工程科学学报，第38卷，第7期：1008-1016,2016年7月 Chinese Journal of Engineering,Vol.38,No.7:1008-1016,July 2016 D0l:10.13374/j.issn2095-9389.2016.07.017:http://journals..ustb.edu.cn 不确定离散时滞系统的H。保性能预见控制 廖福成⑧，苏晓洁，廖永龙 北京科技大学数理学院，北京100083 ☒通信作者，Email:feliao@usth.cdu.cn 摘要针对一类具有凸多面体不确定常参数的离散时间时滞系统，研究其H.最优保性能预见控制器的设计方法.首先， 与以往不同，本文的扩大误差系统仍然保留了时滞，以保证扩大误差系统的状态向量维数不随时滞的增加而增加.其次，针 对所构造的扩大误差系统，设计有记忆的状态反馈控制器，并利用线性矩阵不等式方法，导出确保所求控制器存在的条件及 该控制器设计的方法.最后，通过建立并求解一个含线性矩阵不等式约束的凸优化问题，给出扩大误差系统的鲁棒H保性 能控制器，该控制器对于原系统来说就是鲁棒H保性能预见控制器. 关键词离散系统：不确定系统：时滞预见控制：鲁棒控制：线性矩阵不等式 分类号TP273 H guaranteed performance preview control for uncertain discrete systems with time-delay LIAO Fu-cheng,SU Xiao-jie,LIAO Yong-ong School of Mathematics and Physics,University of Science and Technology Beijing,Beijing 100083,China Corresponding author,E-mail:fcliao@ustb.edu.cn ABSTRACT A design method of H optimal guaranteed performance preview controllers was investigated for a class of polytopic un- certain discrete system with time-delay and constant parameters.First,different from the previous approaches,in order to keep the di- mension of the state vector in the augmented error system from increasing with the addition of time-delay,the time-delay terms were maintained in that system.Then,a memory state feedback controller was designed for the augmented error system.The existence con- dition and the design method of the controller were obtained by the linear matrix inequality (LMI)method.At last,by solving an opti- mization problem with LMI constraint conditions,the H optimal guaranteed performance controller,which was the H guaranteed per- formance preview controller to the original system,was gained. KEY WORDS discrete systems;uncertain systems:time delay;preview control:robust control:linear matrix inequalities 时滞广泛存在于实际系统中，例如电力系统和生 然无记忆的控制器比较容易实现，但是当时滞的长度信 物系统，是引起系统不稳定和性能退化的重要原因，因 息已知时有记忆的状态反馈控制器能够同时利用当前和 此无论是在实践中还是在理论中研究时滞系统都是非 过去的状态信息，进而可以获得更好的系统性能- 常有必要的.在很多实际系统中，不仅需要保证系统 预见控制是充分利用已知的未来目标或未来干扰 稳定而且还要保证一个足够的性能水平，其中的一个 值信息来改善闭环系统品质的控制方法.预见控制有 解决方法是保性能控制.这种方法的优点在于可以提 以下优点：首先，通过利用可以预见的未来信息，使得 供一个性能指标函数的上界，因此由时滞引起的性能 人们能够提高闭环系统的跟踪性能：其次，可以方便地 指标的退化被保证小于这个界.在设计控制器时，虽 对已有的反馈控制系统追加预见前馈作用-.经过 收稿日期：201507-30 基金项目：国家自然科学基金资助项目(61174209)：内蒙古自治区科技创新引导奖励资金资助项目(2012)
工程科学学报，第 38 卷，第 7 期: 1008--1016，2016 年 7 月 Chinese Journal of Engineering，Vol． 38，No． 7: 1008--1016，July 2016 DOI: 10． 13374 /j． issn2095--9389． 2016． 07． 017; http: / /journals． ustb． edu． cn 不确定离散时滞系统的 H∞ 保性能预见控制 廖福成，苏晓洁，廖永龙 北京科技大学数理学院，北京 100083 通信作者，E-mail: fcliao@ ustb． edu． cn 摘 要 针对一类具有凸多面体不确定常参数的离散时间时滞系统，研究其 H∞ 最优保性能预见控制器的设计方法． 首先， 与以往不同，本文的扩大误差系统仍然保留了时滞，以保证扩大误差系统的状态向量维数不随时滞的增加而增加． 其次，针 对所构造的扩大误差系统，设计有记忆的状态反馈控制器，并利用线性矩阵不等式方法，导出确保所求控制器存在的条件及 该控制器设计的方法． 最后，通过建立并求解一个含线性矩阵不等式约束的凸优化问题，给出扩大误差系统的鲁棒 H∞ 保性 能控制器，该控制器对于原系统来说就是鲁棒 H∞ 保性能预见控制器． 关键词 离散系统; 不确定系统; 时滞; 预见控制; 鲁棒控制; 线性矩阵不等式 分类号 TP273 H∞ guaranteed performance preview control for uncertain discrete systems with time-delay LIAO Fu-cheng ，SU Xiao-jie，LIAO Yong-long School of Mathematics and Physics，University of Science and Technology Beijing，Beijing 100083，China Corresponding author，E-mail: fcliao@ ustb． edu． cn ABSTＲACT A design method of H∞ optimal guaranteed performance preview controllers was investigated for a class of polytopic uncertain discrete system with time-delay and constant parameters． First，different from the previous approaches，in order to keep the dimension of the state vector in the augmented error system from increasing with the addition of time-delay，the time-delay terms were maintained in that system． Then，a memory state feedback controller was designed for the augmented error system． The existence condition and the design method of the controller were obtained by the linear matrix inequality ( LMI) method． At last，by solving an optimization problem with LMI constraint conditions，the H∞ optimal guaranteed performance controller，which was the H∞ guaranteed performance preview controller to the original system，was gained． KEY WOＲDS discrete systems; uncertain systems; time delay; preview control; robust control; linear matrix inequalities 收稿日期: 2015--07--30 基金项目: 国家自然科学基金资助项目( 61174209) ; 内蒙古自治区科技创新引导奖励资金资助项目( 2012) 时滞广泛存在于实际系统中，例如电力系统和生 物系统，是引起系统不稳定和性能退化的重要原因，因 此无论是在实践中还是在理论中研究时滞系统都是非 常有必要的． 在很多实际系统中，不仅需要保证系统 稳定而且还要保证一个足够的性能水平，其中的一个 解决方法是保性能控制． 这种方法的优点在于可以提 供一个性能指标函数的上界，因此由时滞引起的性能 指标的退化被保证小于这个界． 在设计控制器时，虽 然无记忆的控制器比较容易实现，但是当时滞的长度信 息已知时有记忆的状态反馈控制器能够同时利用当前和 过去的状态信息，进而可以获得更好的系统性能［1--3］． 预见控制是充分利用已知的未来目标或未来干扰 值信息来改善闭环系统品质的控制方法． 预见控制有 以下优点: 首先，通过利用可以预见的未来信息，使得 人们能够提高闭环系统的跟踪性能; 其次，可以方便地 对已有的反馈控制系统追加预见前馈作用［4--5］． 经过
廖福成等：不确定离散时滞系统的H保性能预见控制 ·1009· 50多年的发展，学术界已经建立了离散时间线性系 矩阵，A。Ao和B。是具有适当维数的不确定矩阵，d 统、连续时间线性系统的完整理论，并且在广义系统预 是系统的状态时滞，为正整数 见控制理论、多采样系统预见控制理论等方面有了一 首先，对系统(1)作如下假设 些进展6-.一些学者还将预见控制的思想与H,控制 假设1设不确定矩阵具有如下的凸多面体 相结合，提出预见控制系统的H控制理论▣ 形式： 文献1]通过假设不确定矩阵为常数矩阵，设计 了一个带有预见信号的控制器，基于Lyapunov稳定性 A=AAn=A8,B,=B0.(②) 定理，给出使扩大误差系统稳定的不确定矩阵的上界 式中，A,A和B(i=1,2,…,l)为具有适当维数的常 的估计.文献2-14]假设不确定矩阵为常数矩阵，研 矩阵，0=(6,62…0，)TeR为不确定的常参数 究具有凸多面体不确定性的不确定系统的鲁棒预见控 向量且满足 制问题，通过设计一个带有预见信号的反馈控制器来 0e0:={0eR'18,≥0(i=1,2,,0,∑6.=1} 改善系统的性能.文献5]针对一类用矩阵凸多面体 (3) 形式表示的不确定线性离散时滞系统，提出一种通过 无记忆状态反馈实现的具有H干扰抑制的保成本控 注1这里的假设表明系统的不确定性是不随时 制.文献6]对带有输入约束且具有凸多面体不确定 间变化的，不确定参数向量0在一个1维凸多面体中 性和未知输入的离散不确定状态时滞系统，设计了有 取值. 记忆的状态反馈模型预测控制器.文献7-21]分别 其次，设目标信号为r()并对其作如下假设. 针对不同的不确定时滞系统，通过利用Lyapunov稳定 假设2设目标信号r(k)的可预见步数为M,即 性理论和线性矩阵不等式方法，设计了各自的状态反 在当前时刻k,r(k),r(k+1),…,r(k+M)是已知 馈保性能控制律，使得闭环系统渐近稳定，并且系统的 的，并假设M,步之后目标信号值不变，即 性能指标不超过某个确定的上界. r(k+i)=r(k+M),i=M,+1,M,+2,…. 本文在文献4]的基础上设计一类不确定离散 注2理论研究和实际例子均表明，只有一段时间的 时滞系统的带有预见作用的鲁棒H保性能控制器. 可预见信号对系统的性能有较明显的影响，预见步数以 不同于文献4]，本文将设计有记忆的状态反馈控制 外的目标信号值对系统性能的影响不大☒，所以一般假 器，这样使得我们不仅能充分利用未来目标信息，也能 设可预见步数之外的值为常向量.事实上，普通的反馈控 充分利用系统当前和过去的状态信息，使得闭环系统 制系统不利用可预见信号，相当于预见步数为零 的观测输出能够更准确跟踪目标信号.我们还将通过 定义误差信号： 数值仿真在有记忆控制器的条件下对预见步数分别为 e(k)=y()-r(k) (4) M,=4、M,=10以及没有预见的情况进行比较，显示出 对系统(1)引入下面的二次型性能指标函数： 目标信号的预见作用对跟踪目标信号的优越性. J=Σ(e()g.e(因+Am'HAu().(6) 本文使用如下记号：P>0(P≥0)表示P为正定 式中，Q。>0,H>0为给定的权重矩阵 (半正定)矩阵；P>Q(P≥Q)表示P-Q>0(P-Q≥ 本文的目的是设计一个带有预见作用的有记忆的 0):负定和半负定矩阵记号可以类似定义：入（·）表 状态反馈控制器，使得闭环系统满足下面三点： 示矩阵(·)的最大特征值：用w(k)∈，表示序列 (1)当w(k)=0时渐近稳定： (w()}是平方和收敛的，即∑o()u()<0: (2)具有H.干扰抑制的保性能性； IwI,表示w(k)的l3范数. (3)在不确定性和外部干扰的影响下，其观测输 出y(k)仍能够无静态误差地跟踪目标信号r(),即 1问题描述及基本假设 lime(k)lim(y (-r(k))=0. 考虑具有状态时滞的线性离散时间系统 本文用到下面的引理 x(k+1)=(A+Ao)x(k)+(A+A)x(k-d)+ 引理(Schur补)四 对于给定的对称矩阵 (B+B。)u()+Bw(k), Φ= y(k）)=Ex(k). 重重 (1) 下列三个条件是等价的： 式中，x(k)∈R”是状态向量，u(k)∈R是输入向量， (1)Φ<0： y(k)eR是观测输出向量，w(k)∈R”且w(k)∈L2 （Ⅱ)重，<0，中a-ΦΦ重2<0： 是干扰向量，A、A4、B、B。和E是具有适当维数的常数 （Ⅲ)中2<0，重，-重2Φ2Φ3<0
廖福成等: 不确定离散时滞系统的 H∞ 保性能预见控制 50 多年的发展，学术界已经建立了离散时间线性系 统、连续时间线性系统的完整理论，并且在广义系统预 见控制理论、多采样系统预见控制理论等方面有了一 些进展［6--8］． 一些学者还将预见控制的思想与 H∞ 控制 相结合，提出预见控制系统的 H∞ 控制理论［9--10］． 文献［11］通过假设不确定矩阵为常数矩阵，设计 了一个带有预见信号的控制器，基于 Lyapunov 稳定性 定理，给出使扩大误差系统稳定的不确定矩阵的上界 的估计． 文献［12--14］假设不确定矩阵为常数矩阵，研 究具有凸多面体不确定性的不确定系统的鲁棒预见控 制问题，通过设计一个带有预见信号的反馈控制器来 改善系统的性能． 文献［15］针对一类用矩阵凸多面体 形式表示的不确定线性离散时滞系统，提出一种通过 无记忆状态反馈实现的具有 H∞ 干扰抑制的保成本控 制． 文献［16］对带有输入约束且具有凸多面体不确定 性和未知输入的离散不确定状态时滞系统，设计了有 记忆的状态反馈模型预测控制器． 文献［17--21］分别 针对不同的不确定时滞系统，通过利用 Lyapunov 稳定 性理论和线性矩阵不等式方法，设计了各自的状态反 馈保性能控制律，使得闭环系统渐近稳定，并且系统的 性能指标不超过某个确定的上界． 本文在文献［14］的基础上设计一类不确定离散 时滞系统的带有预见作用的鲁棒 H∞ 保性能控制器． 不同于文献［14］，本文将设计有记忆的状态反馈控制 器，这样使得我们不仅能充分利用未来目标信息，也能 充分利用系统当前和过去的状态信息，使得闭环系统 的观测输出能够更准确跟踪目标信号． 我们还将通过 数值仿真在有记忆控制器的条件下对预见步数分别为 Mr = 4、Mr = 10 以及没有预见的情况进行比较，显示出 目标信号的预见作用对跟踪目标信号的优越性． 本文使用如下记号: P ＞ 0 ( P≥0) 表示 P 为正定 ( 半正定) 矩阵; P ＞ Q( P≥Q) 表示 P － Q ＞ 0( P － Q≥ 0) ; 负定和半负定矩阵记号可以类似定义; λmax (·) 表 示矩阵(·) 的 最 大 特 征 值; 用 ω( k) ∈ l2 表示 序 列 { ω( k) } ∞ k = 0是平方和收敛的，即 ∑ ∞ k = 0 ωT ( k) ω( k) ＜ ∞ ; ‖ω‖2 表示 ω( k) 的 l2 范数． 1 问题描述及基本假设 考虑具有状态时滞的线性离散时间系统 x( k + 1) = ( A + A0 ) x( k) + ( Ad + Ad0 ) x( k － d) + ( B + B0 ) u( k) + Bωω( k) ， y( k) = Ex( k) { ． ( 1) 式中，x( k) ∈Ｒn 是状态向量，u( k) ∈Ｒm 是输入向量， y( k) ∈Ｒq 是观测输出向量，ω( k) ∈Ｒp 且 ω( k) ∈l2 是干扰向量，A、Ad、B、Bω 和 E 是具有适当维数的常数 矩阵，A0、Ad0 和 B0 是具有适当维数的不确定矩阵，d 是系统的状态时滞，为正整数． 首先，对系统( 1) 作如下假设． 假设 1 设不确定矩阵具有如下的凸多面体 形式: A0 = ∑ l i = 1 Aiθi，Ad0 = ∑ l i = 1 Adiθi，B0 = ∑ l i = 1 Biθi ． ( 2) 式中，Ai、Adi和 Bi ( i = 1，2，…，l) 为具有适当维数的常 矩阵，θ = ( θ1 θ2 … θl ) T ∈Ｒl 为不确定的常参数 向量且满足 θ∈Θ: = { θ∈Ｒl | θi≥0( i = 1，2，…，l) ，∑ l i = 1 θi = 1 } ． ( 3) 注 1 这里的假设表明系统的不确定性是不随时 间变化的，不确定参数向量 θ 在一个 l 维凸多面体中 取值． 其次，设目标信号为 r( k) 并对其作如下假设． 假设 2 设目标信号 r( k) 的可预见步数为 Mr，即 在当前时刻 k，r( k) ，r( k + 1) ，…，r( k + Mr ) 是已知 的，并假设 Mr 步之后目标信号值不变，即 r( k + i) = r( k + Mr ) ，i = Mr + 1，Mr + 2，…． 注2 理论研究和实际例子均表明，只有一段时间的 可预见信号对系统的性能有较明显的影响，预见步数以 外的目标信号值对系统性能的影响不大［22］，所以一般假 设可预见步数之外的值为常向量． 事实上，普通的反馈控 制系统不利用可预见信号，相当于预见步数为零． 定义误差信号: e( k) = y( k) － r( k) ． ( 4) 对系统( 1) 引入下面的二次型性能指标函数: J = ∑ ∞ k = 0 ( eT ( k) Qee( k) + ΔuT ( k) HΔu( k) ) ． ( 5) 式中，Qe ＞ 0，H ＞ 0 为给定的权重矩阵． 本文的目的是设计一个带有预见作用的有记忆的 状态反馈控制器，使得闭环系统满足下面三点: ( 1) 当 ω( k) = 0 时渐近稳定; ( 2) 具有 H∞ 干扰抑制的保性能性; ( 3) 在不确定性和外部干扰的影响下，其观测输 出 y( k) 仍能够无静态误差地跟踪目标信号 r( k) ，即 lim k→∞ e( k) = limk→∞ ( y( k) － r( k) ) = 0． 本文用到下面的引理． 引理( Schur 补) ［23］ 对于给定的对称矩阵 Φ = Φ11 Φ12 ΦT ( 12 Φ ) 22 ， 下列三个条件是等价的: ( Ⅰ) Φ ＜ 0; ( Ⅱ) Φ11 ＜ 0，Φ22 － ΦT 12Φ－ 1 11 Φ12 ＜ 0; ( Ⅲ) Φ22 ＜ 0，Φ11 － Φ12Φ－ 1 22 ΦT 12 ＜ 0． · 9001 ·
·1010· 工程科学学报，第38卷，第7期 下面首先构造扩大误差系统，然后针对所构造的 (0 EA. 扩大误差系统来设计满足上面性能的带预见作用的有 0 A 09= (10a) 记忆控制器 000 2扩大误差系统的构造 0E∑A0:0 2.1误差系统的构造 差分算子△定义为 A= 0 0 △x(k)=x(k)-x(k-1). (6) 0 0 对系统(1)的状态方程两端取差分得到 △x(k+1)=(A+A)△r(k)+(A,+AD)△r(k-d)+ 0EA0) (B+B)△u(k)+B△w(k). (7) A 09:= A0, (10b) 注3由于不确定矩阵为常数矩阵，所以△是线 00 0 性算子，因此对系统(1)的状态方程两端取差分时有 式(7)的形式. EB, 对误差信号取差分有△e(k)=△y(k)-△r(k), B.0. 所以， BA △e(k+1)=△y(k+1)-△r(k+1)= E△x(k+1)-△r(k+1). (10c) 注意到△e(k+1)=e(k+1)-e(k),代入上式得 式(9)即为我们所构造的误差系统.下面我们来 e(k+1)=e(k)+E△r(k+1)-△r(k+1)= 构造扩大误差系统.注意，式(9)中保留了系统的时 e(k)+E(A+A)△r(k)+E(A+Am)△x(k-d)+ E(B+B。)△u(k)+EB.△w()-△r(k+1).(8) 滞，从而不需要提升过程，因此也就不会使得式(9)的 综合式(7)与式(8)得到 阶数随时滞d的增加而变大. 2.2扩大误差系统的构造 X(k+1)=(A+A)X(k)+ 为了把目标信号引入系统(9)进而构造扩大误差 (A+)(kd)+(B+B)Au (k)+ 系统，定义向量 Bw(k)+G△r(k+1). (9) △r(k+1) 其中 △r(k+2) EA -EB. x,()= e(k) I (k)= △x(k) A= 0 A B △r(k+M) w(k-1) 0 0 0 由假设2有 0EA。 0) (0 EA,0 x,(k+1)=Ax,(k) (11) A。= 0 A。0A= 0 A40 其中 0 00 0… 0 0 0) 0 0 (0 EA 0) 0 I… (EB 0 An= 0 A 0 B= B Ar= 0 0 0 00 0 I EB。) 0 0 0 EB B。= B. 综合式(9)和式(11)得到 B X(k+1)=(A+A。)X(k)+(A,+An)X(k-d)+ 0 (B+B)△u(k)+B.w(k). (12) A。、A,和B。为不确定矩阵，利用假设(1)知它们 此即我们所构造的扩大误差系统，其中 满足 0 0), 0 ∑A: 0 a-低任
工程科学学报，第 38 卷，第 7 期 下面首先构造扩大误差系统，然后针对所构造的 扩大误差系统来设计满足上面性能的带预见作用的有 记忆控制器． 2 扩大误差系统的构造 2. 1 误差系统的构造 差分算子 Δ 定义为 Δx( k) = x( k) － x( k － 1) ． ( 6) 对系统( 1) 的状态方程两端取差分得到 Δx( k + 1) = ( A + A0 ) Δx( k) + ( Ad + Ad0 ) Δx( k － d) + ( B + B0 ) Δu( k) + BωΔω( k) ． ( 7) 注 3 由于不确定矩阵为常数矩阵，所以 Δ 是线 性算子，因此对系统( 1) 的状态方程两端取差分时有 式( 7) 的形式． 对误差信号取差分有 Δe( k) = Δy( k) － Δr( k) ， 所以， Δe( k + 1) = Δy( k + 1) － Δr( k + 1) = EΔx( k + 1) － Δr( k + 1) ． 注意到 Δe( k + 1) = e( k + 1) － e( k) ，代入上式得 e( k + 1) = e( k) + EΔx( k + 1) － Δr( k + 1) = e( k) + E( A + A0 ) Δx( k) + E( Ad + Ad0 ) Δx( k － d) + E( B + B0 ) Δu( k) + EBωΔω( k) － Δr( k + 1) ． ( 8) 综合式( 7) 与式( 8) 得到 X 槇( k + 1) = ( A 槇 + A 槇0 ) X 槇( k) + ( A 槇d + A 槇d0 ) X 槇( k － d) + ( B 槇 + B 槇0 ) Δu( k) + B 槇ωω( k) + GΔr( k + 1) ． ( 9) 其中 X 槇( k) = e( k) Δx( k) ω( k － 1 ) ，A 槇 = I EA － EBω 0 A － Bω 0 0 0 ， A 槇0 = 0 EA0 0 0 A0 0 0 0 0 ，A 槇d = 0 EAd 0 0 Ad 0 0 0 0 ， A 槇d0 = 0 EAd0 0 0 Ad0 0 0 0 0 ，B 槇 = EB B 0 ， B 槇0 = EB0 B0 0 ，B 槇ω = EBω Bω I ，G = － I 0 0 ． A 槇0、A 槇d0和 B 槇0 为不确定矩阵，利用假设( 1) 知它们 满足 A 槇0 = 0 E∑ l i = 1 Aiθi 0 0 ∑ l i = 1 Aiθi 0 0 0 0 = ∑ l i = 1 0 EAi 0 0 Ai 0 0 0 0 θi = ∑ l i = 1 A 槇iθi， ( 10a) A 槇d0 = 0 E∑ l i = 1 Adiθi 0 0 ∑ l i = 1 Adiθi 0 0 0 0 = ∑ l i = 1 0 EAdi 0 0 Adi 0 0 0 0 θi = ∑ l i = 1 A 槇diθi， ( 10b) B 槇0 = E∑ l i = 1 Biθi ∑ l i = 1 Biθi 0 = ∑ l i = 1 EBi Bi 0 θi = ∑ l i = 1 B 槇iθi ． ( 10c) 式( 9) 即为我们所构造的误差系统． 下面我们来 构造扩大误差系统． 注意，式( 9) 中保留了系统的时 滞，从而不需要提升过程，因此也就不会使得式( 9) 的 阶数随时滞 d 的增加而变大． 2. 2 扩大误差系统的构造 为了把目标信号引入系统( 9) 进而构造扩大误差 系统，定义向量 xr ( k) = Δr( k + 1) Δr( k + 2) Δr( k + Mr ) ． 由假设 2 有 xr ( k + 1) = AＲ xr ( k) ． ( 11) 其中 AＲ = 0 I 0 … 0 0 0 I … 0 0 0 0 … I 0 0 0 … 0 ． 综合式( 9) 和式( 11) 得到 X( k + 1) = ( A + A0 ) X( k) + ( Ad + Ad0 ) X( k － d) + ( B + B0 ) Δu( k) + Bωω( k) ． ( 12) 此即我们所构造的扩大误差系统，其中 X( k) = X 槇( k) xr ( k ) ，GP = ( G 0 … 0) ， A = A G 槇 P 0 A Ｒ ，A0 = A 槇 0 0 0 0 ，Ad = A 槇 d 0 0 0 ， · 0101 ·
廖福成等：不确定离散时滞系统的H.保性能预见控制 1011 z(k)=(C+DK)X()+DLX(k-d).(18) -周a-低}a倍 为推导方便起见，我们引入记号 A(0)=(A+BK)+(A。+B,K), A。,An,B。为不确定矩阵，由式(10)知它们满足 B(8)=(A,+BL)+(A。+B。L). (19) (②“低- 则闭环系统可成 x(k+I)=A(0)X(k)+B(0)X(k-d)+Bw(k). (20) (13a) 下面我们用线性矩阵不等式的有关理论和方法来 低-g 确定控制器(17)中控制增益矩阵K和L,使闭环系统 满足上面所要求的鲁棒性能. (13b) 3具有H干扰抑制的最优保性能控制器的 设计 -含- B,0.(13c) 下面的定理1给出使得闭环系统(20)具有H.干 扰抑制保性能可镇定的充分条件 式中，AA和B(i=1,2,…,)为具有适当维数的常 定理1在假设1和2成立的条件下，对于给定的 矩阵.把性能指标(5)用扩大误差系统(12)中的状态 y>0,若存在矩阵P>0、S>0和矩阵K、L,使得对于 向量表示，有 所有允许的不确定性和干扰，矩阵不等式 J=A(因Q(+An(因HAn(因). -P-1 0 A()B(0)B. 0 0 -I C+DK DL 0 0 (14) A"(0)(C+DK)T -P 0 0 I 其中 <0 B"(0) (DL)T 0 -S 0 B 0 0 -y210 0* 0 0 0 0 -S-1 (21) 0（Mx9x(,x 再定义新的变量 成立，则式(17)为系统(12)的具有H_干扰抑制的保 z(k)=CX(k)+D△u(k) (15) 性能可镇定控制律，且成本函数满足 式中 J≤R(0)Px(0)+∑R()sx(0=了.(22) c= 2000 0000/ 其中，A(0),B(0)如式(19)所示 证明：我们分三步来完成本定理的证明 则性能指标函数(14)等价于 第1步，令 J=∑2'(z(=z( (16) (AT(0)PA(0)-P+S AT(0)PB(0) = 于是，系统(1)的带有预见作用并具有H干扰抑制的 B(0)PA(e) B"(0)PB(0)-S 最优保性能跟踪控制器的设计问题就转化为扩大误差 我们来证明当不等式(21)成立时A<0.对线性矩阵 系统(12)的具有H.干扰抑制的最优保性能控制器的 不等式(21)左边进行合同变换，即式(21)左乘F右乘 设计问题 F,其中 针对扩大误差系统(12)及性能指标函数(16)，设 /100000 计如下形式的有记忆的状态反馈控制器： 00000I △u()=KX(k)+LX(k-d) (17) 00.1000 F= 其中K和L是待定的矩阵.将该控制器代入扩大误差 000100 系统(12)，得闭环系统 0000I0 X(k+1)=((A+BK)+(A。+BK))X()+ 010000 ((A+BL)+(A+BoL))X(k-d)+B.o(k). 由于合同变换把负定矩阵变为负定矩阵，所以从式 把式(17)代入式(15)得到 (21)得到
廖福成等: 不确定离散时滞系统的 H∞ 保性能预见控制 Ad0 = A 槇 d0 0 0 0 ，B = B 槇 ( ) 0 ，B0 = B 槇0 0 ，Bω = B 槇ω 0 ． A0，Ad0，B0 为不确定矩阵，由式( 10) 知它们满足 A0 = ∑ l i = 1 A 槇iθi 0 0 0 = ∑ l i = 1 A 槇 i 0 0 0 θi = ∑ l i = 1 Aiθi， ( 13a) Ad0 = ∑ l i = 1 A 槇diθi 0 0 0 = ∑ l i = 1 A 槇 di 0 0 0 θi = ∑ l i = 1 Adiθi， ( 13b) B0 = ∑ l i = 1 B 槇iθi 0 = ∑ l i = 1 B 槇i 0 θi = ∑ l i = 1 Biθi ． ( 13c) 式中，Ai、Adi和 Bi ( i = 1，2，…，l) 为具有适当维数的常 矩阵． 把性能指标( 5) 用扩大误差系统( 12) 中的状态 向量表示，有 J = ∑ ∞ k = 0 ( XT ( k) QX( k) + ΔuT ( k) HΔu( k) ) ． ( 14) 其中 Q = Qe 0n × n 0p × p 0( Mr × q) × ( Mr × q ) ． 再定义新的变量 z( k) = C X( k) + DΔu( k) ． ( 15) 式中 C = Q1 /2 e 0 0 0 ( ) 0 0 0 0 ，D = 0 H( 1 /2 )． 则性能指标函数( 14) 等价于 J = ∑ ∞ k = 0 z T ( k) z( k) = ‖z( k) ‖2 2 ． ( 16) 于是，系统( 1) 的带有预见作用并具有 H∞ 干扰抑制的 最优保性能跟踪控制器的设计问题就转化为扩大误差 系统( 12) 的具有 H∞ 干扰抑制的最优保性能控制器的 设计问题． 针对扩大误差系统( 12) 及性能指标函数( 16) ，设 计如下形式的有记忆的状态反馈控制器: Δu( k) = K X( k) + L X( k － d) ． ( 17) 其中 K 和 L 是待定的矩阵． 将该控制器代入扩大误差 系统( 12) ，得闭环系统 X( k + 1) = ( ( A + BK) + ( A0 + B0K) ) X( k) + ( ( Ad + BL) + ( Ad0 + B0L) ) X( k － d) + Bωω( k) ． 把式( 17) 代入式( 15) 得到 z( k) = ( C + DK) X( k) + DL X( k － d) ． ( 18) 为推导方便起见，我们引入记号 A( θ) = ( A + BK) + ( A0 + B0K) ， B( θ) = ( Ad + BL) + ( Ad0 + B0L) ． ( 19) 则闭环系统可成 X( k + 1) = A( θ) X( k) + B( θ) X( k － d) + Bωω( k) ． ( 20) 下面我们用线性矩阵不等式的有关理论和方法来 确定控制器( 17) 中控制增益矩阵 K 和 L，使闭环系统 满足上面所要求的鲁棒性能． 3 具有 H∞ 干扰抑制的最优保性能控制器的 设计 下面的定理 1 给出使得闭环系统( 20) 具有 H∞ 干 扰抑制保性能可镇定的充分条件． 定理1 在假设1 和2 成立的条件下，对于给定的 γ ＞ 0，若存在矩阵 P ＞ 0、S ＞ 0 和矩阵 K、L，使得对于 所有允许的不确定性和干扰，矩阵不等式 － P － 1 0 A( θ) B( θ) Bω 0 0 － I C+ DK DL 0 0 AT ( θ) ( C+ DK) T － P 0 0 I BT ( θ) ( DL) T 0 － S 0 0 BT ω 0 0 0 － γ 2 I 0 0 0 I 0 0 － S － 1 ＜0 ( 21) 成立，则式( 17) 为系统( 12) 的具有 H∞ 干扰抑制的保 性能可镇定控制律，且成本函数满足 J≤XT ( 0) P X( 0) + ∑ －1 i = －d XT ( i) S X( i) = J* ． ( 22) 其中，A( θ) ，B( θ) 如式( 19) 所示． 证明: 我们分三步来完成本定理的证明． 第 1 步，令 Λ = AT ( θ) P A( θ) － P + S AT ( θ) P B( θ) BT ( θ) P A( θ) BT ( θ) P B( θ) － ( ) S ． 我们来证明当不等式( 21) 成立时 Λ ＜ 0． 对线性矩阵 不等式( 21) 左边进行合同变换，即式( 21) 左乘 F 右乘 FT ，其中 F = I 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 I 0 0 I 0 0 0 0 0 0 I 0 0 0 0 0 0 I 0 0 I 0 0 0 0 ． 由于合同变换把负定矩阵变为负定矩阵，所以从式 ( 21) 得到 · 1101 ·
·1012· 工程科学学报，第38卷，第7期 -P-1 0 A(0)B(0 B 0 (k-d-1)B(0)PB()-Sx(k-d-1)= 0 --1 I 0 0 0 ((k-1)X(k-d-1))· A(0 -P 0 0 (C+DK)T (PA()-P+S A(PB(. <0 B"(0) 0 0 -S 0 (DL)T BT(0)PA(0) B"(0)PB(0)-S) B 0 0 0 -y21 0 X(-1)1 0 x(k-d-1) 0 C+DK DL 0 -I 由此推出 即 -P- 0 A(8)B(8)Y X(k-1) △V=((k-1) (k-d-1)A 0 -S1 x(k-d-1) 0 <0. AT() 1 由于在第1步已经证明A<0,所以△V负定.由 -P 0 B(0) Lyapunov稳定性理论，我们证明当w()=0时闭环系 0 0 -S 统渐近稳定. 注意到 第3步，证明闭环系统具有H干扰抑制的保性 -P 0 <0, 能性. -s1 当w(k)≠0时，对式(21)再次应用Schur补引 对上面这个线性矩阵不等式应用Schur补引理得到 理，可以得到 (。 -P1 0 A()B(8) B 0 -I C+DK DL 0 AT(0)(C+DK)T -P 0 S B"(0) (DL)T 0 -S 0 经计算知，最后这个不等式左端即为A,所以我们推出 B S 0 0 -yl 了A<0. 0) 第2步，利用Lyapunov第2方法证明当w(k)=0 0 时闭环系统渐近稳定 1S(00I00)<0. 选取Lyapunov函数 V(x(k)=(k)PX()+ 分x()sx(. (23) P 0 A(0) B(8) B。 由于P>0,S>0,所以Lyapunov函数(23)正定.当o 0 -I C+DK DL 0 (k)=0时，对Lyapunov函数(23)沿着闭环系统(20) A(8) (C+DK)T -P+S 0 0 <0 的轨线取差分得到 B(0) (DL)T 0 -S 0 △V=V(X(k))-V(X(k-1))= B 0 0 0 -y21 X(k)PX()-(k-1)PX(k-1)+ 注意到 -P 01 分()sx)- 文(0sx闭= 0-s0, .--1 再对上式运用Schur补引理，有 A(0)X(k-1)+B(0)X(k-d-1)]'. A(0) (C+DK)T PA(0)x(k-1)+B(0)X(k-d-1)]- B"(0) (DL)T P 0/A(0) B(0) R-P-+龙asx0- 八C+DKDL0/+ 0 B 0 月0s0= (S-P 0 0) 0-S0<0 (k-1)(8)PA(0)-P+S】x(k-1)+ 00-y21J 2X(k-1)A(0)PB(0)X(k-d-1)+ 即 A"(0)PA(0)-P+S+(C+DK)"(X+DK)AT(0)PB(0)+(C+DK)(DL)AT(0)PB. B (0)PA(0)+(DL)(C+DK) B"(0)PB(0)+(DL)T (DL)-S B"(0)PB. <0 BIPA(0) BPB(0) BPB。-y2I
工程科学学报，第 38 卷，第 7 期 － P － 1 0 A( θ) B( θ) Bω 0 0 － S － 1 I 0 0 0 AT ( θ) I － P 0 0 ( C + DK) T BT ( θ) 0 0 － S 0 ( DL) T BT ω 0 0 0 － γ2 I 0 0 0 C + DK DL 0 － I ＜0． 由此推出 － P － 1 0 A( θ) B( θ) 0 － S － 1 I 0 AT ( θ) I － P 0 BT ( θ) 0 0 － S ＜ 0． 注意到 － P － 1 0 0 － S ( － 1 ) ＜ 0， 对上面这个线性矩阵不等式应用 Schur 补引理得到 － P 0 0 － ( ) S － AT ( θ) I BT ( θ) ( ) 0 － P － 1 0 0 － S ( － 1 ) － 1 A( θ) B( θ) I ( ) 0 ＜ 0． 经计算知，最后这个不等式左端即为 Λ，所以我们推出 了 Λ ＜ 0． 第 2 步，利用 Lyapunov 第 2 方法证明当 ω( k) = 0 时闭环系统渐近稳定． 选取 Lyapunov 函数 V( X( k) ) = XT ( k) P X( k) + ∑ k －1 i = k －d XT ( i) S X( i) ． ( 23) 由于 P ＞ 0，S ＞ 0，所以 Lyapunov 函数( 23) 正定． 当 ω ( k) = 0 时，对 Lyapunov 函数( 23) 沿着闭环系统( 20) 的轨线取差分得到 ΔV = V( X( k) ) － V( X( k － 1) ) = XT ( k) P X( k) － XT ( k － 1) P X( k － 1) + ∑ k －1 i = k －d XT ( i) S X( i) － ∑ k －2 i = k －d －1 XT ( i) S X( i) = ［A( θ) X( k － 1) + B( θ) X( k － d － 1) ］T · P［A( θ) X( k － 1) + B( θ) X( k － d － 1) ］－ XT ( k － 1) P X( k － 1) + ∑ k －1 i = k －d XT ( i) S X( i) － ∑ k －2 i = k －d －1 XT ( i) S X( i) = XT ( k － 1) ［AT ( θ) P A( θ) － P + S］X( k － 1) + 2 XT ( k － 1) AT ( θ) P B( θ) X( k － d － 1) + XT ( k － d － 1) ［BT ( θ) P B( θ) － S］X( k － d － 1) = ( XT ( k － 1) XT ( k － d － 1) )· AT ( θ) P A( θ) － P + S AT ( θ) P B( θ) BT ( θ) P A( θ) BT ( θ) P B( θ) － ( ) S · X( k － 1) X( k － d － 1 ( ) ) ． 即 ΔV = ( XT ( k － 1) XT ( k － d － 1) ) Λ X( k － 1) X( k － d － 1 ( ) ) ． 由于在第 1 步已经证明 Λ ＜ 0，所以 ΔV 负定． 由 Lyapunov 稳定性理论，我们证明当 ω( k) = 0 时闭环系 统渐近稳定． 第 3 步，证明闭环系统具有 H∞ 干扰抑制的保性 能性． 当 ω( k) ≠0 时，对式( 21) 再次应用 Schur 补引 理，可以得到 － P － 1 0 A( θ) B( θ) Bω 0 － I C + DK DL 0 AT ( θ) ( C + DK) T － P 0 0 BT ( θ) ( DL) T 0 － S 0 BT ω 0 0 0 － γ2 I + 0 0 I 0 0 S( 0 0 I 0 0 ＜ 0 ) ． 即 － P － 1 0 A( θ) B( θ) Bω 0 － I C + DK DL 0 AT ( θ) ( C + DK) T － P + S 0 0 BT ( θ) ( DL) T 0 － S 0 BT ω 0 0 0 － γ 2 I ＜0． 注意到 － P － 1 0 0 － ( )I ＜ 0， 再对上式运用 Schur 补引理，有 AT ( θ) ( C + DK) T BT ( θ) ( DL) T BT ω 0 P 0 0( )I A( θ) B( θ) Bω C + DK DL ( ) 0 + S － P 0 0 0 － S 0 0 0 － γ 2 I ＜0， 即 AT ( θ) P A( θ) － P + S + ( C + DK) T ( X + DK) AT ( θ) P B( θ) + ( C + DK) T ( DL) AT ( θ) P Bω BT ( θ) P A( θ) + ( DL) T ( C + DK) BT ( θ) P B( θ) + ( DL) T ( DL) － S BT ( θ) P Bω BT ω P A( θ) BT ω P B( θ) BT ω P Bω － γ2 I ＜ 0． · 2101 ·