一致。标准差也称为均方差,其公式为 (X-X 式中的G代表标准差。 例:测得⑩0株小麦株高数据如表10-5的第二栏所示。试计算这10株 小麦株高的方差和标准差 表10-510株小麦株高方差和标准差标准计算表 株号1[(厘米)xX(x-X 0 12,769 123456789 113 12,769 114 12996 113 0 12.769 114 12,996 106 1,236 12.321 12.100 1,130 132 127.822 根据表10-5资料计算得: 1,130 10 113(厘米) ∑(X-Ⅹ) 方差为o2= ∑(X-X)2132 =132 标准差为G (X1-X)2 132=363(厘米) 因为 ∑(X-X)2∑x2-2XX+(X)2 n X22X∑X ∑∑∑ 2(X)2+(X)2 n
一致。标准差也称为均方差，其公式为： s = å(X - X) n 2 式中的s代表标准差。 例：测得 10 株小麦株高数据如表 10—5 的第二栏所示。试计算这 10 株 小麦株高的方差和标准差。 表 10—5 10 株小麦株高方差和标准差标准计算表 株号 i Xi (厘米) X —X (X X) i - 2 Xi 2 1 113 0 0 12,769 2 121 8 64 14,641 3 113 0 0 12,769 4 114 1 1 12,996 5 113 0 0 12,769 6 114 1 1 12,996 7 115 2 4 13,225 8 106 — 7 49 11,236 9 111 — 2 4 12,321 10 110 — 3 9 12,100 合 计 1,130 0 132 127,822 根据表 10—5 资料计算得： X X X X X n X X n X X n X XX X n i i = = - = - = = = - = = - = - + å å å å å 1130 10 113 2 132 10 132 132 363 2 2 2 2 2 2 , ( ) ( ) ( ) . ( ) . . ( ) ( ) [ ( ) ] 厘米 方差为 标准差为 厘米 因为 s s = - + = - + = - å å å å X n X X n X X n X X X n X 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( )
所以方差和标准差的计算也常常运用以下两个公式: ∑x2「∑x G 当资料是分组数据时,方差和标准差的计算可采用加权形式,公式为 式中: ∑(X1-Ⅹ)2f f ∑(X,-X)f ∑ 式中:X代表各组组中值 f代表各组次数; X为加权算术平均数 (四)离散系数 上述的各种标志变异度指标,都是对总体中各单位标志值变异测定的绝 对量指标。在统计研究中,为了对不同的总体的标志变异度进行对比分析, 往往还需要有测定总体中各单位标志值变异的相对量指标,即离散系数,以 消除不同总体之间在计量单位、平均水平方面的不可比因素。 常用的离散系数主要有平均差系数(VAD)和标准差系数(。)两种。 其公式分别为: A D 100% 100%
所以方差和标准差的计算也常常运用以下两个公式： s s 2 2 2 2 2 = - é ë ê ê ù û ú ú = - é ë ê ê ù û ú ú å å å å X n X n X n X n 当资料是分组数据时，方差和标准差的计算可采用加权形式，公式为： 式中： s s 2 2 2 = - = - å å å å ( ) ( ) X X f f X X f f i i 式中：Xi 代表各组组中值； f 代表各组次数； X为加权算术平均数。 （四）离散系数 上述的各种标志变异度指标，都是对总体中各单位标志值变异测定的绝 对量指标。在统计研究中，为了对不同的总体的标志变异度进行对比分析， 往往还需要有测定总体中各单位标志值变异的相对量指标，即离散系数，以 消除不同总体之间在计量单位、平均水平方面的不可比因素。 常用的离散系数主要有平均差系数（VA.D.）和标准差系数（Vs）两种。 其公式分别为： V A D X V X A.D. . . = ´ = ´ 100% s 100% s
第四节随机变量与概率分布 随机变量 人们遇到的随机试验是多种多样的。试验结果可能是计数值,也可能是 计量值,还有一些是定性表示的。为了便于建立试验结果与概率的直接对应 关系,可用一个变量X表示试验结果(还可用Y,Z,…表示),由于试验 结果的出现是不肯定的,所以称X为随机变量。 例:从一批产品中随机抽取一件,有两种可能结果:正品或次品。结果 用一个变量X来表示。 1出现正品时 即为:X 0出现次品时 “X=1”表示试验结果出现正品事件,而“X=0”则表示试验结果出现 次品事件。由于X的取值是不定的,所以X是一个 随机变量 有些随机试验,其试验结果可定量表示,不需要再数量化。 例:商店的一柜台前,每分钟来的顾客数可能是0,1,2……,若用Y 代表每分钟到达柜台前的顾客数,则“Y=K”表示每分钟到达柜台前的顾客 数为K这一事件。由于Y取的值是不确定的,所以Y为随机变量 例:某产品的标准重量是500克,而实际重量一般是在500左右波动。 如果用z代表该产品的重量,则499≤Z≤501即可表示产品的重量在499 501克这一事件发生了,Z称为随机变量。 按取值情况,随机变量通常分为两种:离散型随机变量和连续型随机变 里 二、离散型随机变量的概率分布 (一)概率分布和概率分布图 要掌握随机变量X的统计分布规律,仅仅知道Ⅹ所有可能取得的值是不 够的,更重要的是要了解X取值的概率。用图形或公式来描述离散型随机变 量的所有可能值及其相应的概率,称作离散型随机变量的概率分布。若离散 型随机变量X的可能取值为了x,x,…x…,概率分别为p,p,…p…, 则可用概率分布表表示如下: XXX2AAXKAA PIp,P2AAPKAA 其中每个概率在0与1之间,所有概率之和为1,用数学形式表示就是: 0≤P(X=x)≤1 =1,2,…k 记F(x)=P(X<x)=∑p(x=x) 则称F(x)为随便机变量X的累积概率分布。 例:某公司聘用50名营业员,每人每天接待的新顾客数x是一个随机
第四节 随机变量与概率分布 一、随机变量 人们遇到的随机试验是多种多样的。试验结果可能是计数值，也可能是 计量值，还有一些是定性表示的。为了便于建立试验结果与概率的直接对应 关系，可用一个变量Ｘ表示试验结果（还可用 Y，Z，……表示），由于试验 结果的出现是不肯定的，所以称 X 为随机变量。 例：从一批产品中随机抽取一件，有两种可能结果：正品或次品。结果 用一个变量 X 来表示。 即为： X = ì í î 1 0 出现正品时 出现次品时 “X＝1”表示试验结果出现正品事件，而“X＝0”则表示试验结果出现 次品事件。由于 X 的取值是不定的，所以 X 是一个 随机变量。 有些随机试验，其试验结果可定量表示，不需要再数量化。 例：商店的一柜台前，每分钟来的顾客数可能是 0，1，2……，若用 Y 代表每分钟到达柜台前的顾客数，则“Y＝K”表示每分钟到达柜台前的顾客 数为 K 这一事件。由于 Y 取的值是不确定的，所以 Y 为随机变量。 例：某产品的标准重量是 500 克，而实际重量一般是在 500 左右波动。 如果用 Z 代表该产品的重量，则 499≤Z≤501 即可表示产品的重量在 499～ 501 克这一事件发生了，Z 称为随机变量。 按取值情况，随机变量通常分为两种：离散型随机变量和连续型随机变 量。 二、离散型随机变量的概率分布 （一）概率分布和概率分布图 要掌握随机变量 X 的统计分布规律，仅仅知道 X 所有可能取得的值是不 够的，更重要的是要了解 X 取值的概率。用图形或公式来描述离散型随机变 量的所有可能值及其相应的概率，称作离散型随机变量的概率分布。若离散 型随机变量 X 的可能取值为了 x1，x2，…xk…，概率分别为 p1，p2，…pk…， 则可用概率分布表表示如下： X P x x x p p p k k 1 2 1 2 L L L L L L L L 其中每个概率在 0 与 1 之间，所有概率之和为 1，用数学形式表示就是： O≤P（X＝xi）≤1 ΣP（X＝x2）＝1 i＝1，2，…k 记:F(x) P(X x) p(x x )i x x i = < = = < å 则称 F（x）为随便机变量 X 的累积概率分布。 例：某公司聘用 50 名营业员，每人每天接待的新顾客数 xi 是一个随机
变量,资料和计算结果如表 表10—6概率分布图 x:发生的频数 1/50 3/50 8/50 7 7 7/50 3/50 上表是概率分布表,表中的概率计算是把x,发生的频数与合计数50 相除而得到的。图10-4和图10-5的概率分布图和累计概率分布图则是根 据概率分布表画出的。根据随机变量的概率分布情况,可以看出其变化的规 律和现象的整体性质,并可用概率来描述,如在50名营业员中进行随机抽 样,抽到一个接待8位新顾客的营业员的概率是多少?由要概率分布表中查 得答案是5/50=0.1。 (二)数学期望和方差 数学期望和方差是描述随机变量概率分布的两个最重要的数字特征。 数学期望又称期望值或均值,代表随机变量分布的集中趋势用E(X)或 表示。离散型随机变量X的期望值就是随机变 图10-4概率分布图 图10-5累计概率分布图 量的取值用其出现概率进行加权的平均数,以公式表示为: E(X)=∑xP(X=x,)=μ 数学期望有以下几个重要性质: (1)设G是常数,则有E(C)=0 (2)设Ⅹ是一个随机变量,C是常数,则有E(CX)=CE(X)。 (3)设Ⅹ,Y是任意两个随机变量,则有E(X+Y)=E(X)+E(Y)。 这一性质可以推广到任意有限个随机变量之和的情况
变量，资料和计算结果如表 表 10—6 概率分布图 x i x i 发生的频数 P(X=x i ) 0 1 1/50 1 2 2/50 2 4 4/50 3 3 3/50 4 6 6/50 5 8 8/50 6 10 10/50 7 7 7/50 8 5 5/50 9 3 3/50 10 1 1/50 合计 50 1 上表是概率分布表，表中的概率计算是把 xi，发生的频数与合计数 50 相除而得到的。图 10—4 和图 10—5 的概率分布图和累计概率分布图则是根 据概率分布表画出的。根据随机变量的概率分布情况，可以看出其变化的规 律和现象的整体性质，并可用概率来描述，如在 50 名营业员中进行随机抽 样，抽到一个接待 8 位新顾客的营业员的概率是多少？由要概率分布表中查 得答案是 5/50＝0.1。 （二）数学期望和方差 数学期望和方差是描述随机变量概率分布的两个最重要的数字特征。 数学期望又称期望值或均值，代表随机变量分布的集中趋势用 E（X）或 μ表示。离散型随机变量 X 的期望值就是随机变 图 10—4 概率分布图 图 10—5 累计概率分布图 量的取值用其出现概率进行加权的平均数，以公式表示为： E X xiP X xi ( ) = å ( = ) = m 数学期望有以下几个重要性质： （1）设 C 是常数，则有 E（C）＝0 （2）设Ｘ是一个随机变量，C 是常数，则有 E（CX）＝CE（X）。 （3）设 X，Y 是任意两个随机变量，则有 E（X＋Y）＝E（X）＋E（Y）。 这一性质可以推广到任意有限个随机变量之和的情况
(4)设X,Y是两个相互独立的随机变量,则有E(XY)=E(X)E(Y) 这一性质也可以推广到任意有限个相互独立的随机变量之积的情况 随机变量的方差用未描述分布的高中趋势,常记作D(X)或σ,定义式 为 D(X)=E{[X-E(X)} 方差的平方根称为标准差或均方差,记作6,即 D(X) 由方差的定义式,对于离散型随机变量有 D(X)=H(X-u)2] ∑(x1-u)P(X=x) 在计算随机变量调的方差时,经常用到以下公式: D(X)=E(X2)-[E(X) 上式可利用数学期望的性质推得 D(X=EIIX-E(XI) =E{X2-2XE(X)+[E(X2} E(X2)-[E(X 方差主要有以下几个重要性质: (1)设C是常数,则D(C)=0 (2)设X是一个随机变量,C是常数,则有D(Cx)=C2D(X) (3)设X,Y是两个相互独立的随机变量,则有D(X±Y)=D(X)±D 上例中的资料,其数学期望和方差的计算如下 =∑xP(x=x)=0 2 7 5 3 +7×-+8 9×--+10×-=538 d2=2(x-pP(X=x)=(0-58550+(1-538×50 6 (2-538) 3-5382×+(4-538)2 +(5-538)+30(6-538)2××+(7-538)× +(8-5389×53+(9-5389×3+(10-5383×2 下面介绍几种常见的离散型随机变量的概率分布。 (三)二点分布 可能取值只有两个的随机变量所服从的分布称为两点分布,也叫(0~1)
（4）设 X，Y 是两个相互独立的随机变量，则有 E（XY）＝E（X）E（Y）。 这一性质也可以推广到任意有限个相互独立的随机变量之积的情况。 随机变量的方差用未描述分布的高中趋势，常记作 D（X）或s2，定义式 为： D(X) = E{[X - E(X)] } = 2 2 s 方差的平方根称为标准差或均方差，记作б，即： s = D(X) 由方差的定义式，对于离散型随机变量有： D X E X x P X x i i ( ) [( ) ] ( ) ( ) = - = å - = m m 2 2 在计算随机变量调的方差时，经常用到以下公式： D(X) = E(X ) - [E(X)] 2 2 上式可利用数学期望的性质推得： D X E{[X E X E{X XE X E X E X E X ( ) ( )] } ( ) [ ( )] } ( ) [ ( )] = - = - + = - 2 2 2 2 2 2 方差主要有以下几个重要性质： （1）设 C 是常数，则 D（C）＝0。 （2）设 X 是一个随机变量，C 是常数，则有 D（CX）＝C 2 D（X）。 （3）设 X，Y 是两个相互独立的随机变量，则有 D（X±Y）＝D（X）±D （Y） 上例中的资料，其数学期望和方差的计算如下： m s m = = = ´ + ´ + ´ + ´ + ´ + ´ + ´ + ´ + ´ + ´ + ´ = = - = = - ´ + - ´ + - ´ + - å å x P x x x P X x i i i i i 0 10 2 2 2 2 2 0 1 50 1 2 50 2 4 50 3 3 50 4 6 50 5 8 50 8 10 50 7 7 50 8 5 50 9 3 50 10 1 50 5 38 0 5 38 1 50 1 5 38 2 50 2 5 38 4 50 ( ) . ( ) ( ) ( . ) ( . ) ( . ) ( . ) ( . ) (5 . ) ( . ) ( . ) (8 . ) ( . ) ( . ) . 3 5 38 3 50 4 5 38 6 50 5 38 8 50 6 5 38 10 50 7 5 38 7 50 5 38 5 50 9 5 38 3 50 10 5 38 1 50 51956 2 2 2 2 2 2 2 2 - ´ + - ´ + - ´ + - ´ + - ´ + - ´ + - ´ + - ´ = 下面介绍几种常见的离散型随机变量的概率分布。 （三）二点分布 可能取值只有两个的随机变量所服从的分布称为两点分布，也叫（0～1）