6.6Thom类及其应用6.6Thom类及其应用6.6.1向量丛向量从是一类特殊的流形，代表的是“连续（光滑）依赖于参数的一族向量空间”，于是它具有“特定方向的线性性”，另一方面，向量丛又是非常常见的流形，比如每个流形的切丛就是一个自然而重要的向量丛，流形上很多重要的几何对象都可以表示为流形上特定向量从从的截面，例如光滑流形M上的向量场就是M的切从的截面工向量丛：定义一般而言，光滑流形都是高度“非线性的”：不过确实存在许多光滑流形，它们具有一定的“部分线性结构”，例如，对于任意的n维光滑流形M，它的切丛TM =((p,Xp)pE M,X,ET,M))“关于切向变量是线性的”，在习题1中已经证明了TM是一个2n维光滑流形，且典范投射元：TM→M是一个光滑淹没类似于TM这样的流形还有很多，例如余切丛T*M，以及子流形SCM的法丛N(S.M）等等.下面给出一般定义：定义6.6.1.（光滑向量丛）(1)设E,M都是拓扑空间，元：E→M是连续的满射，且对任意点PEM,Ep:=元-1(p)都是r维线性空间。若下述相容性条件成立：对任意pEM，存在p的开邻域U与以及同胚映射重: 元-1(U) →U × R使得对任意 q EU,dlE是从 Eg到 [g] ×R" 的一个线性同构,则称三元组（元，E，M）是一个向量丛，E为该向量丛的全空间，M为该向量丛的底空间，π为丛投影映射，为该向量丛的秩，每个E。=π-1(）为该向量丛在9点处的纤维，并称重为该丛的局部平凡化映射，在不引起混清的情况下，简称E是M上的向量丛，或者E是向量从(2)若（π,E,M）是一个向量丛，其中E和 M 都是光滑流形，丛投影映射元：E一M是光滑映射，且上述定义中的局部平凡化映射重都可取为微分同胚，则称（元，E，M）是一个光滑向量丛在不引起混淆的情况下，简称E是M上的光滑向量，或者E是光滑向量丛例6.6.2.（典范线丛）考虑以实射影空间RP"=[U|1是Rn+1中经过0的直线】为底空间的向量丛m = (l, r)]l e RIPn, r e l C Rn+1])189
‶‶ ⁔ 类及其应用 6.6 Thom 类及其应用 6.6.1 向量丛 向量丛是一类特殊的流形，代表的是“连续（光滑）依赖于参数的一族向量空间”， 于是它具有“特定方向的线性性” 另一方面，向量丛又是非常常见的流形，比如每个 流形的切丛就是一个自然而重要的向量丛 流形上很多重要的几何对象都可以表示为流 形上特定向量丛丛的截面，例如光滑流形M上的向量场就是M的切丛的截面 ¶ 向量丛：定义 一般而言，光滑流形都是高度“非线性的” 不过确实存在许多光滑流形，它们具 有一定的“部分线性结构” 例如，对于任意的n维光滑流形M，它的切丛 TM ‽ { p, Xp |p ∈ M, Xp ∈ TpM } “关于切向变量是线性的” 在习题 ‱ 中已经证明了 TM 是一个 ′n 维光滑流形，且典 范投射 π › TM → M 是一个光滑淹没 类似于TM这样的流形还有很多，例如余切丛 T ∗M，以及子流形 S ⊂ M的法丛 N S, M 等等 下面给出一般定义： 定义 6.6.1. （光滑向量丛） ♣ ‱ 设 E, M 都是拓扑空间，π › E → M 是连续的满射，且对任意点 p ∈ M， Ep ›‽ π −‱ p 都是 r 维线性空间 若下述相容性条件成立： 对任意 p ∈ M，存在 p 的开邻域 U 与以及同胚映射 › π −‱ U → U × R r 使得对任意 q ∈ U， |Eq是从 Eq 到 {q} × R r 的一个线性同构， 则称三元组 π, E, M 是一个向量丛，E 为该向量丛的全空间， M 为该向 量丛的底空间，π 为丛投影映射，r 为该向量丛的秩，每个 Eq ‽ π −‱ q 为 该向量丛在 q 点处的纤维，并称 为该丛的局部平凡化映射 在不引起混 淆的情况下，简称E✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿ 是M上的向量丛，或者✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿ E是向量丛 ′ 若 π, E, M 是一个向量丛，其中 E 和 M 都是光滑流形，丛投影映射 π › E → M 是光滑映射，且上述定义中的局部平凡化映射 都可取为微 分同胚，则称 π, E, M 是一个光滑向量丛 在不引起混淆的情况下，简 称✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿ E是M上的光滑向量丛 或者E✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿ 是光滑向量丛 例 6.6.2. （典范线丛）考虑以实射影空间 RPn ‽ {l | l是R n‱中经过‰的直线} 为底空间的向量丛 γ ‱ n ‽ { l, x |l ∈ RPn , x ∈ l ⊂ R n‱ .} ‱‸‹
6.6Thom类及其应用可以验证，它是RIPn上的一个线丛．一般把该线丛称作RP"的典范线丛特别当n=1时，有RPl～S1，此时典范线丛不是别的，恰好就是在拓扑学中见过的“无穷Mobius带”，它是Sl上的线丛，注6.6.3.(1）注意跟流形的定义类似，底空间每点附近的局部平凡化都不是唯一的(2）类似地可定义复向量丛，Co向量丛，甚至(秩为无穷的)Banach向量丛等概念(3）秩为1的向量丛通常被称为线丛工丛同态为简单起见，下面仅考虑光滑向量丛，可以用很自然的方式定义光滑向量丛之间的丛同态，从而构建“光滑向量丛范畴”：定义6.6.4.（丛同态与丛同构）(1）设（元1,E1,Mi）和（π2,E2,M2）都是光滑向量丛若光滑映射：Ei一E2和f:Mi→M2满足T200=f01,并且对任意 PE M,映射 β: i-(p)→ l(f(p))是线性映射，则称 是从向量丛 Ei到向量丛E2的丛同态(2)若丛同态：E1→E2可逆且其逆映射也是丛同态，则称是一个丛同构，并称E1，E2为同构的向量丛品例6.6.5.设△CM×M是对角线子流形.则切丛TA=((C,r,S,S) SETM)与法丛N(A,M x M) = (r,r,n,-n) I nETM)是同构的.显然，。两个丛同态的复合依然是丛同态，且丛同态是“光滑向量丛范畴”里的“态射”。同构关系是向量丛之间的一个等价关系：同构的向量丛将被视为是同一个向量丛截面研究向量丛的几何时，一个非常重要的概念是定义6.6.6.（截面）设（元，E，M)是一个（光滑）向量丛.若（光滑）映射s：M→E满足πo8=IdM,则称S是向量丛（元，E，M）的一个（光滑）截面190
‶‶ ⁔ 类及其应用 可以验证，它是RPn上的一个线丛 一般把该线丛称作RPn的典范线丛 特别当n ‽ ‱时，有RP‱ ≃ S ‱，此时典范线丛γ ‱ ‱不是别的，恰好就是在拓扑学中见 过的“无穷⁍ⁿ⁵带”，它是S ‱上的线丛 注 6.6.3. ‱ 注意跟流形的定义类似，底空间每点附近的局部平凡化都不是唯一的 ′ 类似地可定义复向量丛，C α向量丛，甚至(秩为无穷的)⁂向量丛等概念 ″ 秩为 ‱ 的向量丛通常被称为线丛 ¶ 丛同态 为简单起见，下面仅考虑光滑向量丛 可以用很自然的方式定义光滑向量丛之间的 丛同态，从而构建“光滑向量丛范畴”： 定义 6.6.4. （丛同态与丛同构） ♣ ‱ 设 π‱, E‱, M‱ 和 π′, E′, M′ 都是光滑向量丛 若光滑映射φ › E‱ → E′和f › M‱ → M′满足 π′ ◦ φ ‽ f ◦ π‱, 并且对任意 p ∈ M，映射 φ › π −‱ ‱ p → π −‱ ′ f p 是线性映射，则称 φ 是从 向量丛 E‱ 到向量丛 E′ 的丛同态 ′ 若丛同态 φ › E‱ → E′ 可逆且其逆映射也是丛同态，则称 φ 是一个丛同构， 并称 E‱， E′为同构的向量丛 例 6.6.5. 设 ⊂ M × M 是对角线子流形 则切丛 T ‽ { x, x, ξ, ξ | ξ ∈ TxM} 与法丛 N , M × M ‽ { x, x, η, −η | η ∈ TxM} 是同构的 显然， 两个丛同态的复合依然是丛同态，且丛同态是“光滑向量丛范畴”里的“态射” 同构关系是向量丛之间的一个等价关系 同构的向量丛将被视为是同一个向量丛 ¶ 截面 研究向量丛的几何时，一个非常重要的概念是 定义 6.6.6. （截面） ♣ 设 π, E, M 是一个（光滑）向量丛 若（光滑）映射s › M → E满足 π ◦ s ‽ IdM, 则称 s 是向量丛 π, E, M 的一个(光滑)截面 ‱‹‰
6.6Thom类及其应用记向量丛E的全体截面的集合为TE)，记其全体光滑截面的集合为F(E)事实上，M的许多有趣的几何对象（例如向量场、张量场、微分形式、体积形式、黎曼度量、辛形式等）都是M上某个（向量）丛的光滑截面注6.6.7.显然若8182都是E的光滑截面，则aS1+bs2也是.故T°(E)是一个(无穷维)线性空间事实上，T(E)还有更进一步的代数结构：若s是E的一个光滑截面，而f是M上的光滑函数，则fs是E的一个光滑截面.所以o(E)是一个Cα(M)模由定义可知任意向量丛都有一个平凡的光滑截面，即零截面80:M→E,H(p,0)另一方面，向量丛有可能没有处处非零的截面例6.6.8.设s：RIPn→%是RPn上的典范线丛%的任意截面，考虑复合映射:SnPRPn=%其中pr是投射pr(土a）=l【此处l是所在的直线】：由定义可知，Φ形如r(l,f()r)其中f是sn上满足f(一r）=一f(a)的光滑函数.由介值性质，f一定在某点ao处为零，从而s也在ro处为零.换而言之，不存在处处非零的光滑截面s：RPn→m6.6.2Thom类向量丛的deRham上同调下面考虑向量丛的deRham上同调与底流形的deRham上同调之间的关系：命题6.6.9.（向量丛的deRham上同调）对于 M 上的任意向量丛 E,有Har(E) = Har(M),Vk.5证明令8o：M→E为零截面，则元0so=IdM，而且so0元～IdE，其同伦为F:E×R→E,(r,u,t) - (r,tu)口于是E同伦等价于M，从而由同伦不变性可得欲证的结论利用Poincare对偶，可以得到(注意它是推论6.5.6的推广)定理6.6.10.（Thom同构）设E是M上的秩为r的向量丛，若E和M都是定向的，而且紧支deRham上同调群都是有限维的，则Hk+r(E) ~ H(M),Vk.O证明两次应用Poincare对偶即可：H+(E) ~ H+)-(+r(E) ~ H(M) ~ H:(M),口191
‶‶ ⁔ 类及其应用 记向量丛E的全体截面的集合为 E ，记其全体光滑截面的集合为 ∞ E 事 实上，M 的许多有趣的几何对象(例如向量场、张量场、微分形式、体积形式、黎曼度量、辛形式 等)都是 M 上某个 向量 丛的光滑截面 注 6.6.7. 显然若 s‱, s′ 都是 E 的光滑截面，则 as‱ bs′ 也是 故 ∞ E 是一个(无穷 维)线性空间 事实上， ∞ E 还有更进一步的代数结构：若 s 是 E 的一个光滑截面，而 f 是 M 上的光滑函数，则 fs 是 E 的一个光滑截面 所以 ∞ E 是一个 C∞ M 模 由定义可知任意向量丛都有一个平凡的光滑截面，即零截面 s‰ › M → E, p 7→ p, ‰ 另一方面，向量丛有可能没有处处非零的截面 例 6.6.8. 设s › RPn → γ ‱ n是 RPn上的典范线丛γ ‱ n的任意截面，考虑复合映射 ϕ › S n pr −→ RPn s −→ γ ‱ n 其中pr是投射pr ±x ‽ lx【此处 lx 是 x 所在的直线】 由定义可知，ϕ形如 x 7→ lx, f x x 其中f是S n上满足f −x ‽ −f x 的光滑函数 由介值性质，f一定在某点x‰处为零，从 而s也在x‰处为零 换而言之，不存在处处非零的光滑截面 s › RPn → γ ‱ n 6.6.2 Thom 类 ¶ 向量丛的 de Rham 上同调 下面考虑向量丛的 ⁒ 上同调与底流形的 ⁒ 上同调之间的关系： 命题 6.6.9. (向量丛的 de Rham 上同调) ♠ 对于 M 上的任意向量丛 E 有 Hk dR E ‽ Hk dR M , ∀k. 证明 令 s‰ › M → E 为零截面，则 π ◦ s‰ ‽ ⁉M，而且 s‰ ◦ π ∼ ⁉E ，其同伦为 F › E × R → E, x, v, t 7→ x, tv . 于是 E 同伦等价于 M，从而由同伦不变性可得欲证的结论 □ 利用 ⁐– 对偶，可以得到(注意它是推论 6.5.6 的推广) 定理 6.6.10. (Thom 同构) ♡ 设 E 是 M 上的秩为r的向量丛 若 E 和 M 都是定向的，而且紧支 ⁒ 上 同调群都是有限维的，则 Hkr c E ≃ Hk c M , ∀k. 证明 两次应用⁐–对偶即可： Hkr c E ≃ H mr − kr dR E ≃ H m−k dR M ≃ Hk c M . □ ‱‹‱
6.6Thom类及其应用IThom类下设M是m紧定向流形，E是M上的秩为r的定向向量丛.根据Thom同构，H(E)~H(M) = HaR(M)特别地，在该同构下，[1] EHar(M)对应了唯一的一个同调类T(E)EHr(E)定义6.6.11.（Thom类）称TE）EHrE)为定向向量丛（元,E,M）的Thom类喝注6.6.12.Thom类跟子流形的Poincaré对偶之间关系密切：(1）设M是m紧定向流形，E是M上的秩为r的定向向量丛.通过零截面80:M→E,a(r,0)把M嵌入E，可以视M为E的闭子流形.类似于子流形的Poincaré对偶，映射: Har(E) →R, [w] →souA给出了（HaR(E)*~H(E)中的一个元素，那个元素就是T(E).(2）反之，对于紧致定向流形M的余维数r的定向闭子流形S，则由管状邻域定理，S的法丛N(S,M)微分同胚于S在M中的某个管状邻域U.记:U→N(S,M)为该微分同胚，而i：UCM为嵌入映射，则零扩张给出的元素j+0*T(N(S, M)) EH(M)=HaR(M)就是S在M中的Poincare对偶PdM(S).注意U可以取为S附近任意充分小的邻域，于是Poincaré对偶PdM(S）的代表元也可以取为支在S附近任意充分小的邻域内的微分形式.注6.6.13.设E是定向流形M上秩为r的定向向量丛：可以定义纤维积分* : 2+r(E) → 2(M)如下：设wE2&+r(E)在定向局部坐标系[al,.，rm,sl,.，s")(其中,,r"为底流形坐标，s,，s为纤维坐标）具有表达式w=f(z,s)(元*)^dsl...^ds"+少于r个纤维分量的项，其中为M上的k形式，而f是关于s，sr的紧支函数，则令f(r,s) ds...-ds,(元*W)p=0p可以验证元*是良定的，且跟外微分可交换，从而诱导了紧支上同调群之间的映射元:H+r(E)→H(M)(它不是别的，就是Thom同构映射).于是，Thom类T(E）就由下述性质刻画：若nE2(E)，则[m)=T(E当且仅当对于任意pEM，J,n=1.特别地，这说明可以选取Thom类的代表元使之支在零截面的任意小邻域中192
‶‶ ⁔ 类及其应用 ¶ Thom 类 下设 M 是 m 紧定向流形， E 是 M 上的秩为 r 的定向向量丛 根据 ⁔ 同构， Hr c E ≃ H‰ c M ‽ H‰ dR M . 特别地，在该同构下，⁛‱⁝ ∈ H‰ dR M 对应了唯一的一个同调类 τ E ∈ Hr c E 定义 6.6.11. (Thom类) ♣ 称 τ E ∈ Hr c E 为定向向量丛 π, E, M 的 Thom 类 注 6.6.12. ⁔ 类跟子流形的 ⁐– 对偶之间关系密切： ‱ 设 M 是 m 紧定向流形， E 是 M 上的秩为 r 的定向向量丛 通过零截面 s‰ › M → E, x 7→ x, ‰ 把 M 嵌入 E 可以视 M 为 E 的闭子流形 类似于子流形的 ⁐– 对偶，映射 ˆ › Hm dR E → R, ⁛ω⁝ 7→ ˆ M s ∗ ‰ω 给出了 Hm dR E ∗ ≃ Hr c E 中的一个元素，那个元素就是 τ E ′ 反之，对于紧致定向流形 M 的余维数 r 的定向闭子流形 S 则由管状邻域定理，S 的法丛 N S, M 微分同胚于 S 在 M 中的某个管状邻域 U 记 φ › U → N S, M 为该微分同胚，而 j › U ⊂ M 为嵌入映射 则零扩张给出的元素 j∗φ ∗ τ N S, M ∈ Hr c M ‽ Hr dR M 就是 S 在 M 中的 ⁐– 对偶 ⁐M S 注意 U 可以取为 S 附近任意充分小的 邻域，于是 ⁐– 对偶 ⁐M S 的代表元也可以取为支在 S 附近任意充分小的 邻域内的微分形式 注 6.6.13. 设 E 是定向流形 M 上秩为 r 的定向向量丛 可以定义纤维积分 π∗ › kr c E → k c M 如下：设 ω ∈ kr c E 在定✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿ 向局部坐标系 {x ‱ , · · · , xm, s‱ , · · · , sr} (其中 x 1 , · · · , xm 为底流 形坐标， s 1 , · · · , sr 为纤维坐标) 具有表达式 ω ‽ f x, s π ∗ θ ∧ ds‱ · · · ∧ dsr 少于 r 个纤维分量的项, 其中 θ 为 M 上的 k 形式，而 f 是关于 s ‱ , · · · , sr 的紧支函数，则令 π∗ω p ›‽ θp ˆ Ep f x, s ds‱ · · · dsr , 可以验证 π∗ 是良定的，且跟外微分可交换，从而诱导了紧支上同调群之间的映射 π∗ › Hkr c E → Hk c M . (它不是别的，就是 Thom 同构映射) 于是，⁔ 类 τ E 就由下述性质刻画： 若 η ∈ r c E ，则 ⁛η⁝ ‽ τ E 当且仅当对于任意 p ∈ M， ´ Ep η ‽ ‱ 特别地，这说明可以选取 ⁔ 类的代表元使之支在零截面的任意小邻域中 ‱‹′
6.6Thom类及其应用Lefschetz不动点定理设f：M→M是光滑映射。记Fix(f）为f的所有不动点的集合，即pEFix(f)当且仅当f(p)=p.回忆一下，在第二章习题中引入过Lefschetz映射的概念：若对于f的每个不动点p，1不是dfp：T,M→T,M的特征值，则称f是一个Lefschetz映射，对于Lefschetz映射f，它在不动点p处的局部Lefschetz数Lp(f）是定义为行列式det(dfp-Id)的符号，即如果det(dfp-Id)>0则Lp(f):=1，而如果det(dfp-Id)<0则Lp(f):=-1.根据该习题，若f是一个Lefschetz映射，则If与△横截相交.特别地，交点个数有限.当然，这些交点恰好就是f的不动点.定理6.6.14.（Lefschetz不动点定理）设f：M→M是Lefschetz映射则 Lp(f)=(-1)tr(f"lan(m).pEFix(f)0证明【证明概要】设[wj]=PdMxM(Tj).根据命题6.5.14，只需证明owf =(-1)m Lp(f).pEFix(J)由注6.6.12和注6.6.13，上式左边的积分可“局部化”到不动点附近，即存在pEFix(f)的充分小、两两不交且同胚于欧氏球体的邻域Bp，以及I的管状邻域U，使得。记Up=(a,)|Bp),则U△=UpeFix(r)Up,。每个P=[(,f())IB}是法丛的平凡化邻域在点(p,P)附近，将管状邻域映射U→N(Tf,M×M)与该法丛的局部平凡化映射的复合记为p：U,=B,×Bp一→F×Rm，并取是Thom类(N(Tf，M×M))的支在零截面附近的代表元，则[wf = E /popr.pEFix(f)其中Lp=Lolup：Up→Up.考虑映射p: ×Rm→ N(pp)(Tf, M×M) = (p) × R", (q,E) -(p,5)则gp=ppolp:Up→(p)×Rm是从U到“纤维N(pp)(Fj,M×M）中某包含N(pp)(Tf,M×M)nsuppT开集”的微分同胚，且gp与Ppop同伦等价。于是，(. T = / gT = sgn(gp)T = sgn(9p),N(p,p)(Ff,M×M)其中sgn(9p）=±1，取决于9p是否保定向注意到在点(p,p)处N(pp)(Tf,M×M)的定向满足“T(pp)Tf+N(pp)(Tf,M×M)=T(p,p)(M×M）是保定向直和”，于是sgn(gp）的值取决于直和T(p,p)Ff+T(p,p)Up二T(p.p)(M×M）是否保定向.为此，令ui,...,Um为T,M的一组定向基，则[(u1,dfp(vi)),,(Um,dfp(Um))和[(u1,i),*,(Um,Um))193
‶‶ ⁔ 类及其应用 ¶ Lefschetz不动点定理 设 f › M → M 是光滑映射 记 ⁆⁸ f 为 f 的所有不动点的集合，即 p ∈ ⁆⁸ f 当且仅当 f p ‽ p 回忆一下 在第二章习题中引入过 ⁌⁴⁺ 映射 的概念： 若对于 f 的每个不动点 p， ‱ 不是 dfp › TpM → TpM 的特征值，则称 f 是一 个✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿ ⁌⁴⁺映射 对于 ⁌⁴⁺ 映射 f，它在不动点 p 处的✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿ 局部⁌⁴⁺数 Lp f 是定义为行列式 ⁴ dfp − ⁉ 的符号，即如果 ⁴ dfp − ⁉ > ‰ 则 Lp f ›‽ ‱，而如果⁴ dfp − ⁉ < ‰则 Lp f ›‽ −‱ 根据该习题，若 f 是一个 ⁌⁴⁺ 映射，则 f 与 横截相交 特别地，交点个数有 限 当然，这些交点恰好就是 f 的不动点 定理 6.6.14. (Lefschetz不动点定理) ♡ 设 f › M → M 是⁌⁴⁺映射 则 X p∈⁆⁸ f Lp f ‽ X j −‱ j ⁴ f ∗ |H j dR M . 证明 【证明概要】设 ⁛ωf ⁝ ‽ ⁐M×M f 根据命题‶‵‱‴，只需证明 ˆ ι ∗ ‰ωf ‽ −‱ m X p∈⁆⁸ f Lp f . 由注 ‶‶‱′ 和注‶‶‱″，上式左边的积分可“局部化”到不动点附近，即存在 p ∈ ⁆⁸ f 的充分小、两两不交且同胚于欧氏球体的邻域 Bp，以及 f 的管状邻域 U ‹，使得 记 Up ‽ { x, x | x ∈ Bp} 则 U ∩ ‽ ∪p∈⁆⁸ f Up, 每个 p f ‽ { x, f x | x ∈ Bp} 是 f 法丛的平凡化邻域 在点 p, p 附近，将管状邻域映射 U ‹ → N f , M × M 与该法丛的局部平凡化映射的复 合记为 φp › U ‹ p ‽ Bp × Bp → p f × R m 并取 τ 是 ⁔ 类 τ N f , M × M 的支在零 截面附近的代表元，则 ˆ ι ∗ ‰ωf ‽ X p∈⁆⁸ f ˆ Up ι ∗ pφ ∗ p τ. 其中 ιp ‽ ι‰|Up › Up → U ‹ p 考虑映射 ψp › p f × R m → N p,p f , M × M ‽ {p} × R m, q, ξ 7→ p, ξ 则gp ‽ ψp ◦ φp ◦ ιp › Up → {p} × R m 是从Up 到“纤维 N p,p f , M × M 中某包含 N p,p f , M × M ∩ ⁵⁰⁰τ 开集”的微分同胚 且 gp 与 φp ◦ ιp 同伦等价 于是， ˆ Up ι ∗ pφ ∗ p τ ‽ ˆ Up g ∗ p τ ‽ gp ˆ N(p,p) f ,M×M τ ‽ gp , 其中 gp ‽ ±‱，取决于 gp 是否保定向 注意到在点 p, p 处 N p,p f , M×M 的定向满足“ T p,p f N p,p f , M×M ‽ T p,p M × M 是保定向直和”，于是 gp 的值取决于直和 T p,p f T p,p Up ‽ T p,p M × M 是否保定向 为此，令 v‱, · · · , vm 为 TpM 的一组定向基，则 { v‱, dfp v‱ , · · · , vm, dfp vm } 和 { v‱, v‱ , · · · , vm, vm } ‱‹″