分布。 例:袋里有a只白球,b只黑球,现随机抽取一只,问是白球的概率为 多少? 若作X=1表示抽到的是白球,X=0表示抽到的是黑球,那么随便机变 量X服从二点分布,它的概率分布是: P{X=l=、a PIX=O a+b a+b 通常二点分布的形式是 P{X=l}=p(0<p<1(p是参数) P{X=0}=1-p 二点分布的数学期望为P,方差为p(1-P)。 (四)二项分布 二项分布是从著名的伯努里试验过程中推导出来的。取名为伯努里试验 是为了纪念在概率论方面作出显著贡献的瑞士数学家雅各布·伯努里。伯努 里试验是一系列试验,若干伯努里试验排列成伯努里过程。 每次试验只有两种可能结果,一是成功的结果,另一是失败的结果,两 种结果互相对立。若把成功的概率记为P,失败的概率则记为q=1-P。如射 击手打靶,每次打靶可能命中,也可能未命中,命中概率P为0.7则未命中 的概率为1-P=1-0.7=0.3。在历次试验中其概率值保持不变 任何一次特定的试验,其结果不受其他各次试验结果的影响,即互相独 立。 n次伯努里试验中,成功的次数是一个随机变量,它可能是0,1,2, n次。该随机变量服从的分布就是二项分布。记作X~B(n,p) 例:投掷一枚不匀称的分币,其出现正面的概率为P(P≠1/2),独立 地重复三次,求其中恰有二次出现正面的概率。 根据题意,记Ai=“第i次出现正面”(i=1,2,3),独立重 复试验3次,全部可能结果有8种,其中恰有2次出现正面有 A1A2A3、A1A2A3、A1A2A3三种互不相容的。概率都是P(1-p),故: P{恰有2次出现正面} P(A,A,A3)+P(A,A2A3)+P(AA,A,) =p2(1-p)+p2(1-p)+p2(1-p) 3p2(1-p)=Clp2(1-p) 如重复投掷四次,恰有2次出现正面的概率为,一般地,二项分布B(n,p) 的概率分布为: P(X=k)=Cpq"(k=0,1,2,A,n) 由于P(x=k),k=0,1,2…n,是二项式(q+py)n的展开式中yk 前的系数,二项分布由此而得名。二项分布的数学期望为np方差为npq 为了使用方便,人们编制了二项分布表,表中对不同的n及p给出了相应的 概率
分布。 例：袋里有 a 只白球，b 只黑球，现随机抽取一只，问是白球的概率为 多少？ 若作 X＝1 表示抽到的是白球，X＝0 表示抽到的是黑球，那么随便机变 量 X 服从二点分布，它的概率分布是： P X a a b P X b a b { = } = , { } + = = + 1 0 通常二点分布的形式是： P X p p p P X p { } ( ( ) { } = = < < = = - 1 0 1 0 1 是参数 二点分布的数学期望为 P，方差为 p（1－P）。 （四）二项分布 二项分布是从著名的伯努里试验过程中推导出来的。取名为伯努里试验 是为了纪念在概率论方面作出显著贡献的瑞士数学家雅各布·伯努里。伯努 里试验是一系列试验，若干伯努里试验排列成伯努里过程。 每次试验只有两种可能结果，一是成功的结果，另一是失败的结果，两 种结果互相对立。若把成功的概率记为 P，失败的概率则记为 q＝1－P。如射 击手打靶，每次打靶可能命中，也可能未命中，命中概率 P 为 0.7 则未命中 的概率为 1－P＝1－0.7＝0.3。在历次试验中其概率值保持不变。 任何一次特定的试验，其结果不受其他各次试验结果的影响，即互相独 立。 n 次伯努里试验中，成功的次数是一个随机变量，它可能是 0，1，2，……， n 次。该随机变量服从的分布就是二项分布。记作 X～B（n，p）。 例：投掷一枚不匀称的分币，其出现正面的概率为 P（P≠1/2），独立 地重复三次，求其中恰有二次出现正面的概率。 根据题意，记 Ai＝“第 i 次出现正面”（i＝1，2，3），独立重 复试验 3 次，全部可能结果有 8 种，其中恰有 2 次出现正面有： A1A2 A3、A1A2A3、A1A2A3三种互不相容的。概率都是 P 2（1－p），故： P{ 2 } ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 恰有 次出现正面 = + + = - + - + - = - = - P A A A P A A A P A A A p p p p p p p p C p p 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 2 2 2 3 2 2 1 1 1 3 1 1 如重复投掷四次，恰有 2 次出现正面的概率为，一般地，二项分布 B（n，p） 的概率分布为： P X k Cn p q k n k k n k ( = ) = ( = , , , , ) - 01 2 L 由于 P（ｘ＝k），ｋ＝0，1，2…ｎ，是二项式（q＋py）ｎ的展开式中 y k 前的系数，二项分布由此而得名。二项分布的数学期望为ｎｐ方差为 npq。 为了使用方便，人们编制了二项分布表，表中对不同的ｎ及ｐ给出了相应的 概率
(五)泊松分布 如随机变量ⅹ的概率分布如下: Pix=k kI (k=0,1,2,AA,x>0) 则称ⅹ服从泊松分布。泊松分布的特点是数学期望和方差都是入 希腊字母λ称为泊松分布的参数,它等于一个随机事件在某时间或空间 范围内平均发生的次数。k表示随机事件在某个区间内发生的次数。记号e 是常数2.71828。 经济生活中服从泊松分布的随机变量很多。如:工厂里的事故发生次数; 到标本商店买货物的顾客人数;细纱断头数;布匹疵点数;稀有事件,如洪 水爆发,飞机失事等。 (六)超几何分布 超几何分布应用是非常广泛的。由于在伯努里试验中,具有指定特征的 事件发生的概率P始终保持不变,也就是说,二项分布描述的是回置抽取。 但是在实际情况中,较多的是采用不回置抽取。故抽取过程中P就要发生变 化,此时就要用到超几何分布 一般来说,如果有同类产品共N个,其中有M个次品。现从中随机取出 n个(假定n≤NM),则这n个产品中所含的次品数X是一个离散型随机变 量,其概率分布为超几何分布。超几何分布的公式为 P(X=k)= (k=0,1,2,Amin(M,n) 其中,N-M是总体产品中的合格品,n-k是从产品中抽取的合格品。 三、连续型随机变量的概率分布 (一)连续型随机变量 个随机变量如能够在一个数值区间内取任何值,则此变量就是连续型 随机变量。由于连续型随机变量的取值不能—一列岀,因此不能象离散型随 机变量那样把随机变量的取值及其概率用列表的形式描述,而要用连续函数 的形式描述。满足下列两个条件的函数f(x)作连续型随机变量X的概率密 度函数 f(x)≥0 方差为:」(x)dx=1 对f(x)的积分F(x)称作概率分布函数 F(x)=」f(x) 实用上,常把连续型随机变量Ⅹ的概率密度函数f(x)和概率分布函数 F(x),统称为随机变量Ⅹ的概率分布。 连续型随机变量Ⅹ在某个值域区间(a,b)或[a,b]内取值的概率, 等于概率密度函数f(x)的曲线与x轴以及由x轴上a和b两点引出的两条 垂线所围成的面积,就是求如下的积分
（五）泊松分布 如随机变量ｘ的概率分布如下： P x k k k { } e k ! = = ( = , , , , > ) l - l l 01 2 L L 0 则称ｘ服从泊松分布。泊松分布的特点是数学期望和方差都是λ。 希腊字母λ称为泊松分布的参数，它等于一个随机事件在某时间或空间 范围内平均发生的次数。ｋ表示随机事件在某个区间内发生的次数。记号ｅ 是常数 2.71828。 经济生活中服从泊松分布的随机变量很多。如：工厂里的事故发生次数； 到标本商店买货物的顾客人数；细纱断头数；布匹疵点数；稀有事件，如洪 水爆发，飞机失事等。 （六）超几何分布 超几何分布应用是非常广泛的。由于在伯努里试验中，具有指定特征的 事件发生的概率 P 始终保持不变，也就是说，二项分布描述的是回置抽取。 但是在实际情况中，较多的是采用不回置抽取。故抽取过程中 P 就要发生变 化，此时就要用到超几何分布。 一般来说，如果有同类产品共 N 个，其中有 M 个次品。现从中随机取出 n 个（假定 n≤N—M），则这n 个产品中所含的次品数 X 是一个离散型随机变 量，其概率分布为超几何分布。超几何分布的公式为： P X k C C C k M n m k N M n k N n ( = ) = ( = , , , min( , )) - · - 01 2 L 其中，N－M 是总体产品中的合格品，n－k 是从产品中抽取的合格品。 三、连续型随机变量的概率分布 （一）连续型随机变量 一个随机变量如能够在一个数值区间内取任何值，则此变量就是连续型 随机变量。由于连续型随机变量的取值不能一一列出，因此不能象离散型随 机变量那样把随机变量的取值及其概率用列表的形式描述，而要用连续函数 的形式描述。满足下列两个条件的函数 f（x）作连续型随机变量 X 的概率密 度函数： f（x）≥ ① 方差为 ② 对 的积分 称作概率分布函数 ③ 0 : ( ) 1 ( ) ( ) : ( ) ( ) x dx f x F x F x f x dx x -¥ ¥ -¥ ò ò = = 实用上，常把连续型随机变量 X 的概率密度函数 f（x）和概率分布函数 F（x），统称为随机变量 X 的概率分布。 连续型随机变量 X 在某个值域区间（a，b）或［a，b］内取值的概率， 等于概率密度函数 f（x）的曲线与 x 轴以及由 x 轴上 a 和 b 两点引出的两条 垂线所围成的面积，就是求如下的积分：
P(a≤x≤b)=」f(x)dx=F(b)-F(a) 如上式指出的,f(x)在X的整个值域上的积分为1,也就是说,整个 概率密度函数f(x)曲线下的面积等于1。 设Ⅹ为连续型随机变量,其概率密度函数为f(x),则X的数学期望为: E(x)-oof(x)d 方差为 D(X=EAlX-E(X Ix= E(X)- f(x)dx 下面介绍几种常见的连续型随机变量的概率分布:均匀分布、指数分布 和正态分布。其中正态分布是统计学最重要的分布。 (二)均匀分布 如果随机变量X的概率密度函数为 ≤x≤b 1←0其他 则称X服从[a,b]上的均匀分布,记作X~R[a,b],它的均值为 a9,m12,分布函数为 X-a F(x)=b-a a<x< 均匀分布的意义是:X取值于[a,b]中任一小区间[c,d]的概率与 该小区间的长度(dc)成正比,而与小区间的具体位置无关。 (三)指数分布 如果随机变量X的概率密度函数为: 当x≥0 f(x) (λ>0) 当x<0 则称x服从参数为λ的指数分布。简化作x~E(λ)它的均值为λ-1,方差 为入2。1/λ常称为平均寿命,ex常称为可靠度。指数分布的分布函数为
P a x b f x dx F b F a a b ( £ £ ) = ( ) = ( ) - ( ) ò ④ 如上式指出的，f（x）在 X 的整个值域上的积分为 1，也就是说，整个 概率密度函数 f（x）曲线下的面积等于 1。 设 X 为连续型随机变量，其概率密度函数为 f（x），则 X 的数学期望为： E x f x dx x ( ) - ¥ ( ) ¥ ò ⑤ 方差为： D X E{[X E X x E X f x dx ( ) ( )] } [ ( )] ( ) = - = = -¥ ¥ ò 2 2 ⑥ 下面介绍几种常见的连续型随机变量的概率分布：均匀分布、指数分布 和正态分布。其中正态分布是统计学最重要的分布。 （二）均匀分布 如果随机变量 X 的概率密度函数为： f x b a a x b ( ) = - £ £ ¬ ì í ï ï î ï ï ü ý ï ï þ ï ï 1 0 1 0 其他 则称 X 服从［a，b］上的均匀分布，记作 X～R［a，b］，它的均值为 a + b 2 ，方差为 (b - a) 2 12 ，分布函数为： F x x a x a b a ( ) = a x b £ - - < < ì í ï ï î ï ï 0 ⑦ 均匀分布的意义是：X 取值于［a，b］中任一小区间［c，d］的概率与 该小区间的长度（d—c）成正比，而与小区间的具体位置无关。 （三）指数分布 如果随机变量 X 的概率密度函数为： f x e x x x ( ) = ( ) ³ > < ì í ï î ï - l l l 当 当 0 0 0 0 则称ｘ服从参数为λ的指数分布。简化作ｘ～E（λ）它的均值为λ-1，方差 为λ-2。1/λ常称为平均寿命，e -lx 常称为可靠度。指数分布的分布函数为：
当x≤0时 F(x)= (四)正态分布 如果随机变量ⅹ的概率密度函数为: 1 x-厂 f(x)= (-∞<X<+∞) 则称X服从正态分布,记作X~N(μ,σ2),其中μ是分布的数学期望, 2是分布的方差 正态分布的概率密度函数f(x)具有下列性质: 1.在直角坐标系内f(x)的图形呈钟形,以x=μ为对称轴,呈左右 对称 2在x=以处,f(x)取最大值,如印)=h=;x越远离μ,f x)的极大值f(μ)=f(以)-√2π可知,σ越小时,曲绕越陡峭;σ越 大时,曲线越平缓(见图10-7)。反之,如果6为固定,改变μ的值,则f (x)的图形沿着x轴平行移动,而曲线的形状不改变(见图10-8) 图表10—7 图表10 正态分布的分布函数为: x-μ F(X) 正态分布是由德·莫阿弗尔(A. de mo iver,1667~1752)于1933年首 先发表的,是概率论中最重要的一种分布,也是最常见的一种分布。例如, 测量误差的分布;炮弹弹头落点的分布;人的生理尺寸、特征、身长、体重 等的分布都为正态分布。 一般说来,若影响某一数量值的随机因素很多,而各因素所起的作用不 太大,则这个指标就服从正态分布。许多分布可用正态分布上来近似,另 些分布可以通过正态分布来导出。 正态分布是一个分布族。对应于不同的参数μ和σ,会产生不同的正态 分布。参数μ=0,2=1的正态分布称为标准正态分布。当随机变量x服 从标准正态分布时,就记作ⅹ~n(0,1),其密度函数为 e √22 分布函数是
F x x e x x ( ) = £ - > ì í î - 0 0 1 0 当 时 l 当 时 （四）正态分布 如果随机变量ｘ的概率密度函数为： f x e X x ( ) ( ) ( ) = -¥ < < +¥ - - 1 2 2 2 2 ps m s 则称 X 服从正态分布，记作 X～N（μ，s 2），其中μ是分布的数学期望， s 2 是分布的方差。 正态分布的概率密度函数 f（ｘ）具有下列性质： 1.在直角坐标系内ｆ（ｘ）的图形呈钟形，以ｘ＝μ为对称轴，呈左右 对称。 2.在ｘ＝μ处，ｆ（ｘ）取最大值，如 f(m) ps = 1 2 ；x 越远离μ，ｆ （x）的极大值ｆ（μ）＝ f(m) ps = 1 2 可知，s越小时，曲绕越陡峭；s越 大时，曲线越平缓（见图 10—7）。反之，如果б为固定，改变μ的值，则 f （x）的图形沿着 x 轴平行移动，而曲线的形状不改变（见图 10—8）。 图表 10—7 图表 10—8 正态分布的分布函数为： F x e dx x x ( ) ( ) = - - -¥ ò 1 2 2 2 2 ps m s ⑧ 正态分布是由德·莫阿弗尔（A.de Moiver，1667～1752）于 1933 年首 先发表的，是概率论中最重要的一种分布，也是最常见的一种分布。例如， 测量误差的分布；炮弹弹头落点的分布；人的生理尺寸、特征、身长、体重 等的分布都为正态分布。 一般说来，若影响某一数量值的随机因素很多，而各因素所起的作用不 太大，则这个指标就服从正态分布。许多分布可用正态分布上来近似，另一 些分布可以通过正态分布来导出。 正态分布是一个分布族。对应于不同的参数μ和σ，会产生不同的正态 分布。参数μ＝0，σ2＝1 的正态分布称为标准正态分布。当随机变量ｘ服 从标准正态分布时，就记作ｘ～ｎ（0，1），其密度函数为： f x e x ( ) = - 1 2 2 2 p ⑨ 分布函数是： F X X e x x dx ( ) = ( ) = - -¥ f ò p 1 2 2 2
⑩式积分的数值为图10-9所示的阴影部分面积。 图10-9中(X)是X的函数,已制成的中(X)的函数值表。要求标准 正态分布的分布函数值时只需要查表即可由于标准正态分布是以X=0为中 心轴的对称分布,并注意到分布曲线同横轴所包围的面积是常数1,可知φ (X)有以下性质 φ(—X)=1—φ(X) 四、统计量及其分布 (一)统计量 抽样就是从所研究的对象中随机取出其中一部分来观察,由此而获取有 关总体的信息。所谓总体就是研究某现象的客体,它包含了各个个体。例如, 研究某批灯泡的质量,每只灯泡是个体,所有灯泡组成的全体就是一个总体。 在抽样中,被抽取的部分个体,称为总体的一个样本,样本中个体的数量称 为样本容量。样本中的数值(x1,x2,…,xn)称为样本观察值。 抽样的目的是通过取得的样本,对总体分布中某些未知因素作出推断。 样本能否很好地反映总体的信息,与抽样方法有关。这里介绍一种称为“简 单随机抽样”的方法,其要求为:(1)总体总每个个体被抽中的概率均等; (2)样本中每个个体取值并不影响其他个体取值。 由简单随机抽样所得的样本称为简单随机样本。当总体容量较小时,只 有回置抽样才能得到简单随机样本。当总体容量很大或所抽的样本容量在总 体中所占比例较小时,不回置抽样也可得到较理想的简单随机样本。后面我 们所说的样本都是简单随机样本。 在抽样中,可以用样本的平均数、比率、标准差等综合指标来描述样本 的特征,这些指标称为统计量。由于样本是随机抽取的,对于每一个特定的 样本,统计量都有一个相应的数值。可见统计量是一个随机变量,其取值随 机本的不同而不同。统计量既然是个随机变量,就有其取值的概率分布。统 计量的概率分布通常又称为抽样分布。 (二)样本平均数的分布 如果从正态分布总体 σ2)中随机抽取样本,则样本平均数的分 布有如下结论:(1)样本平均数x的分布仍然是正态分布;(2)样本平均 数x的分布的期望值μ-等于总体的平均数μ;(3)样本平均数x分布的方差 σ32等于总体的方差除以样本容量即σ2。这些结论对正态分布总体进行推断 时经常要用到。 若从非正态分布总体中抽样,那么样本平均数的抽样分布性质又如何 呢?可运用上曾讨论过的中心极限定理来分析。 没有一总体,其均值μ、方差σ2为有限数值,如从该总体中抽取容量为 n的样本,则当样本容量很大时,根据中心极限定量白样本算出的平均数ⅹ 的抽样分布将近似服从平均值为u方差为2/n的正态分布。 这就是说,只要取大样本(容量不小于30),即使从非正态分布总体中 抽样,利用中心极限定理能得到和从正态分布总体抽样时近似相同的结果
⑩式积分的数值为图 10—9 所示的阴影部分面积。 图 10—9ф（X）是 X 的函数，已制成的ф（X）的函数值表。要求标准 正态分布的分布函数值时只需要查表即可。由于标准正态分布是以 X＝0 为中 心轴的对称分布，并注意到分布曲线同横轴所包围的面积是常数 1，可知φ （X）有以下性质： φ（－X）＝1－φ（X） 四、统计量及其分布 （一）统计量 抽样就是从所研究的对象中随机取出其中一部分来观察，由此而获取有 关总体的信息。所谓总体就是研究某现象的客体，它包含了各个个体。例如， 研究某批灯泡的质量，每只灯泡是个体，所有灯泡组成的全体就是一个总体。 在抽样中，被抽取的部分个体，称为总体的一个样本，样本中个体的数量称 为样本容量。样本中的数值（x1，x2，…，xn）称为样本观察值。 抽样的目的是通过取得的样本，对总体分布中某些未知因素作出推断。 样本能否很好地反映总体的信息，与抽样方法有关。这里介绍一种称为“简 单随机抽样”的方法，其要求为：（1）总体总每个个体被抽中的概率均等； （2）样本中每个个体取值并不影响其他个体取值。 由简单随机抽样所得的样本称为简单随机样本。当总体容量较小时，只 有回置抽样才能得到简单随机样本。当总体容量很大或所抽的样本容量在总 体中所占比例较小时，不回置抽样也可得到较理想的简单随机样本。后面我 们所说的样本都是简单随机样本。 在抽样中，可以用样本的平均数、比率、标准差等综合指标来描述样本 的特征，这些指标称为统计量。由于样本是随机抽取的，对于每一个特定的 样本，统计量都有一个相应的数值。可见统计量是一个随机变量，其取值随 机本的不同而不同。统计量既然是个随机变量，就有其取值的概率分布。统 计量的概率分布通常又称为抽样分布。 （二）样本平均数的分布 如果从正态分布总体 N（μ，s 2）中随机抽取样本，则样本平均数的分 布有如下结论：（1）样本平均数 x的分布仍然是正态分布；（2）样本平均 数 x的分布的期望值mx 等于总体的平均数μ；（3）样本平均数x分布的方差 sx -2 等于总体的方差除以样本容量即sx -2 。这些结论对正态分布总体进行推断 时经常要用到。 若从非正态分布总体中抽样，那么样本平均数的抽样分布性质又如何 呢？可运用上曾讨论过的中心极限定理来分析。 没有一总体，其均值μ、方差s 2 为有限数值，如从该总体中抽取容量为 n 的样本，则当样本容量很大时，根据中心极限定量白样本算出的平均数 x 的抽样分布将近似服从平均值为μ方差为s 2 /n 的正态分布。 这就是说，只要取大样本（容量不小于 30），即使从非正态分布总体中 抽样，利用中心极限定理能得到和从正态分布总体抽样时近似相同的结果。 —