6.5Poincaré对偶及其应用6.5Poincaré对偶及其应用对偶性是数学中一个极其优美的现象，在几乎每个数学分支中都会出现，并产生极大的影响，在各种对偶现象中，Poincaré对偶是代数拓扑中的一个核心定理，以各种面貌出现在各种同调与上同调理论中。本节研究的是披着“分析学外衣”的Poincare对偶，即deRham上同调群与紧支deRham上同调群之间的对偶，以及与之相关的上同调群与子流形间的对偶6.5.1Poincare对偶Poincare对偶定理首先不妨仔细观察一下之前算出的一些流形的deRham上同调群与紧支deRham上同调群，。对于M=Rm，有R,k=0,R,k=m和Hr(Rm)~H(Rm0,k+0,0,k+mR, k=0,m,。对于M=Sm,有Hk(Sm）=Har(Sm)0.k≠0,m。对于任意m维连通定向流形，有R，M是紧的HaR(M) ~R,Har(M) ~0,M是非紧的以及R，M是紧的H"(M)~R,H°(M)~0,M是非紧的注意即使M不连通也可算出类似结果：若M有K<o个连通分支，其中K个是紧连通分支，则对于前者，只要把R改为RK，对于后者，只要把R改为RKe.。对于任意m维连通不可定向流形M，有R，M是紧的Har(M)~R,而1H(M) :0，M 是非紧的以及Har(M) = Hm(M) = 0.注意若M不连通，则相应的公式依赖于M的各连通分支的紧性与可定向性从这些例子中，除了最后一个不可定向流形外，不难观察到明显的对偶性：㎡维可定向流形M的k阶deRham上同调群“应该”与它的m-k维紧支deRham上同调群是一样的.这不是一种巧合(但也并不总是一种事实，见注6.5.3)：事实上H.Poincare最早在1893年就（在Betti数的层面)观察到这种现象，因而被命名为Poincaré对偶182
‶‵ ⁐–对偶及其应用 6.5 Poincar´e对偶及其应用 对偶性是数学中一个极其优美的现象，在几乎每个数学分支中都会出现，并产生极 大的影响 在各种对偶现象中，⁐– 对偶是代数拓扑中的一个核心定理，以各种面 貌出现在各种同调与上同调理论中。本节研究的是披着“分析学外衣”的 ⁐– 对 偶，即 ⁒ 上同调群与紧支 ⁒ 上同调群之间的对偶，以及与之相关的上同 调群与子流形间的对偶 6.5.1 Poincar´e对偶 ¶ Poincar´e 对偶定理 首先不妨仔细观察一下之前算出的一些流形的 ⁒ 上同调群与紧支 ⁒ 上同调群， 对于 M ‽ R m，有 Hk dR R m ≃ R, k ‽ ‰, ‰, k ̸‽ ‰, 和 Hk c R m ≃ R, k ‽ m, ‰, k ̸‽ m. 对于 M ‽ S m，有 Hk c S m ‽ Hk dR S m ≃ R, k ‽ ‰, m, ‰, k ̸‽ ‰, m. 对于任意 m 维连通定向流形，有 H‰ dR M ≃ R, Hm dR M ≃ R, M 是紧的 ‰, M 是非紧的 以及 Hm c M ≃ R, H‰ c M ≃ R, M 是紧的 ‰, M 是非紧的 注意即使 M 不连通也可算出类似结果：若 M 有 K < ∞ 个连通分支，其中 Kc 个 是紧连通分支，则对于前者，只要把 R 改为 R K 对于后者，只要把 R 改为 R Kc 对于任意 m 维连通不可定向流形 M，有 H‰ dR M ≃ R, 而 H‰ c M ≃ R, M 是紧的 ‰, M 是非紧的 以及 Hm dR M ‽ Hm c M ‽ ‰. 注意若 M 不连通，则相应的公式依赖于 M 的各连通分支的紧性与可定向性 从这些例子中 除了最后一个不可定向流形外，不难观察到明显的对偶性：m 维可定向 流形 M 的 k 阶 ⁒ 上同调群“应该”与它的 m − k 维紧支 ⁒ 上同调群 是一样的 这不是一种巧合(但也并不总是一种事实，见注6.5.3)：事实上 ⁈ ⁐– 最早在 ‱‸‹″ 年就(在 Betti 数的层面)观察到这种现象，因而被命名为 ⁐– 对偶 ‱‸′
6.5Poincare对偶及其应用下面解释这种对偶性。设M是m维定向流形.结合上积映射U: Har(M) × Hm-k(M) → Hm(M), ([w],[nl) -→[w An]和积分映射: Hm(M) →R,[a] →可以构造一个双线性的配对映射PM : Har(M) × Hm-k(M) → R, Pk([w),[ml)=wΛn根据线性代数，映射Pk诱导了一个Poincaré对偶映射wanPM : Har(M)→ (Hn-k(M))*, Pk(wl) =n-例6.5.1.设M是m维连通定向流形，则PM将元素[1] EHar(M)映为Hm(M)上的线性映射:Hm(M)-→R,nH于是 P([1]) = JM E (Hm(M)*.本节的主要定理是定理6.5.2.（Poincare对偶）对任意m维定向流形M和任意k，Poincaré对偶映射Pk : Hir(M) -→ (Hm-k(M)是一个线性同构，0注6.5.3.(1）注意对于不可定向流形，Poincaré对偶现象不一定成立(2）如果dimHm-k(M）<80，则（Hm-k(M))*同构于Hm-k(M).此时有Hhr(M) ~ Hm-k(M)(3）Poincare对偶映射的方向：一般而言(Har(M)*± Hn-k(M)例如，考虑1维流形M=UieN(i,i+1)(可数个不相交的开区间的并集).则Har(M) ~R = ((ai,a2,...) I a; E R)iEN而H(M)~?R=((a1,a2,)|aiER且除有限多个之外都为零)iEN在代数中，这是一个众所周知（但不平凡）的事实：OR-IIR而IIR#④R.iENiENLiEN183
‶‵ ⁐–对偶及其应用 下面解释这种对偶性 设 M 是 m 维定向流形 结合上积映射 ∪ › Hk dR M × Hm−k c M → Hm c M , ⁛ω⁝, ⁛η⁝ 7→ ⁛ω ∧ η⁝ 和积分映射 ˆ M › Hm c M → R, ⁛ω⁝ 7→ ˆ M ω, 可以构造一个双线性的配对映射 P k M › Hk dR M × Hm−k c M → R, Pk M ⁛ω⁝, ⁛η⁝ ‽ ˆ M ω ∧ η. 根据线性代数，映射 P k M 诱导了一个 Poincar´e对偶映射 P k M › Hk dR M → Ä Hn−k c M ä∗ , P k M ⁛ω⁝ ‽ ß η 7→ ˆ M ω ∧ η ™ . 例 6.5.1. 设 M 是 m 维连通定向流形，则 P ‰ M 将元素 ⁛‱⁝ ∈ H‰ dR M 映为 Hm c M 上的线性映射 ˆ M › Hm c M → R, η 7→ ˆ M η. 于是 P ‰ M ⁛‱⁝ ‽ ´ M ∈ Hm c M ∗ 本节的主要定理是 定理 6.5.2. (Poincar´e 对偶) ♡ 对任意 m 维定向流形 M 和任意 k，⁐– 对偶映射 P k M › Hk dR M → Ä Hm−k c M ä∗ 是一个线性同构 注 6.5.3. ‱ 注意对于不可定向流形，⁐– 对偶现象不一定成立 ′ 如果 Hm−k c M < ∞，则 Hm−k c M ∗ 同构于 Hm−k c M 此时有 Hk dR M ≃ Hm−k c M . ″ ⁐– 对偶映射的方向：一般而言 Ä Hk dR M ä∗ ̸≃ Hn−k c M . 例如，考虑 ‱ 维流形 M ‽ ∪i∈N i, i ‱ (可数个不相交的开区间的并集) 则 H‰ dR M ≃ Y i∈N R ‽ { a‱, a′, · · · | ai ∈ R} 而 H‱ c M ≃ M i∈N R ‽ { a‱, a′, · · · | ai ∈ R 且除有限多个之外都为零 }. 在代数中，这是一个众所周知（但不平凡）的事实： M i∈N R !∗ ‽ Y i∈N R 而 Y i∈N R !∗ ̸‽ M i∈N R. ‱‸″
6.5Poincare对偶及其应用Poincare对偶：证明概要虽然Poincare对偶对于任意定向流形都成立，本节将仅仅对“存在有限好覆盖的定向流形”给出Poincaré对偶性的证明概要首先，根据本章第2节与第3节所述，对于光滑流形M，设U,V是M中的开集且满足M=UUV，则可以写出两个正合列，即deRham上同调群正合列.- HAn(M),Han(U) Han(V) BHan(UnV)yHat(M)...和紧支deRham上同调群正合列(UnV)(U)(V)(M)+I(UnV)对于第二个正合列取其对偶，可得新的正合列" H()*-(v)(" H(Un)(8m-t-1)" Hm-k-1(M)*→*+-Hm-(M)*.假设M是定向流形，则第一个和第三个正合列的对应项恰好可以由Poincaré对偶映射PM联系起来，从而给出如下图表18Har(M)Hir(U)Har(V)βHAn(UnV)Ht(M)TPkrlPhepPunv!Pkt11→ Hm*(M)* Hm*(U)* Hm*(V)* β Hm*(UnV)*→ Hm-k-(M)*-→..下面证明引理 6.5.4上述图表是交换图表A证明仅验证最后一个框的交换性，即Pk+1 0(-1)k+18k = (8%)*0Pbnv为此，取定从属于U,V的单位分解pU,PV.设[a]EHaR(UnV)，则由定义，x([al)=[dpv^w].于是，映射Pk+1。(-1)k+18i将[w]映为映射[m) e Hm-k-1(M) -→ / (-1)+1dpv Nw An.另一方面，Pbov将[w]EHar(UnV)映为映射nEHm-kwAn那么，（8m-x-1)*将它映为什么映射呢？回忆一下，若L：V→W是线性映射，则L*:W*→V*将fEW*映成L*(f)(u)=f(Lu).于是作为Hm-k-1(UnV)上的线性泛函，（8)*Pbnv把[ml EEHn-k-1(M)映为 8mk-1([nml),n由于8m-k-1([nl)=[dpu^n]，上式等于wAdpu^n=(-1)*+1dpywnJunv口这就是欲证的结论，184
‶‵ ⁐–对偶及其应用 ¶ Poincar´e对偶：证明概要 虽然 ⁐– 对偶对于任意定向流形都成立，本节将仅仅对“存在有限好覆盖的定 向流形”给出 ⁐– 对偶性的证明概要 首先，根据本章第′节与第″节所述，对于光滑流形 M，设 U, V 是 M 中的开集且 满足 M ‽ U ∪ V 则可以写出两个正合列，即 ⁒ 上同调群正合列 · · · δk−1 −→ Hk dR M αk −→ Hk dR U ⊕ Hk dR V βk −→ Hk dR U ∩ V δk −→ H k‱ dR M αk+1 −→ · · · 和紧支 ⁒ 上同调群正合列 · · · δ c k−1 −→ Hk c U ∩ V β c k −→ Hk c U ⊕ Hk c V α c k −→ Hk c M δ c k −→ Hk‱ c U ∩ V β c k+1 −→ · · · . 对于第二个正合列取其对偶，可得新的正合列 · · ·→Hm−k c M ∗ α c m−k ∗ −→ Hm−k c U ∗⊕Hn−k c V ∗ β c m−k ∗ −→ Hm−k c U∩V ∗ δ c m−k−1 ∗ −→ Hm−k−‱ c M ∗→· · · . 假设 M 是定向流形，则第一个和第三个正合列的对应项恰好可以由 ⁐– 对偶 映射 P ∗ M 联系起来，从而给出如下图表 · · · Hk dR M Hk dR U ⊕ Hk dR V Hk dR U ∩ V H k‱ dR M · · · · · · Hm−k c M ∗ Hm−k c U ∗ ⊕ Hm−k c V ∗ Hm−k c U ∩ V ∗ Hm−k−‱ c M ∗ · · · α Pk M β Pk U ⊕Pk V −‱ k+1δ Pk U∩V P k+1 M α ∗ β ∗ δ ∗ 下面证明 引理 6.5.4 上述图表是交换图表 ♢ 证明 仅验证最后一个框的交换性，即 P k‱ M ◦ −‱ k‱δk ‽ δ c k ∗ ◦ Pk U∩V . 为此，取定从属于 U, V 的单位分解 ρU , ρV 设 ⁛ω⁝ ∈ Hk dR U ∩ V 则由定义，δk ⁛ω⁝ ‽ ⁛dρV ∧ ω⁝ 于是，映射 P k‱ M ◦ −‱ k‱δk 将 ⁛ω⁝ 映为映射 ⁛η⁝ ∈ Hm−k−‱ c M 7→ ˆ M −‱ k‱dρV ∧ ω ∧ η. 另一方面，P k U∩V 将 ⁛ω⁝ ∈ Hk dR U ∩ V 映为映射 η ∈ Hm−k c 7→ ˆ U∩V ω ∧ η. 那么， δ c m−k−‱ ∗ 将它映为什么映射呢？回忆一下，若 L › V → W 是线性映射，则 L ∗ › W∗ → V ∗ 将 f ∈ W∗ 映成 L ∗ f v ‽ f Lv 于是作为 Hm−k−‱ c U ∩ V 上的线性 泛函， δ c k ∗ ◦ Pk U∩V 把 ⁛η⁝ ∈∈ Hn−k−‱ c M 映为 ˆ U∩V ω ∧ δ c m−k−‱ ⁛η⁝ . 由于 δ c m−k−‱ ⁛η⁝ ‽ ⁛dρU ∧ η⁝，上式等于 ˆ U∩V ω ∧ dρU ∧ η ‽ −‱ k‱ ˆ M dρV ∧ ω ∧ η, 这就是欲证的结论 □ ‱‸‴
6.5Poincare对偶及其应用证明「存在有限好覆盖的定向流形M的Poincare对偶的证明概要]用归纳法.若M具有“由一个开集组成的好覆盖”，则M～IRn，于是由deRham上同调以及紧支deRham上同调的Poincaré引理可知当k≠0时Pk（作为o维线性空间之间的线性映射)自动是线性同构，而当k=0时结合例6.5.1可知Poincare对偶映射Po把[1]EHaR(M）映为非零元JME（Hm(M))*~R，从而是满射：于是PM（作为1维线性空间之间的线性映射）是线性同构，即定理成立，现在假设定理对于“具有不超过k－1个开集组成的好覆盖的流形”都成立.设M有好覆盖[U1,Ui]令U=UiU...UUk-1 和 V=Uk.则U,V和UnV都有不超过k-1个开集的好覆盖.根据归纳假设，Pb，P和Pbnv口都是同构。由前述引理以及五引理(即引理6.2.13）可知Pk是一个同构。6.5.2Poincare对偶的应用应用1：紧支deRham上同调群的Kinneth公式利用Poincare对偶，对于定向流形，不难把紧支deRham上同调群的结论归约到相应的deRham上同调群。例如，用deRham上同调群的Kinneth公式可得推论6.5.5.（紧支deRham上同调群的Kimmeth公式）如果MN都是存在有限好覆盖的定向流形，则H(M × N) ~H(M) @ Hk-i(N)00证明设dimM=m,dimN=n.由Poincaré对偶和deRham上同调群的Kinneth公式，m+n-kH:(M× N) ~ Htn-k(M× M) ~ @ Han(M) H+n-k-i(N).i-0指标i满足i<m且m+n-k-i<n，即m-k<i<m.因此④ Han(M)HI+n-k-i(N) ~ E@ HAR (M) HAR*+(N).H(M×N)~P1i=m-ki=0口再由Poincaré对偶即得欲证。特别地，推论6.5.6对于任意定向流形M，如果其紧支集上同调群都是有限维的，则Hk+(M × R') ~ H(M)O这两个结论对于更一般流形也成立，185
‶‵ ⁐–对偶及其应用 证明 ⁛存在有限好覆盖的定向流形 M 的⁐–对偶的证明概要⁝ 用归纳法 若 M 具有“由一个开集组成的好覆盖”，则 M ≃ R n，于是由 ⁒ 上同调以及紧支 ⁒ 上同调的 ⁐– 引理可知当 k ̸‽ ‰ 时 P k M (作为0 维线性空间 之间的线性映射)自动是线性同构，而当 k ‽ ‰ 时结合例‶‵‱ 可知 ⁐– 对偶映射 P ‰ M 把 ⁛‱⁝ ∈ H‰ dR M 映为非零元 ´ M ∈ Hm c M ∗ ≃ R，从而是满射 于是 P ‰ M (作为1 维线 性空间之间的线性映射)是线性同构 即定理成立 现在假设定理对于“具有不超过 k − ‱ 个开集组成的好覆盖的流形”都成立 设 M 有好覆盖 {U‱, · · · , Uk} 令 U ‽ U‱ ∪ · · · ∪ Uk−‱ 和 V ‽ Uk. 则 U, V 和 U ∩ V 都有不超过 k − ‱ 个开集的好覆盖 根据归纳假设， P k U P k V 和 P k U∩V 都是同构 由前述引理以及五引理(即引理6.2.13) 可知 P k M 是一个同构 □ 6.5.2 Poincar´e对偶的应用 ¶ 应用 1：紧支 de Rham 上同调群的K¨unneth公式 利用 ⁐– 对偶，对于定向流形，不难把紧支 ⁒ 上同调群的结论归约到 相应的 ⁒ 上同调群 例如，用 ⁒ 上同调群的 ⁋ⁿ⁵⁴ 公式可得 推论 6.5.5. (紧支 de Rham 上同调群的K¨unneth公式) ♡ 如果 M, N 都是存在有限好覆盖的定向流形，则 Hk c M × N ≃ M k i‽‰ Hi c M ⊗ Hk−i c N . 证明 设 M ‽ m, N ‽ n 由 ⁐– 对偶和 ⁒ 上同调群的 ⁋ⁿ⁵⁴公 式， Hk c M × N ≃ H mn−k dR M × N ≃ mM n−k i‽‰ Hi dR M ⊗ H mn−k−i dR N . 指标 i 满足 i ≤ m 且 m n − k − i ≤ n，即 m − k ≤ i ≤ m 因此 Hk c M × N ≃ Mm i‽m−k Hi dR M ⊗ H mn−k−i dR N ≃ M k i‽‰ H m−i dR M ⊗ H n−ki dR N . 再由 ⁐– 对偶即得欲证 □ 特别地， 推论 6.5.6 ♡ 对于任意定向流形 M，如果其紧支集上同调群都是有限维的，则 Hkl c M × R l ≃ Hk c M . 这两个结论对于更一般流形也成立 ‱‸‵
6.5Poincare对偶及其应用应用2：Betti数和Euler示性数下面给出Poincaré对偶在Betti数和Euler示性数方面的一些应用.回忆一下m维光滑流形M的Betti数和Euler示性数分别是m(-1)*bk.bs = dim Har(M))和x(M)=)k=0下面证明命题6.5.7.（Betti数的性质）设 M 是m 维紧定向流形，则(1)对于任意k,bk=bm-k.(2)如果m=4n+2，则 b2n+1是偶数C证明(1）由以下事实可得：Har(M) ~ Hm-k(M) = Ha-(M).(2)考虑双线性配对函数Pn+ : H+(M) × HR+(M)→ R.对于任意[a],[m] E Han+1(M),，由定义,Pn+1(ba],[ml) = /w An= (-1)(2n+1)(2n+1)n Aw = -Prn+1(m),[v),A固定一组基后，双线性函数P+1对应的矩阵P是反对称的b2n+1×b2n+1矩阵，故det(P) = det(PT) = (-1)b2n+1 det(P).另一方面，由于P2n+1是非退化的，所以det(P)≠0，于是b2n+1一定是偶数.口由此可得定理6.5.8.（紧定向流形的Euler示性数）设M是紧定向流形.(1) 如果 dimM =2n+1, 则 x(M)= 0(2)如果dimM=4n+2，则x(M)是偶数，0证明(1）设dimM=2n+1，则由bk=b2n+1-k可得2n+12n+1nn(1)*+(1)2n+1-k)bk=0.(-1)*bk=(-1)*bs + (-1)*b2x(M)=L21k=0k=0k=n+1k=0(2)设dimM=4n+2，则类似地计算可得4n+22nX(M) = (-1)*bk =(-1)*+(-1)4n+2-k)b + b2n+1:k=0=0因为（-1)k+(-1)4n+2-k=±2，而且b2n+1是偶数，所以x(M）是偶数.口注意不可定向流形，定理不必不成立，例如x(RP2）=1不是偶数186
‶‵ ⁐–对偶及其应用 ¶ 应用 2：Betti数和Euler示性数 下面给出 ⁐– 对偶在 ⁂⁴⁴ 数和 ⁅⁵ 示性数方面的一些应用 回忆一下 m 维光滑流形 M 的 ⁂⁴⁴数和⁅⁵示性数分别是 bk ‽ Hk dR M 和 χ M ‽ Xm k‽‰ −‱ k bk. 下面证明 命题 6.5.7. (Betti数的性质) ♠ 设 M 是m 维紧定向流形，则 ‱ 对于任意 k bk ‽ bm−k. ′ 如果 m ‽ ‴n ′，则 b′n‱ 是偶数 证明 ‱ 由以下事实可得： Hk dR M ≃ Hm−k c M ‽ H m−k dR M . ′ 考虑双线性配对函数 P ′n‱ M › H ′n‱ dR M × H ′n‱ dR M → R. 对于任意 ⁛ω⁝, ⁛η⁝ ∈ H ′n‱ dR M 由定义， P ′n‱ M ⁛ω⁝, ⁛η⁝ ‽ ˆ M ω ∧ η ‽ ˆ M −‱ ′n‱ ′n‱ η ∧ ω ‽ −P′n‱ M ⁛η⁝, ⁛ω⁝ . 固定一组基后，双线性函数 P ′n‱ M 对应的矩阵 P 是反对称的 b′n‱ × b′n‱ 矩阵，故 ⁴ P ‽ ⁴ P T ‽ −‱ b2n+1 ⁴ P . 另一方面，由于 P ′n‱ M 是非退化的，所以 ⁴ P ̸‽ ‰ 于是 b′n‱ 一定是偶数 □ 由此可得 定理 6.5.8. (紧定向流形的Euler 示性数) ♡ 设 M 是紧定向流形 ‱ 如果 M ‽ ′n ‱，则 χ M ‽ ‰. ′ 如果 M ‽ ‴n ′，则 χ M 是偶数 证明 ‱ 设 M ‽ ′n ‱，则由 bk ‽ b′n‱−k 可得 χ M ‽ ′ Xn‱ k‽‰ −‱ k bk ‽ Xn k‽‰ −‱ k bk ′ Xn‱ k‽n‱ −‱ k b′n‱−k ‽ Xn k‽‰ −‱ k −‱ ′n‱−k bk ‽ ‰. ′ 设 M ‽ ‴n ′，则类似地计算可得 χ M ‽ ‴ Xn′ k‽‰ −‱ k bk ‽ X ′n k‽‰ −‱ k −‱ ‴n′−k bk b′n‱. 因为 −‱ k −‱ ‴n′−k ‽ ±′，而且 b′n‱ 是偶数，所以 χ M 是偶数 □ 注意不可定向流形，定理不必不成立，例如 χ RP′ ‽ ‱ 不是偶数 ‱‸‶