(2)请你换掉题中的部分已知条件,重新设计一个求二次函数y=x2+bx+c解析式的题 ,使所求得的二次函数与(1)的相同 6.抛物线y=x2+2mx+n过点(2,4),且其顶点在直线y=2x+1上,求此二次函 数的关系式 本课学习体会 26.3实践与探索(1) 本课知识要点 会结合二次函数的图象分析问题、解决问题,在运用中体会二次函数的实际意义 MM及创新思维 生活中,我们常会遇到与二次函数及其图象有关的问题,比如在2004雅典奥运会的 赛场上,很多项目,如跳水、铅球、篮球、足球、排球等都与二次函数及其图象息息相关.你 知道二次函数在生活中的其它方面的运用吗? 实践与探索 例1.如图26.3.1,一位运动员推铅球,铅 球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的 关系是y=-12 +2x+5,问此运动员把 铅球推出多远? 解如图,铅球落在ⅹ轴上,则y=0, x2+=二x+==0 解方程,得x1=10,x2=-2(不合题意,舍去) 所以,此运动员把铅球推出了10米 探索此题根据已知条件求出了运动员把铅球推出的实际距离,如果创设另外一个问题情 境:一个运动员推铅球,铅球刚出手时离地面m,铅球落地点距铅球刚出手时相应的地 面上的点10m,铅球运行中最高点离地面3m,已知铅球走过的路线是抛物线,求它的函 数关系式.你能解决吗?试一试 例2.如图26.3.2,公园要建造圆形的喷水池,在水池中央垂直于水面处安装一个柱子 OA,水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下,为使水流形状较为漂亮,要求设计 成水流在离OA距离为1m处达到距水面最大高度2.25m (1)若不计其他因素,那么水池的半径至少要多少米,才能 使喷出的水流不致落到池外? (2)若水流喷出的抛物线形状与(1)相同,水池的半径为 图26.3.2
26 (2)请你换掉题中的部分已知条件，重新设计一个求二次函数 y = x + bx + c 2 解析式的题 目，使所求得的二次函数与（1）的相同． 6．抛物线 y = x + 2mx + n 2 过点（2，4），且其顶点在直线 y = 2x +1 上，求此二次函 数的关系式． [本课学习体会] 26 . 3 实践与探索（1） [本课知识要点] 会结合二次函数的图象分析问题、解决问题，在运用中体会二次函数的实际意义． [MM 及创新思维] 生活中，我们常会遇到与二次函数及其图象有关的问题，比如在 2004 雅典奥运会的 赛场上，很多项目，如跳水、铅球、篮球、足球、排球等都与二次函数及其图象息息相关．你 知道二次函数在生活中的其它方面的运用吗？ [实践与探索] 例 1．如图 26．3．1，一位运动员推铅球，铅 球行进高度 y（m）与水平距离 x（m）之间的 关系是 3 5 3 2 12 1 2 y = − x + x + ，问此运动员把 铅球推出多远？ 解 如图，铅球落在 x 轴上，则 y=0， 因此， 0 3 5 3 2 12 1 2 − x + x + = ． 解方程，得 x1 =10, x2 = −2 （不合题意，舍去）． 所以，此运动员把铅球推出了 10 米． 探索 此题根据已知条件求出了运动员把铅球推出的实际距离，如果创设另外一个问题情 境：一个运动员推铅球，铅球刚出手时离地面 3 5 m，铅球落地点距铅球刚出手时相应的地 面上的点 10m，铅球运行中最高点离地面 3m，已知铅球走过的路线是抛物线，求它的函 数关系式．你能解决吗？试一试． 例 2．如图 26．3．2，公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子 OA，水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计 成水流在离 OA 距离为 1m 处达到距水面最大高度 2．25m． （1）若不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能 使喷出的水流不致落到池外？ （2）若水流喷出的抛物线形状与（1）相同，水池的半径为
3.5m,要使水流不落到池外,此时水流最大高度应达多少米?(精确到0.1m) 分析这是一个运用抛物线的有关知识解决实际问题的应用 题,首先必须将水流抛物线放在直角坐标系中,如图26.3.3, 我们可以求出抛物线的函数关系式,再利用抛物线的性质即可 解决问题 解(1)以O为原点,OA为y轴建立坐标系.设抛物线顶点 为B,水流落水与ⅹ轴交点为C(如图26.3.3) 由题意得,A(0,1.25),B(1,2.25), 图26.3.3 因此,设抛物线为y=a(x-1)2+225 将A(0,1.25)代入上式,得125=a(0-1)2+225 解得 所以,抛物线的函数关系式为y=-(x-1)2+225 当y=0时,解得x=0.5(不合题意,舍去),x=2.5, 所以C(2.5,0),即水池的半径至少要2.5m (2)由于喷出的抛物线形状与(1)相同,可设此抛物线为y=-(x-h)2+k 抛物线过点(0,1.25)和(3.5,0),可求得h=-1.6,k=3.7 所以,水流最大高度应达3.7m 当堂课内练习 1.在排球赛中,一队员站在边线发球,发球方向与边线垂直,球开始飞行时距地面1.9 米,当球飞行距离为9米时达最大高度5.5米,已知球场长18米,问这样发球是否会直 接把球打出边线? 2.在一场篮球赛中,队员甲跳起投篮,当球出手时离地高2.5米,与球圈中心的水平距 离为7米,当球出手水平距离为4米时到达最大高度4米.设篮球运行轨迹为抛物线,球 圈距地面3米,问此球是否投中? 本课课外作业 A组 1.在一场足球赛中,一球员从球门正前方10米处将球踢起射向球门,当球飞行的水平距 离是6米时,球到达最高点,此时球高3米,已知球门高2.44米,问能否射中球门 2.某公司推出了一种高效环保型洗涤用品,年初上市后 s(万元) 公司经历了从亏损到赢利的过程 下面的二次函数图象(部分)刻画了该公司年初以来累 积利润s(万元)与销售时间t(月)之间的关系(即前 t个月的利润总和s与t之间的关系) 根据图象提供的信息,解答下列问题 (1)由已知图象上的三点坐标,求累积利润s(万元) t(月)
27 3．5m，要使水流不落到池外，此时水流最大高度应达多少米？（精确到 0．1m） 分析 这是一个运用抛物线的有关知识解决实际问题的应用 题，首先必须将水流抛物线放在直角坐标系中，如图 26．3．3， 我们可以求出抛物线的函数关系式，再利用抛物线的性质即可 解决问题． 解 （1）以 O 为原点，OA 为 y 轴建立坐标系．设抛物线顶点 为 B，水流落水与 x 轴交点为 C（如图 26．3．3）． 由题意得，A（0，1．25），B（1，2．25）， 因此，设抛物线为 ( 1) 2.25 2 y = a x − + ． 将 A（0，1．25）代入上式，得 1.25 (0 1) 2.25 2 = a − + ， 解得 a = −1 所以，抛物线的函数关系式为 ( 1) 2.25 2 y = − x − + ． 当 y=0 时，解得 x=-0．5（不合题意，舍去），x=2．5， 所以 C（2．5，0），即水池的半径至少要 2．5m． （2）由于喷出的抛物线形状与（1）相同，可设此抛物线为 y = − x − h + k 2 ( ) ． 由抛物线过点（0，1．25）和（3．5，0），可求得 h= -1．6，k=3．7． 所以，水流最大高度应达 3．7m． [当堂课内练习] 1．在排球赛中，一队员站在边线发球，发球方向与边线垂直，球开始飞行时距地面 1．9 米，当球飞行距离为 9 米时达最大高度 5．5 米，已知球场长 18 米，问这样发球是否会直 接把球打出边线？ 2．在一场篮球赛中，队员甲跳起投篮，当球出手时离地高 2．5 米，与球圈中心的水平距 离为 7 米，当球出手水平距离为 4 米时到达最大高度 4 米．设篮球运行轨迹为抛物线，球 圈距地面 3 米，问此球是否投中？ [本课课外作业] A 组 1．在一场足球赛中，一球员从球门正前方 10 米处将球踢起射向球门，当球飞行的水平距 离是 6 米时，球到达最高点，此时球高 3 米，已知球门高 2．44 米，问能否射中球门？ 2．某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后， 公司经历了从亏损到赢利的过程． 下面的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累 积利润 s（万元）与销售时间 t（月）之间的关系（即前 t 个月的利润总和 s 与 t 之间的关系）． 根据图象提供的信息，解答下列问题： （1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润 s（万元）
与时间t(月)之间的函数关系式 (2)求截止到几月末公司累积利润可达到30万元 (3)求第8个月公司所获利润是多少万元? 3.如图,一位运动员在距篮下4m处跳起投篮,球运行的路 线是抛物线,当球运行的水平距离为2.5m时,达到最大高 度3.5m,然后准确落入篮圈,已知篮圈中心到地面的距离为 1)建立如图所示的直角坐标系,求抛物线的函数关系式 (2)该运动员身高1.8m,在这次跳投中,球在头顶上方 0.25m处出手,问:球出手时,他跳离地面的高度是多少? 23m B组 4.某公司草坪的护栏是由50段形状相同的抛物线组成的,为牢固起见,每段护栏需按间 距0.4m加设不锈钢管(如图a)做成的立柱,为了计算所需不锈钢管立柱的总长度,设 计人员利用图b所示的坐标系进行计算 (1)求该抛物线的函数关系式 (2)计算所需不锈钢管立柱的总长度 A C, C2 C3 Ca c 某跳水运动员在进行10m跳台跳水训练时,身体(看成一点)在空中的运动路线是如 图所示的一条抛物线.在跳某个规定动作时,正常情况 下,该运动员在空中的最高处距水面O2x水处距 池边的距离为4m,同时运动员在距水面高度5m以前 必须完成规定的翻腾动作,并调整好入水姿势时,否则 10m台 就会出现失误 (1)求这条抛物线的函数关系式 (2)在某次试跳中,测得运动员在空中的运动路线是(1) 中的抛物线,且运动员在空中调整好入水姿势时,距池 边的水平距离为3m,问此次跳水会不会失误?并通过 计算说明理由 本课学习体会
28 与时间 t（月）之间的函数关系式； （2）求截止到几月末公司累积利润可达到 30 万元； （3）求第 8 个月公司所获利润是多少万元？ 3．如图，一位运动员在距篮下 4m 处跳起投篮，球运行的路 线是抛物线，当球运行的水平距离为 2．5m 时，达到最大高 度 3．5m，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为 3．05m． （1）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的函数关系式； （2）该运动员身高 1．8m，在这次跳投中，球在头顶上方 0．25m 处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？ B 组 4．某公司草坪的护栏是由 50 段形状相同的抛物线组成的，为牢固起见，每段护栏需按间 距 0．4m 加设不锈钢管（如图 a）做成的立柱，为了计算所需不锈钢管立柱的总长度，设 计人员利用图 b 所示的坐标系进行计算． （1）求该抛物线的函数关系式； （2）计算所需不锈钢管立柱的总长度． 5．某跳水运动员在进行 10m 跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如 图所示的一条抛物线．在跳某个规定动作时，正常情况 下，该运动员在空中的最高处距水面 3 2 10 m，入水处距 池边的距离为 4m，同时运动员在距水面高度 5m 以前， 必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势时，否则 就会出现失误． （1）求这条抛物线的函数关系式； （2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（1） 中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池 边的水平距离为 5 3 3 m，问此次跳水会不会失误？并通过 计算说明理由． [本课学习体会]
26.3实践与探索(2) 本课知识要点 学生进一步体验把实际问题转化为有关二次函数知识的过程 MM及创新思维l 二次函数的有关知识在经济生活中的应用更为广阔,我们来看这样一个生活中常见的 问题:某广告公司设计一幅周长为12米的矩形广告牌,广告设计费为每平方米1000元, 设矩形一边长为x米,面积为S平方米.请你设计一个方案,使获得的设计费最多,并求 出这个费用.你能解决它吗?类似的问题,我们都可以通过建立二次函数的数学模型来解 实践与探索 例1.某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000千克,购进价格为每千克30元 物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元,也不得低于30元。市场调查发现:单价 定为70元时,日均销售60千克:单价每降低1元,日均多售出2千克。在销售过程中, 每天还要支出其他费用500元(天数不足一天时,按整天计算)。设销售单价为x元,日 均获利为y元 (1)求y关于x的二次函数关系式,并注明x的取值范围 (2)将(1)中所求出的二次函数配方成y=a(x+b)y2+4ac=b的形式,写出顶点 4 坐标;在直角坐标系画出草图:观察图象,指出单价定为多少元时日均获利最多,是多少? 分析若销售单价为x元,则每千克降低(70-x)元,日均多售出2(70-x)千克,日均 销售量为[60+2(70-x)]千克,每千克获利为(x-30)元,从而可列出函数关系式 解(1)根据题意,得 y=(x-30[60+2(70-x)-500 =-2x2+260x-6500(30≤x≤70) (2)y=-2x2+260x-6500=-2(x-65)2+1950 顶点坐标为(65,1950)。二次函数草图略。 经观察可知,当单价定为65元时,日均获利最多,是1950元 例2。某公司生产的某种产品,它的成本是2元,售价是3元,年销售量为100万件.为 了获得更好的效益,公司准备拿出一定的资金做广告.根据经验,每年投入的广告费是x (十万元)时,产品的年销售量将是原销售量的y倍,且y是x的二次函数,它们的关系 如下表 X(十万元) 1.8
29 26 . 3 实践与探索（2） [本课知识要点] 让学生进一步体验把实际问题转化为有关二次函数知识的过程． [MM 及创新思维] 二次函数的有关知识在经济生活中的应用更为广阔，我们来看这样一个生活中常见的 问题：某广告公司设计一幅周长为 12 米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米 1000 元， 设矩形一边长为 x 米，面积为 S 平方米．请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求 出这个费用．你能解决它吗？类似的问题，我们都可以通过建立二次函数的数学模型来解 决． [实践与探索] 例 1．某化工材料经销公司购进了一种化工原料共 7000 千克，购进价格为每千克 30 元。 物价部门规定其销售单价不得高于每千克 70 元，也不得低于 30 元。市场调查发现：单价 定为 70 元时，日均销售 60 千克；单价每降低 1 元，日均多售出 2 千克。在销售过程中， 每天还要支出其他费用 500 元（天数不足一天时，按整天计算）。设销售单价为 x 元，日 均获利为 y 元。 （1）求 y 关于 x 的二次函数关系式，并注明 x 的取值范围； （2）将（1）中所求出的二次函数配方成 a ac b a b y a x 4 4 ) 2 ( 2 2 − = + + 的形式，写出顶点 坐标；在直角坐标系画出草图；观察图象，指出单价定为多少元时日均获利最多，是多少？ 分析 若销售单价为 x 元，则每千克降低（70-x）元，日均多售出 2（70-x）千克，日均 销售量为[60+2（70-x）]千克，每千克获利为（x-30）元，从而可列出函数关系式。 解 （1）根据题意，得 y = (x − 30)[60 + 2(70 − x)] − 500 2 260 6500 2 = − x + x − (30≤x≤70)。 （2） y 2 260 6500 2 = − x + x − 2( 65) 1950 2 = − x − + 。 顶点坐标为（65，1950）。二次函数草图略。 经观察可知，当单价定为 65 元时，日均获利最多，是 1950 元。 例 2。某公司生产的某种产品，它的成本是 2 元，售价是 3 元，年销售量为 100 万件．为 了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告．根据经验，每年投入的广告费是 x （十万元）时，产品的年销售量将是原销售量的 y 倍，且 y 是 x 的二次函数，它们的关系 如下表： X（十万元） 0 1 2 … y 1 1．5 1．8 …
(1)求y与x的函数关系式; (2)如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费,试写出年利润S(十万元)与广告 费x(十万元)的函数关系式; (3)如果投入的年广告费为10~30万元,问广告费在什么范围内,公司获得的年利润随 广告费的增大而增大? 解(1)设二次函数关系式为y=ax2+bx+c 由表中数据,得{a+b+c=15 4a+2b+c=1.8 解得{b 所以所求二次函数关系式x2+2x+1。 (2)根据题意,得S=10y-(3-2)x=-x2+5x+10 (3)S=-x2+5x+10=-(x 5、2,65 由于1≤x≤3,所以当1≤x≤2。5时,S随x的增大而增大 当堂课内练习 将进货单价为70元的某种商品按零售价100元一个售出时,每天能卖出20个,若这 种商品的零售价在一定范围内每降价1元,其日销售量就增加1个,为了获得最大利润 则 降 A、5元 B、10元 C、15元 D、20元 2.某公司生产某种产品,每件产品成本是3元,售价是4元,年销售量为10万件,为了 获得更好的效益,公司准备拿出一定的资金做广告.根据经验,每年投入的广告费是ⅹ(万 元)时,产品的年销售量将是原销售量的y倍,且y=-10+10x+10,如果把利润看 作是销售总额减去成本费和广告费,试写出年利润S(万元)与广告费ⅹ(万元)的函数 关系式,并计算广告费是多少万元时,公司获得的年利润最大,最大年利润是是多少万元? 本课课外作业
30 （1）求 y 与 x 的函数关系式； （2）如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润 S（十万元）与广告 费 x（十万元）的函数关系式； （3）如果投入的年广告费为 10～30 万元，问广告费在什么范围内，公司获得的年利润随 广告费的增大而增大？ 解 （1）设二次函数关系式为 y = ax + bx + c 2 。 由表中数据，得 + + = + + = = 4 2 1.8 1.5 1 a b c a b c c 。 解得 = = = − 1 5 3 10 1 c b a 。 所以所求二次函数关系式为 1 5 3 10 1 2 y = − x + x + 。 （2）根据题意，得 10 (3 2) 5 10 2 S = y − − x = −x + x + 。 （3） 4 65 ) 2 5 5 10 ( 2 2 S = −x + x + = − x − + 。 由于 1≤x≤3，所以当 1≤x≤2。5 时，S 随 x 的增大而增大。． [当堂课内练习] 1．将进货单价为 70 元的某种商品按零售价 100 元一个售出时，每天能卖出 20 个，若这 种商品的零售价在一定范围内每降价 1 元，其日销售量就增加 1 个，为了获得最大利润， 则应降价 （ ） A、5 元 B、10 元 C、15 元 D、20 元 2．某公司生产某种产品，每件产品成本是 3 元，售价是 4 元，年销售量为 10 万件，为了 获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告．根据经验，每年投入的广告费是 x（万 元）时，产品的年销售量将是原销售量的 y 倍，且 10 7 10 7 10 2 = − + x + x y ，如果把利润看 作是销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润 S（万元）与广告费 x（万元）的函数 关系式，并计算广告费是多少万元时，公司获得的年利润最大，最大年利润是是多少万元？ [本课课外作业]