y(件)。70 若日销售量y是销售价x的一次函数,要获得最大销售利润,每件产品的销售价定为多少 元?此时每日销售利润是多少? 分析日销售利润=日销售量×每件产品的利润,因此主要是正确表示出这两个量 解由表可知x+y=200, 因此,所求的一次函数的关系式为y=-x+200 设每日销售利润为s元,则有 s=y(x-120)=-(x-160)2+1600 因为-x+200≥0,x-120≥0,所以120≤x≤200 所以,当每件产品的销售价定为160元时,销售利润最大,最大销售利润为1600元 回顾与反思解决实际问题时,应先分析问题中的数量关系,列出函数关系式,再研究所 得的函数,得出结果 例3.如图26.2.8,在Rt∠ABC中,∠C=90°,BC=4,AC=8,点D在斜边AB上, 分别作DE⊥AC,DF⊥BC,垂足分别为E、F,得四边形DECF,设DE=x,D千 (1)用含y的代数式表示AE A (2)求y与x之间的函数关系式,并求出x的取值范围; (3)设四边形DECF的面积为S,求S与x之间的函数关系,并求出 S的最大值 解(1)由题意可知,四边形DECF为矩形,因此 E AE=AC-DF=8-y DE AE (2)由DE∥BC,得 图26.2.8 所以,y=8-2x,x的取值范围是0<x<4 (3)S=xy=x(8-2x)=-2x2+8x=-2(x-2)2+8 所以,当ⅹ=2时,S有最大值8 当堂课内练习 对于二次函数y=x2-2x+m,当x 时,y有最小值 2.已知二次函数y=a(x-1)2+b有最小值-1,则a与b之间的大小关系是 A. a<b B. ab C. a>b D.不能确定 3.某商场销售一批衬衫,平均每天可售出20件,每件盈利40件,为了扩大销售,增加 盈利,尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施,经过市场调查发现,如果每件衬衫
21 y（件） 70 50 35 若日销售量 y 是销售价 x 的一次函数，要获得最大销售利润，每件产品的销售价定为多少 元？此时每日销售利润是多少？ 分析 日销售利润=日销售量×每件产品的利润，因此主要是正确表示出这两个量． 解 由表可知 x+y=200， 因此，所求的一次函数的关系式为 y = −x + 200 ． 设每日销售利润为 s 元，则有 ( 120) ( 160) 1600 2 s = y x − = − x − + ． 因为 − x + 200 0, x −120 0 ，所以 120 x 200 ． 所以，当每件产品的销售价定为 160 元时，销售利润最大，最大销售利润为 1600 元． 回顾与反思 解决实际问题时，应先分析问题中的数量关系，列出函数关系式，再研究所 得的函数，得出结果． 例 3．如图 26．2．8，在 Rt⊿ABC 中，∠C=90°，BC=4，AC=8，点 D 在斜边 AB 上， 分别作 DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为 E、F，得四边形 DECF，设 DE=x，DF=y． （1）用含 y 的代数式表示 AE； （2）求 y 与 x 之间的函数关系式，并求出 x 的取值范围； （3）设四边形 DECF 的面积为 S，求 S 与 x 之间的函数关系，并求出 S 的最大值． 解 （1）由题意可知，四边形 DECF 为矩形，因此 AE = AC − DF = 8 − y ． （2）由 DE ∥ BC ，得 AC AE BC DE = ，即 8 8 4 x − y = ， 所以， y = 8 − 2x ，x 的取值范围是 0 x 4． （3） (8 2 ) 2 8 2( 2) 8 2 2 S = x y = x − x = − x + x = − x − + ， 所以，当 x=2 时，S 有最大值 8． [当堂课内练习] 1．对于二次函数 y = x − 2x + m 2 ，当 x= 时，y 有最小值． 2．已知二次函数 y = a x − + b 2 ( 1) 有最小值 –1，则 a 与 b 之间的大小关系是 （ ） A．a＜b B．a=b C．a＞b D．不能确定 3．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 件，为了扩大销售，增加 盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经过市场调查发现，如果每件衬衫
每降价1元,商场平均每天可多售出2件 (1)若商场平均每天要盈利1200元,每件衬衫应降价多少元? (2)每件衬衫降价多少元时,商场平均每天盈利最多? 本课课外作业] 求下列函数的最大值或最小值 (1)y= (2)y=2x-2x+1 2.已知二次函数y=x2-6x+m的最小值为1,求m的值 3.心理学家发现,学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x(单位:分)之间满 足函数关系:y=-0.1x2+26x+43(0≤x≤30).y值越大,表示接受能力越强 (1)ⅹ在什么范围内,学生的接受能力逐步增强?x在什么范围内,学生的接受能力逐步 降低? (2)第10分时,学生的接受能力是多少? (3)第几分时,学生的接受能力最强? B组 4.不论自变量x取什么数,二次函数y=2x2-6x+m的函数值总是正值,求m的取值 5.如图,有长为24m的篱笆,一面利用墙(墙的最大可用长度a为10m),围成中间隔 有一道篱笆的长方形花圃.设花圃的宽AB为xm,面积为 (1)求S与x的函数关系式 (2)如果要围成面积为45m2的花圃,AB的长是多少米? (3)能围成面积比45m2更大的花圃吗?如果能,请求出 最大面积,并说明围法:如果不能,请说明理由 6.如图,矩形ABCD中,AB=3,BC=4,线段EF在对角线AC 上,EG⊥AD,FH⊥BC,垂足分别是G、H,且EG+FH=EF (1)求线段EF的长 (2)设EG=x,∠AGE与∠CFH的面积和为S, 出S关于x的函数关系式及自变量ⅹ的取值范围 并求出S的最小值 本课学习体会 26.2二次函数的图象与性质(7) 本课知识要点
22 每降价 1 元，商场平均每天可多售出 2 件． （1）若商场平均每天要盈利 1200 元，每件衬衫应降价多少元？ （2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？ [本课课外作业] A 组 1．求下列函数的最大值或最小值． （1） y x 2x 2 = − − ； （2） 2 2 1 2 y = x − x + ． 2．已知二次函数 y = x − 6x + m 2 的最小值为 1，求 m 的值．， 3．心理学家发现，学生对概念的接受能力 y 与提出概念所用的时间 x（单位：分）之间满 足函数关系： 0.1 2.6 43(0 30) 2 y = − x + x + x ．y 值越大，表示接受能力越强． （1）x 在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x 在什么范围内，学生的接受能力逐步 降低？ （2）第 10 分时，学生的接受能力是多少？ （3）第几分时，学生的接受能力最强？ B 组 4．不论自变量 x 取什么数，二次函数 y = 2x − 6x + m 2 的函数值总是正值，求 m 的取值 范围． 5．如图，有长为 24m 的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度 a 为 10m），围成中间隔 有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽 AB 为 x m，面积为 S m2． （1）求 S 与 x 的函数关系式； （2）如果要围成面积为 45 m2 的花圃，AB 的长是多少米？ （3）能围成面积比 45 m2 更大的花圃吗？如果能，请求出 最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由． 6．如图，矩形 ABCD 中，AB=3，BC=4，线段 EF 在对角线 AC 上，EG⊥AD，FH⊥BC，垂足分别是 G、H，且 EG+FH=EF． （1）求线段 EF 的长； （2）设 EG=x，⊿AGE 与⊿CFH 的面积和为 S， 写出 S 关于 x 的函数关系式及自变量 x 的取值范围， 并求出 S 的最小值． [本课学习体会] 26 . 2 二次函数的图象与性质（7） [本课知识要点]
会根据不同的条件,利用待定系数法求二次函数的函数关系式 AM及创新思维 般地,函数关系式中有几个独立的系数,那么就需要有相同个数的独立条件才能求 出函数关系式.例如:我们在确定一次函数y=kx+b(k≠0)的关系式时,通常需要两个 独立的条件:确定反比例函数y=-(k≠0)的关系式时,通常只需要一个条件:如果要确 定二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的关系式,又需要几个条件呢? 「实践与探索 例1.某涵洞是抛物线形,它的截面如图26.2.9所示,现测得水 面宽1.6m,涵洞顶点O到水面的距离为2.4m,在图中直角坐标 系内,涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么? 分析如图,以AB的垂直平分线为y轴,以过点O的y轴的垂线 为ⅹ轴,建立了直角坐标系.这时,涵洞所在的抛物线的顶点在原 点,对称轴是y轴,开口向下,所以可设它的函数关系式是 y=ax2(a<0).此时只需抛物线上的一个点就能求出抛物线的函 图26.2.9 数关系式 解由题意,得点B的坐标为(0.8,-2.4), 又因为点B在抛物线上,将它的坐标代入y=ax2(a<0),得 8 所以 因此,函数关系式是y 例2.根据下列条件,分别求出对应的二次函数的关系式 (1)已知二次函数的图象经过点A(0,-1)、B(1,0)、C(-1,2) (2)已知抛物线的顶点为(1,-3),且与y轴交于点(0,1) (3)已知抛物线与x轴交于点M(-3,0)、(5,0),且与y轴交于点(0,-3) (4)已知抛物线的顶点为(3,-2),且与ⅹ轴两交点间的距离为4 分析(1)根据二次函数的图象经过三个已知点,可设函数关系式为y=ax2+bx+c的 形式:(2)根据已知抛物线的顶点坐标,可设函数关系式为y=a(x-1)2-3,再根据抛 物线与y轴的交点可求出a的值;(3)根据抛物线与x轴的两个交点的坐标,可设函数
23 会根据不同的条件，利用待定系数法求二次函数的函数关系式． [MM 及创新思维] 一般地，函数关系式中有几个独立的系数，那么就需要有相同个数的独立条件才能求 出函数关系式．例如：我们在确定一次函数 y = kx + b(k 0) 的关系式时，通常需要两个 独立的条件：确定反比例函数 = (k 0) x k y 的关系式时，通常只需要一个条件：如果要确 定二次函数 ( 0) 2 y = ax + bx + c a 的关系式，又需要几个条件呢？ [实践与探索] 例 1．某涵洞是抛物线形，它的截面如图 26．2．9 所示，现测得水 面宽 1．6m，涵洞顶点 O 到水面的距离为 2．4m，在图中直角坐标 系内，涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么？ 分析 如图，以 AB 的垂直平分线为 y 轴，以过点 O 的 y 轴的垂线 为 x 轴，建立了直角坐标系．这时，涵洞所在的抛物线的顶点在原 点，对称轴是 y 轴，开口向下，所以可设它的函数关系式是 ( 0) 2 y = ax a ．此时只需抛物线上的一个点就能求出抛物线的函 数关系式． 解 由题意，得点 B 的坐标为（0．8，-2．4）， 又因为点 B 在抛物线上，将它的坐标代入 ( 0) 2 y = ax a ，得 2 − 2.4 = a 0.8 所以 4 15 a = − ． 因此，函数关系式是 2 4 15 y = − x ． 例 2．根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式． （1）已知二次函数的图象经过点 A（0，-1）、B（1，0）、C（-1，2）； （2）已知抛物线的顶点为（1，-3），且与 y 轴交于点（0，1）； （3）已知抛物线与 x 轴交于点 M（-3，0）、（5，0），且与 y 轴交于点（0，-3）； （4）已知抛物线的顶点为（3，-2），且与 x 轴两交点间的距离为 4． 分析 （1）根据二次函数的图象经过三个已知点，可设函数关系式为 y = ax + bx + c 2 的 形式；（2）根据已知抛物线的顶点坐标，可设函数关系式为 ( 1) 3 2 y = a x − − ，再根据抛 物线与 y 轴的交点可求出 a 的值；（3）根据抛物线与 x 轴的两个交点的坐标，可设函数
关系式为y=a(x+3)(x-5),再根据抛物线与y轴的交点可求出a的值;(4)根据已知 抛物线的顶点坐标(3,-2),可设函数关系式为y=a(x-3)2-2,同时可知抛物线的对 称轴为x=3,再由与x轴两交点间的距离为4,可得抛物线与x轴的两个交点为(1,0) 和(5,0),任选一个代入y=a(x-3)2-2,即可求出a的值 解(1)设二次函数关系式为y=ax2+bx+c,由已知,这个函数的图象过(0,-1) 可以得到c=-1.又由于其图象过点(1,0)、(-1,2)两点,可以得到 a+b=1 a-b=3 解这个方程组,得 所以,所求二次函数的关系式是y=2x2-2x-1 (2)因为抛物线的顶点为(1,-3),所以设二此函数的关系式为y=a(x-1)2-3 又由于抛物线与y轴交于点(0,1),可以得到 1=a(0-1)-3 解得a=4 所以,所求二次函数的关系式是y=4(x-1)2-3=4x2-8x+1 (3)因为抛物线与x轴交于点M(-3,0)、(5,0) 所以设二此函数的关系式为y=a(x+3x-5) 又由于抛物线与y轴交于点(0,3),可以得到 3=a(0+3)0-5) 解得a= 所以,所求二次函数的关系式是y=(x+3x-5)=2x (4)根据前面的分析,本题已转化为与(2)相同的题型,请同学们自己完成 回顾与反思确定二此函数的关系式的一般方法是待定系数法,在选择把二次函数的关系 式设成什么形式时,可根据题目中的条件灵活选择,以简单为原则.二次函数的关系式可 设如下三种形式:
24 关系式为 y = a(x + 3)(x − 5) ，再根据抛物线与 y 轴的交点可求出 a 的值；（4）根据已知 抛物线的顶点坐标（3，-2），可设函数关系式为 ( 3) 2 2 y = a x − − ，同时可知抛物线的对 称轴为 x=3，再由与 x 轴两交点间的距离为 4，可得抛物线与 x 轴的两个交点为（1，0） 和（5，0），任选一个代入 ( 3) 2 2 y = a x − − ，即可求出 a 的值． 解 （1）设二次函数关系式为 y = ax + bx + c 2 ，由已知，这个函数的图象过（0，-1）， 可以得到 c= -1．又由于其图象过点（1，0）、（-1，2）两点，可以得到 − = + = 3 1 a b a b 解这个方程组，得 a=2，b= -1． 所以，所求二次函数的关系式是 2 2 1 2 y = x − x − ． （2）因为抛物线的顶点为（1，-3），所以设二此函数的关系式为 ( 1) 3 2 y = a x − − ， 又由于抛物线与 y 轴交于点（0，1），可以得到 1 (0 1) 3 2 = a − − 解得 a = 4． 所以，所求二次函数的关系式是 4( 1) 3 4 8 1 2 2 y = x − − = x − x + ． （3）因为抛物线与 x 轴交于点 M（-3，0）、（5，0）， 所以设二此函数的关系式为 y = a(x + 3)(x − 5)． 又由于抛物线与 y 轴交于点（0，3），可以得到 − 3 = a(0 + 3)(0 − 5) ． 解得 5 1 a = ． 所以，所求二次函数的关系式是 3 5 2 5 1 ( 3)( 5) 5 1 2 y = x + x − = x − x − ． （4）根据前面的分析，本题已转化为与（2）相同的题型，请同学们自己完成． 回顾与反思 确定二此函数的关系式的一般方法是待定系数法，在选择把二次函数的关系 式设成什么形式时，可根据题目中的条件灵活选择，以简单为原则．二次函数的关系式可 设如下三种形式：
(1)一般式:y=ax2+bx+c(a≠0),给出三点坐标可利用此式来求 (2)顶点式:y=a(x-h)2+k(a≠0),给出两点,且其中一点为顶点时可利用此式来 (3)交点式:y=a(x-x1X(x-x2)(a≠0),给出三点,其中两点为与x轴的两个交点 (x1,0)、(x2,0)时可利用此式来求 当堂课内练习 根据下列条件,分别求出对应的二次函数的关系式 (1)已知二次函数的图象经过点(0,2)、(1,1)、(3,5) (2)已知抛物线的顶点为(-1,2),且过点(2,1) (3)已知抛物线与x轴交于点M(-1,0)、(2,0),且经过点(1,2) 2.二次函数图象的对称轴是x=-1,与y轴交点的纵坐标是-6,且经过点(2,10),求 此二次函数的关系式 本课课外作业 组 已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A(-1,12)、B(2,-3) (1)求该二次函数的关系式 (2)用配方法把(1)所得的函数关系式化成y=a(x-h)2+k的形式,并求出该抛物线 的顶点坐标和对称轴 已知二次函数的图象与一次函数y=4x-8的图象有两个公 共点P(2,m)、Q(n,-8),如果抛物线的对称轴是ⅹ=-1 C 求该二次函数的关系式 3.某工厂大门是一抛物线型水泥建筑物,如图所示,大门地面 宽AB=4m,顶部C离地面高度为4.4m.现有一辆满载货物的 B 汽车欲通过大门,货物顶部距地面2.8m,装货宽度为2.4m.请 判断这辆汽车能否顺利通过大门 4.已知二次函数y=ax2+bx+c,当x=3时,函数取得最大值10,且它的图象在x轴 上截得的弦长为4,试求二次函数的关系式 B组 5.已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过(1,0)与(2,5)两点 (1)求这个二次函数的解析式;
25 （1）一般式： ( 0) 2 y = ax + bx + c a ，给出三点坐标可利用此式来求． （2）顶点式： ( ) ( 0) 2 y = a x − h + k a ，给出两点，且其中一点为顶点时可利用此式来 求． （3）交点式： ( )( )( 0) y = a x − x1 x − x2 a ，给出三点，其中两点为与 x 轴的两个交点 ( ,0) 1 x 、 ( ,0) 2 x 时可利用此式来求． [当堂课内练习] 1．根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式． （1）已知二次函数的图象经过点（0，2）、（1，1）、（3，5）； （2）已知抛物线的顶点为（-1，2），且过点（2，1）； （3）已知抛物线与 x 轴交于点 M（-1，0）、（2，0），且经过点（1，2）． 2．二次函数图象的对称轴是 x= -1，与 y 轴交点的纵坐标是 –6，且经过点（2，10），求 此二次函数的关系式． [本课课外作业] A 组 1．已知二次函数 y = x + bx + c 2 的图象经过点 A（-1，12）、B（2，-3）， （1）求该二次函数的关系式； （2）用配方法把（1）所得的函数关系式化成 y = a x − h + k 2 ( ) 的形式，并求出该抛物线 的顶点坐标和对称轴． 2．已知二次函数的图象与一次函数 y = 4x − 8 的图象有两个公 共点 P（2，m）、Q（n，-8），如果抛物线的对称轴是 x= -1， 求该二次函数的关系式． 3．某工厂大门是一抛物线型水泥建筑物，如图所示，大门地面 宽 AB=4m，顶部 C 离地面高度为 4．4m．现有一辆满载货物的 汽车欲通过大门，货物顶部距地面 2．8m，装货宽度为 2．4m．请 判断这辆汽车能否顺利通过大门． 4．已知二次函数 y = ax + bx + c 2 ，当 x=3 时，函数取得最大值 10，且它的图象在 x 轴 上截得的弦长为 4，试求二次函数的关系式． B 组 5．已知二次函数 y = x + bx + c 2 的图象经过（1，0）与（2，5）两点． (1)求这个二次函数的解析式；