第2章一元函数微分学 §2.1导数的概念 ·§2.2导数的运算法则与基本公式 §2.3高阶导数 ·§2.4微分及其计算 ·§2.5中值定理罗比塔法则 ·§2.6函数的单调性与极值 §2.7微分在经济中的应用 上页 返回
1 第2章 一元函数微分学 • §2.1 导数的概念 • §2.2 导数的运算法则与基本公式 • §2.3 高阶导数 • §2.4 微分及其计算 • §2.5 中值定理 罗比塔法则 • §2.6 函数的单调性与极值 • §2.7 微分在经济中的应用
§2.1导数概念 2.1.1导数概念的实例 y=f 切线问题 如图，如果割线MN绕点M旋 转而趋向极限位置T,直线 MT就称为曲线C在点M处的 X x 切线 极限位置即 MN→0，∠NMT→0. 设M(xo,yo),N(x,y) 割线MN的斜率为 tano= y-Yo_f(x)-f(xo) x-xo x-xo N 沿曲线C)M,X→Xo, 切线MT的斜率为 k=tan a=lim f(x)-f(xo) x→x0 返回
2 α ϕ T x0 o x x y y = f (x) C N 如图, 如果割线MN绕点M旋 M 转而趋向极限位置MT,直线 MT就称为曲线C在点M处的 切线. 极限位置即 MN → 0,∠NMT → 0. ( , ), ( , ). 0 0 设 M x y N x y 割线MN的斜率为 0 0 tan x x y y − − ϕ = , ( ) ( ) 0 0 x x f x f x − − = , , N M x x0 沿曲线 C → → 切线MT的斜率为 . ( ) ( ) tan lim 0 0 0 x x f x f x k x x − − = α = → 切线问题 §2.1 导数概念 2.1.1 导数概念的实例
2.1.2导数的定义 定义2.1 设函数y=f(x)在点x的某个邻域内 有定义，当自变量x在x,处取得增量△x(点 x,+△x仍在该邻域内时，相应地函数y取 得增量△y=f(x,+△x)-f(x);如果△y与 △x之比当△x→0时的极限存在则称函数 y=f(x)在点x处可导，并称这个极限为函 数y=f(x)在点x处的导数记为f'(xy-, 上贡 返回
3 2.1.2 导数的定义 ( ) , ( ), , ( ) , 0 , ( ) ( ); ) , , ( ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 x x y f x x f x y y f x x x x y f x x f x y x x y x x x y f x x = = ′ ′ = ∆ ∆ → ∆ = + ∆ − ∆ + ∆ ∆ = 数 在点 处的导数 记为 在点 处可导 并称这个极限为函 之比当 时的极限存在 则称函数 得增量 如果 与 仍在该邻域内时 相应地函数 取 有定义 当自变量 在 处取得增量 点 设函数 在点 的某个邻域内 定义2.1
或 (x) dx =x0) 即'x)= Ay=tim f(x+△r)-f(x) Ax-→0△x △x→0 △x 其它形式 f,)= f(xo+h)-f(xo) h f(xo)=lim f(x)-f(xo) x-→x0 x-xo (只须令x=x,+△x,则△x→0，x→x) 上页 页 返回
4 . ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 h f x h f x f x h + − ′ = → 其它形式 . ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 x x f x f x f x x x − − ′ = → x f x x f x x y f x x x ∆ + ∆ − = ∆ ∆ ′ = ∆ → ∆ → ( ) ( ) ( ) lim lim 0 0 0 0 0 , ( ) 0 0 x x x x dx df x dx dy = 或 = 即 ( , 0, ) 只须令x = x0 + ∆x 则∆x → x → x0
★对于任一x∈I,都对应着f(x)的一个确定的 导数值这个函数叫做原来函数f(x)的导函数 记作y,f'x,或（四 d dx 即y'=lim f(x+△x)-f(x) △x-→0 △x 或f'(x)=1ime+月-fx) h0 h 注：1.f'(x)=f'(x)- 2.导函数（瞬时变化率）是函数平均变化率 的逼近函数. 上页 返回
5 x f x x f x y x ∆ + ∆ − ′ = ∆ → ( ) ( ) lim 0 即 . ( ) ( ) ( ) lim 0 h f x h f x f x h + − ′ = → 或 注: 1. ( ) ( ) . 0 x x0 f x f x = ′ = ′ ★ 2.导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率 的逼近函数. . ( ) , ( ), . ( ) . , ( ) dx df x dx dy y f x f x x I f x 记作 或 导数值 这个函数叫做原来函数 的导函数 对于任一 都对应着 的一个确定的 ′ ′ ∈