上式得Hx=土|2y 此定理表明,对任一非零向量x,都可以构造 个 Householder变换,它将x变成事先给定的单位 向量的倍数。特别地取y=e,则x经过 Householder 变换后可变成只有一个分量不为零。实际计算时 为避免误差取 x-(±|x,y) x千x,y x千x,y x千‖x|,y x+ x e sign(x →1 x+ e sign(x)
2 2 2 2 2 2 2 . , , ( ) i Hx x y x Householder x y e x Householder x x y x x y w w x x y x x y = = − = = 上式得 此定理表明，对任一非零向量 都可以构造 一个 变换，它将 变成事先给定的单位 向量的倍数。特别地取 则 经过 变换后可变成只有一个分量不为零。实际计算时， 为避免误差取 2 2 2 ( ) ( ) i i i i x x e sign x w x x e sign x + = +
化一般矩阵为拟上三角阵 称形如 h,n- h hh H h n 的矩阵为拟上三角阵,也称为上海森堡( Hessenberg) 阵。如果次对角线元hn1(=2,3…,n)全不为零则称该 矩阵为不可约的上 Hessenberg矩阵。 讨论用 Householder变换将一般矩阵A相似变换成 Hessenberg阵
三、化一般矩阵为拟上三角阵 11 12 1 1 1 21 22 2 1 2 32 33 3 1 1 ( 2,3, , ) , Householder n n n n n nn nn ii h h h h h h h h H h h h h h h i n A − − − − = = 称形如 的矩阵为拟上三角阵，也称为上海森堡（Hessenberg) 阵。如果次对角线元 全不为零 则称该 矩阵为不可约的上Hessenberg矩阵。 讨论用 变换将一般矩阵 相似变换成 Hessenberg阵
首先,选取矩阵H12使得经H相似变换后的矩阵 H1AH的第一列中有尽可能多的零元素。为此, 应取H1为如下形式H1= 0 其中H1为n-1阶 Householder矩阵。于是有 H1AH, H1A22 H1 其中a1=(a21,a312…,an) 由上节定理,只要取H1使得H1a1=0(1,0,…,0),就会 使得变换后的矩阵H1AH的第一列出现n-2个零元
1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 2 1 1 1 21 31 1 1 1 1 22 1 22 2 12 13 1 22 , 1 0 0 0 0 1 ( , , , ) , ( , , , ) , T T n T n H H H AH H H H H n Householder a a H H AH a a a a H a H A H a a a a a A = − = = = = 首先，选取矩阵 使得经 相似变换后的矩阵 的第一列中有尽可能多的零元素。为此， 应取 为如下形式 其中 为 阶 矩阵。于是有 其中 2 2 1 1 1 1 1 . (1,0, ,0) , 2 n n nn T a a a H H a H AH n = − 由上节定理，只要取 使得 就会 使得变换后的矩阵 的第一列出现 个零元
为避免在计算时会产生较大的误差,取 +la,,e,sign(a, a,+, sign(a, →H1(Ha1=| al, e, sign(an) 2 →H 同理,可构造如下列形式 Householder矩阵 00 半半 010 H2=00 使得H2H1AH1H2=** 00 水 如此进行n-2次,可以构造n-2个 Householde矩阵H,H2, n-2 使得Hn2…H2H1AH1H2…Hn2=H 其中H为上 Hessenberg矩阵。特别地,当A为实对称矩阵,则 经过上述正交变换后,H变为三对角阵
1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 2 1 2 2 , ( ) ( ( ) ) ( ) 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 w a a e sign a w H H a a e sign a a a e sign a H Householder H H + = = + = 为避免在计算 时会产生较大的误差 取 。 同理，可构造如下列形式 矩阵 2 1 1 2 1 2 2 2 2 1 1 2 2 * * * * * * * * * * * * * 2 2 , , , , . n n n H H AH H n n Householder H H H H H H AH H H H H Hessenberg A H − − − = − − = 使得 * 如此进行 次，可以构造 个 矩阵 使得 其中 为上 矩阵。特别地，当 为实对称矩阵，则 经过上述正交变换后， 变为三对角阵