§12-2多元函数的极值及其求法 ☐多元函数的极值和最值
§12-2 多元函数的极值及其求法 多元函数的极值和最值
0、问题的提出 引例1：某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子 每瓶进价1元，外地牌子每瓶进价1.2元，店主 估计，如果本地牌子的每瓶卖飞元，外地牌子 的每瓶卖y元，则每天可卖出70-5x+4y瓶 本地牌子的果汁，80+6x-7y瓶外地牌子的果 问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁 可取得最大收益？ 显然每天的收益为f(x,y)= (x-1)70-5x+4y)+(y-1.2)(80+6x-7y) 求最大收益即为求二元函数的最大值
引例1：某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子 每瓶进价1元，外地牌子每瓶进价1.2元，店主 估计，如果本地牌子的每瓶卖 元，外地牌子 的每瓶卖 元，则每天可卖出 瓶 本地牌子的果汁， 瓶外地牌子的果 汁问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁 可取得最大收益？ x y 70 − 5x + 4 y 80 + 6x − 7 y 显然每天的收益为 f (x, y) = (x − 1)(70 − 5x + 4 y) + ( y − 1.2)(80 + 6x − 7 y) 求最大收益即为求二元函数的最大值. 0、问题的提出
引例2：小王有200元钱，他决定用来购买两 种急需物品：计算机U盘和鼠标，设他购买x 个U盘，y个鼠标达到最佳效果，效果函数 为U(x,y)=nx+ny.设每个U盘8元，每 个鼠标10元，问他如何分配这200元以达到 最佳效果. 问题的实质：求U(x,y)=lnx+lny在条 件8x+10y=200下的极值点
引例2： 小王有200元钱，他决定用来购买两 种急需物品：计算机U盘和鼠标，设他购买 个U盘， 个鼠标达到最佳效果，效果函数 为 ．设每个U盘8元，每 个鼠标10元，问他如何分配这200元以达到 最佳效果． x y U(x, y) = ln x + ln y 问题的实质：求 在条 件 下的极值点． U(x, y) = ln x + ln y 8x + 10 y = 200
两个引例中都是求多元函数的最值！为了求最值， 先讨论与最值有密切联系的极值问题！ 从上面的两个引例中可以看到，与一元函数极值不 同，多元函数的极值分为两类： 无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外，并 无其他条件.如引例1。 条件极值：对自变量附加条件的极值问题称为条件 极值.如引例2。 思考：为什么一元函数的极值没有分类！
无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外，并 无其他条件. 条件极值：对自变量附加条件的极值问题称为条件 极值. 如引例1。 如引例2。 从上面的两个引例中可以看到，与一元函数极值不 同，多元函数的极值分为两类： 思考：为什么一元函数的极值没有分类！ 两个引例中都是求多元函数的最值！为了求最值， 先讨论与最值有密切联系的极值问题！
多元函数极值的定义 观察二元函数z=一 xy 的图形
观察二元函数 x2 y2 的图形 e xy z + = − 一、 多元函数极值的定义