序言 。什么是“代数”？ 用字母代替数一便于研究量之间的规律。 ·《线性代数》研究的内容 用字母代替数组、代替数组的组， 研究数组的运算、关系及其应用的一门学科。 例如 a11X1+412X2=b, 1= 1 412 b 021X1+022X2=b2 a21 21 4=(a1a2b) a11 =(a1a2b2） B.=
什么是“代数” ？ 用字母代替数 —— 便于研究量之间的规律。 《线性代数》研究的内容 + = + = . , 21 1 22 2 2 11 1 12 2 1 a x a x b a x a x b 用字母代替数组、 11 12 1 1 2 21 22 2 a ab a ab ββ β = = = ( ) ( ) 1 11 12 1 2 21 22 2 aab aab α α = = 研究数组的运算、关系及其应用的一门学科。 代替数组的组 ， 11 12 1 21 21 2 aab A aab = 例如 序 言
第一章彳 行列式 本章主要内容： n阶行列式定义（§1.1）、 性质（§1.2、§1.3)； 克莱姆法则： n元线性方程组与n阶行列式的关系（§1.4)
第一章 行列式 本章主要内容： n阶行列式 定义（§1.1）、 性质（§1.2、§1.3）； 克莱姆法则： n元线性方程组与n阶行列式的关系（§1.4）
§1.1n阶行列式 一、二阶、三阶行列式 1.二阶行列式 分析二元线性方程组的解 411火1+012X2=b1, 当 411022-412a21≠0 021X1+a22X2=b2: ba22-a12b2 对角线法则：主对角线上 X= 两元素乘积减去副对角线 411a22-412a21 上两元素乘积 411b2-ba21 X2= D= 记 =0411422-412a21 411a22-a12421 2 D1= b 2\ =b,a2-a2b2, b b, =ab2-b,a21 则当D≠0，H=月 D. 【注】分母都为原方 X2 程组的系数行列式
§1.1 n阶行列式 一、二阶、三阶行列式 1．二阶行列式 + = + = . , 21 1 22 2 2 11 1 12 2 1 a x a x b a x a x b 分析二元线性方程组的解 1 22 12 2 1 11 22 12 21 ba a b x aa aa − = − 11 2 1 21 2 11 22 12 21 a b ba x aa aa − = − 1 1 D x D = 2 2 D x D 则当 D ≠ 0 ， = 11 22 12 21 当 aa aa − ≠ 0 1 12 1 1 22 12 2 2 22 , b a D ba a b b a = = − 11 1 2 11 2 1 21 21 2 a b D a b ba a b = = − 记 11 12 21 22 a a D a a = 对角线法则:主对角线上 两元素乘积减去副对角线 上两元素乘积 11 22 12 21 = − aa aa 【注】分母都为原方 程组的系数行列式
2x1+3x2=8 例1利用行列式解二元线性方程组 x1-2x2=-3 2 【练习】设D= 3 1 问λ为何值时D=0,入为何值时D≠0？ 22元 解D= 31 =λ2-3元，元2-3元=0，则2=0，九=3 故(1)当九=0或2=3时，D=0, (2)当2≠0且入≠3时，D≠0
【练习】设 2 3 1 D λ λ = 问λ为何值时D＝0，λ为何值时D≠0？ 2 2 2 3 , 3 0, 0, 3. 3 1 (1) 0 3 , 0, (2) 0 3 , 0. D D D λ λ λ λλ λ λ λ λ λ λ λ = =− −= = = = = = ≠≠ ≠ 解 则 故 当 或 时 当 且 时 例1 利用行列式解二元线性方程组 1 2 1 2 23 8 2 3 x x x x + = − =−
2.三阶行列式 411X1+4122+413X3=b1, 三元线性方程组了 21X1+022X2+23X3=b2, 431x1+432X2+4333=b3; 11 12 413 C12 13 应 D= a21 d22 a23 D1= b2 a22 C23 a31 a32 a33 b3 32 33 C11 b1 a13 C11 a12 D2=a21 b2 a23 D3= a21 22 b2 a31 b3 33 a31 a32 b3 希望当D≠0 也有 ,X2=D ,X3= D 问题 三阶行列式如何计算，使上面结论成立？
2．三阶行列式 希望当 D ≠ 0 也有 D D x D D x D D x 3 3 2 2 1 1 = , = , = + + = + + = + + = ; , , 31 1 32 2 33 3 3 21 1 22 2 23 3 2 11 1 12 2 13 3 1 a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b 问题 三阶行列式如何计算，使上面结论成立？ 三元线性方程组 3 32 33 2 22 23 1 12 13 1 b a a b a a b a a 令 D = 31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a D = 31 32 3 21 22 2 11 12 1 3 31 3 33 21 2 23 11 1 13 2 a a b a a b a a b D a b a a b a a b a D = =