶‴‴可知Hm dR Mf ‽ {‰}，从而不必借助积分映射，依然可得Hm dR M ‽ {‰} □ 综上所述：假设 M 是m维连通光滑流形，则 Hm dR M ≃ R, M 紧且可定向, ‰, M 非紧或不可定向 而 Hm c M ≃ R, M 可定向, ‰, M 不可定向. ‱‷‶
6.4映射度理论6.4.2映射度映射度设M,N是m维连通定向流形，则积分映射给出了线性同构Hm(M）~R以及Hm(N)~R.现设f：M→N是逆紧光滑映射.则拉回映射f*: R Hm(N)→Hm(M)R是线性映射，因此存在仅依赖于f的常数，记作deg(f)，使得*作为R到R的映射就是"乘以常数deg(f)".换而言之，对于wE2m(N)，均有f"w = deg(f) /定义6.4.6（映射度）设M,N是m维连通定向流形，而f：M→N是逆紧光滑映射，则称上述常数deg(f）为f的映射度品注6.4.7.同构Hm(N）～R是由积分映射J诱导的，因此依赖于定向的选取：同一个w关于相反的定向会给出相反数.故为了定义deg(f)，需要先取定M和N的定向不过，如果M是可定向的而f：M→M是M到自身的光滑映射，则deg(f)与M的定向的选取无关例6.4.8.设M,N是连通定向流形，而f：M→N是微分同胚.由定理5.3.9（积分的变量替换公式)可知于是保定向的，deg(f) :-1，于是反转定向的特别地，考虑对径映射f:sn-→sn.p- f(p) =-p则根据第五章习题可知当n是奇数时它是保定向的，当n是偶数时它是反转定向的.故1,n是奇数，deg(f) =-1，n是偶数关于映射度，下述性质是基本的：命题6.4.9.（映射度的基本性质）设M,N,P是维数相同的连通定向流形(1)如果 f :M→ N 和 g: N→P都是逆紧光滑映射，则 gof 也逆紧，且deg(g o f) = deg(f)deg(g).(2)如果 f : M→N 和 g:M→N 是逆紧同伦的，则deg(f) = deg(g),6口证明(1）由定义可得.(2）由定理6.3.3可得.(3)注6.4.10.设M.N为连通可定向光滑流形.由于任意逆紧连续映射都逆紧同伦于177
‶‴ 映射度理论 6.4.2 映射度 ¶ 映射度 设 M, N 是 m 维连通定向流形，则积分映射给出了线性同构 Hm c M ≃ R 以及 Hm c N ≃ R 现设 f › M → N 是逆紧光滑映射 则拉回映射 f ∗ › R ≃ Hm c N −→ Hm c M ≃ R 是线性映射，因此存在仅依赖于 f 的常数，记作 f ，使得 f ∗ 作为 R 到 R 的映射 就是•乘以常数 f • 换而言之，对于 ω ∈ m c N 均有 ˆ M f ∗ω ‽ f ˆ N ω 定义 6.4.6. (映射度) ♣ 设 M, N 是 m 维连通定向流形 而 f › M → N 是逆紧光滑映射，则称上述常数 f 为 f 的映射度 注 6.4.7. 同构 Hm c N ≃ R 是由积分映射 ´ N诱导的，因此依赖于定向的选取：同一 个 ω 关于相反的定向会给出相反数 故为了定义 f ，需要先取定 M 和 N 的定向 不过，如果 M 是可定向的而 f › M → M 是 M 到自身的光滑映射，则 f 与 M 的定向的选取无关 例 6.4.8. 设 M, N 是连通定向流形 而 f › M → N 是微分同胚 由定理‵″‹ (积分的 变量替换公式)可知 f ‽ ‱, f 是保定向的, −‱, f 是反转定向的. 特别地，考虑对径映射 f › S n → S n , p 7→ f p ‽ −p. 则根据第五章习题可知当n是奇数时它是保定向的，当n是偶数时它是反转定向的 故 f ‽ ‱, n 是奇数, −‱, n 是偶数. 关于映射度，下述性质是基本的： 命题 6.4.9. (映射度的基本性质) ♠ 设 M, N, P 是维数相同的连通定向流形 ‱ 如果 f › M → N 和 g › N → P 都是逆紧光滑映射，则 g ◦ f 也逆紧，且 g ◦ f ‽ f g . ′ 如果 f › M → N 和 g › M → N 是逆紧同伦的，则 f ‽ g . 证明 ‱ 由定义可得 ′ 由定理‶″″可得 ″ □ 注 6.4.10. 设 M, N 为连通可定向光滑流形 由于任意逆紧连续映射都逆紧同伦于 ‱‷‷
6.4映射度理论某个逆紧光滑映射，而由定理6.3.3，逆紧同伦于同一个逆紧连续映射的两个逆紧光滑映射具有相同的映射度.因此，对于任意逆紧连续映射f：M→N，可以定义deg(f）为deg(g)，其中g是任意一个逆紧同伦于f的逆紧光滑映射注6.4.11。注意紧流形之间的任意连续映射都是逆紧的.于是若M是m维连通定向紧流形，而f.g：M→sm是同伦的两个光滑映射，则deg(f）=deg(g)反之，映射度可以用来刻画两个映射是否同伦(证明参见[？]：定理6.4.12.（Hopf映射度定理）设M是m维连通定向紧流形.则连续映射f.g：M→Sm同伦当且仅当 deg(f) = deg(g).O这说明映射度是连续映射空间C(M.Sm）的唯一同伦不变量！工映射度的局部计算下面给出用局部信息计算映射度的方法.首先考虑f不是满射的情形：命题6.4.13.（不满射则映射度为0）设M,N都是m维定向连通光滑流形.如果逆紧光滑映射f:M→N不是满射，则 deg(f) = 0.证明因为逆紧映射都是闭映射（见第二章习题)，所以如果gf(M)，则存在q的开邻域U满足Unf(M)=0.选取一个支集包含在U中的m次微分形式w使得Jnw=1.根口据构造f*w=0，所以deg(f)=0接下来假设逆紧光滑映射是满射.令qEN是f的一个正则值。则（见第二章习题）f-1(@)={p1，…·，ps)是有限集，且存在q的邻域U和每个pi的邻域Ui，使得。对于i≠iUinUi=0. f-1(U) =U-,Ui,。f将每个U微分同胚地映为U显然可以选取U和U，足够小，使得它们都是连通的定向坐标卡，令1.如果f：U→U是保定向的，Ji=如果f：Ui→U是反转定向的-1,取wE2m(U）使得JNw=1.则f*w的支集包含于f-1(U)=U-,U，而且kLw=Zoi[f"w-Loif*w=i=iJu-1于是我们证明了定理6.4.14.（映射度的局部计算公式）f的映射度一定是整数，且等于L>deg(f) =Qii=12178
‶‴ 映射度理论 某个逆紧光滑映射，而由定理‶″″，逆紧同伦于同一个逆紧连续映射的两个逆紧光滑映 射具有相同的映射度 因此，对于任意逆紧连续映射 f › M → N 可以定义 f 为 g ，其中 g 是任意一个逆紧同伦于 f 的逆紧光滑映射 注 6.4.11. 注意紧流形之间的任意连续映射都是逆紧的 于是若 M 是 m 维连通定向 紧流形，而 f, g › M → S m 是同伦的两个光滑映射，则 f ‽ g 反之，映射度 可以用来刻画两个映射是否同伦(证明参见[? ])： 定理 6.4.12. (Hopf 映射度定理) ♡ 设 M 是 m 维连通定向紧流形 则连续映射 f, g › M → S m 同伦当且 仅当 f ‽ g 这说明映射度是连续映射空间 C M, Sm 的唯一同伦不变量！ ¶ 映射度的局部计算 下面给出用局部信息计算映射度的方法 首先考虑 f 不是满射的情形： 命题 6.4.13. (不满射则映射度为0) ♠ 设 M, N 都是 m 维定向连通光滑流形 如果逆紧光滑映射 f › M → N 不是满射， 则 f ‽ ‰ 证明 因为逆紧映射都是闭映射(见第二章习题)，所以如果 q ̸∈ f M ，则存在 q 的开邻域 U ‹ 满足 U ‹ ∩ f M ‽ ∅ 选取一个支集包含在 U ‹ 中的 m次微分形式 ω 使得 ´ N ω ‽ ‱ 根 据构造 f ∗ω ‽ ‰，所以 f ‽ ‰ □ 接下来假设逆紧光滑映射 f 是满射 令 q ∈ N 是 f 的一个正则值 则(见第二章习题) f −‱ q ‽ {p‱, · · · , pk} 是有限集，且存在q的邻域 U ‹ 和每个 pi 的邻域 Ui 使得 对于 i ̸‽ j Ui ∩ Uj ‽ ∅ f −‱ U ‹ ‽ ∪ k i‽‱Ui f 将每个 Ui 微分同胚地映为 U ‹ 显然可以选取 U 和 Ui 足够小，使得它们都是连通的定向坐标卡 令 σi ‽ ‱, 如果 f › Ui → U ‹ 是保定向的, −‱, 如果 f › Ui → U ‹ 是反转定向的. 取 ω ∈ m c U ‹ 使得 ´ N ω ‽ ‱ 则 f ∗ω 的支集包含于 f −‱ U ‹ ‽ ∪ k i‽‱Ui，而且 ˆ M f ∗ω ‽ X k i‽‱ ˆ Ui f ∗ω ‽ X k i‽‱ σi ˆ U‹ ω ‽ X k i‽‱ σi . 于是我们证明了 定理 6.4.14. (映射度的局部计算公式) ♡ f的映射度一定是整数，且等于 f ‽ X k i‽‱ σi . ‱‷‸