1.3函数的基本性质 1.31单调性与最大(小值 第一课时函数的单调性 学习目标要求: 1.理解函数单调性的概念; 2掌握判断函数单调性的一般方法 3体验数形结合思想在函数性质研究中的价值,掌握其应用。 函数单调性的概念 1:增函数 (1)定义:设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的 值Ⅺ、Ⅺ2,当X1<X2时,都有f(x)<fx2),那么就说函数f(x)在区间D上是增函数,区间D称 为函数f(x)的单调递增区间。 (2几何意义:函数f(x)的图象在区间D上是上升的,如图所示 y f(a2) fa 2:减函数 1)定义:设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的 值Ⅺ1、X,当Ⅺ1<X2时,都有f(x)>fx2),那么就说函数f(x)在区间D上是减函数,区间D称为 函数f(x)的单调递减区间。 (2几何意义:函数f(x)的图象在区间D上是下降的,如图所示 y xu 3:单调性与单调区间 定义:如果函数y=f(×)在区间D上是壇函数或减函数,那么就说函数y=f(x)在这一区间具 有(严格的)单调性,区间D叫做y=f()的单调区间
1.3 函数的基本性质 1.3.1 单调性与最大(小)值 第一课时 函数的单调性 学习目标要求： 1.理解函数单调性的概念； 2.掌握判断函数单调性的一般方法； 3.体验数形结合思想在函数性质研究中的价值，掌握其应用。 一、函数单调性的概念 1：增函数 (1)定义：设函数 f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的 值 x1、x2，当 x1<x2时，都有 f(x1)<f(x2)，那么就说函数 f(x)在区间 D 上是增函数，区间 D 称 为函数 f(x)的单调递增区间。 (2)几何意义：函数 f(x)的图象在区间 D 上是上升的，如图所示： 2：减函数 (1)定义：设函数 f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的 值 x1、x2，当 x1<x2时，都有 f(x1)>f(x2)，那么就说函数 f(x)在区间 D 上是减函数，区间 D 称为 函数 f(x)的单调递减区间。 (2)几何意义：函数 f(x)的图象在区间 D 上是下降的，如图所示： 3：单调性与单调区间 定义：如果函数 y=f(x)在区间 D 上是增函数或减函数，那么就说函数 y=f(x)在这一区间具 有(严格的)单调性，区间 D 叫做 y=f(x)的单调区间
思考: (1)单调性是函数在定义域上的“整体”性质吗? 不是,由定义中“定义域Ⅰ内某个区间D”知函数的单调递增区间或单调递减区间是其定义 域的子集,这说明单调性是与“区间”紧密相关的,一个函数在定义域的不同区间可以有不同的 单调性。 (2)定义中的“x1、x2”具备什么特征? 定义中的κ1、x有以下几个特征:一是任意性,即任意取x1,x2,证明单调性时更不可随意 以两个特殊值替换;二是有大小,通常规定Ⅺ<x2;三是爲于同一个单调递増区间或单调递减」 间 (3)增(减)函数定义的核心是一组不等关系据此你还能得出什么结论? 增函数()(有>0减函数[)有<0 x2-x1 x2-x1 二、判断函数单调性的一般方法 (1)定义法:利用定义严格判断。一般步骤如下 ①取值:任选定义域中同一单调区间D上的自变量值x,x2,且设x1<x2 ②作差:求f(x2)-f(x1) ③变形:即将②中的差式頊(x2)-f(x1)进一步化简变形,变到利于判断f(x2)f(x1)的正负为 止;变形的主要技巧: A、因式分解:当原函数是多项式函数时,作差后的变形通常进行因式分解; B、通分:当原函数是分式函数时,作差后往往进行通分,然后对分子进行因式分解 C、配方:当原函数是二次函数时,作差后可以考虑配方,便于判断符号 D、分子或分母有理化:当原函数是根式函数时,作差后往往考虑分子或分母有理化, 如f()=x+1 ④定号:根据变形结果,确定(x2)-(x1)的符号 判断:根据x1与x2的大小关系及f(x1)与頊(x2)的大小关系,结合单调性定义得出结论。 典型例题 例1:证明函数f)=x+在(01)上为减函数 例2:用单调性的定义证明函数f(x)=√x2+1-x在R上是减函数 (2图象法:作出函数的图象用数形结合的方法确定函数的单调性 (3)直接法:对于我们所熟悉的函数,直接得到函数的单调性,如一次函数、二次 函数、反比例函数等。 (4)记住几条常用的结论: a函数y=f(x)与y=-f(×)的单调性相反; b当fx)>0或f(×)<0时函数y=与y=f(x)的单调性相反;
思考： (1)单调性是函数在定义域上的“整体”性质吗? 不是，由定义中“定义域 I 内某个区间 D”知函数的单调递增区间或单调递减区间是其定义 域的子集，这说明单调性是与“区间”紧密相关的，一个函数在定义域的不同区间可以有不同的 单调性。 (2)定义中的“x1、x2”具备什么特征? 定义中的 x1、x2 有以下几个特征：一是任意性，即任意取 x1,x2，证明单调性时更不可随意 以两个特殊值替换；二是有大小，通常规定 x1<x2；三是属于同一个单调递增区间或单调递减区 间。 (3)增(减)函数定义的核心是一组不等关系,据此你还能得出什么结论? 增函数 有>0,减函数 有<0 二、判断函数单调性的一般方法 (1)定义法：利用定义严格判断。一般步骤如下： ①取值：任选定义域中同一单调区间 D 上的自变量值 x1，x2，且设 x1<x2； ②作差：求 f(x2)-f(x1)； ③变形：即将②中的差式 f(x2)-f(x1)进一步化简变形，变到利于判断 f(x2)-f(x1)的正负为 止；变形的主要技巧： A、因式分解：当原函数是多项式函数时，作差后的变形通常进行因式分解； B、通分：当原函数是分式函数时，作差后往往进行通分，然后对分子进行因式分解； C、配方：当原函数是二次函数时，作差后可以考虑配方，便于判断符号； D、分子或分母有理化：当原函数是根式函数时，作差后往往考虑分子或分母有理化， 如 f(x)= ④定号：根据变形结果，确定 f(x2)-f(x1)的符号； ⑤判断：根据 x1 与 x2 的大小关系及 f(x1)与 f(x2)的大小关系，结合单调性定义得出结论。 典型例题 例 1：证明函数 f(x)=x+ 在(0,1)上为减函数。 例 2：用单调性的定义证明函数 f (x) = x +1 − x 2 在 R 上是减函数。 (2)图象法：作出函数的图象,用数形结合的方法确定函数的单调性。 (3)直接法：对于我们所熟悉的函数，直接得到函数的单调性，如一次函数、二次 函数、反比例函数等。 (4)记住几条常用的结论： a.函数 y=f(x)与 y=-f(x)的单调性相反; b.当 f(x)>0 或 f(x)<0 时,函数 y=与 y=f(x)的单调性相反;
C在公共区间内,“增+增=增″,“减+减=减”,“增减=增”,“减增 减 思考: (1)单调区间的端点值如何取舍? 对于单独的一点,由于它的函数值是唯一确定的常数,没有增减的变化,所以不存在单调性 问题,因此在写单调区间时,可以包括区间端点,也可以不包括区间端点,但当函数在某些端点 无意义时,单调区间就不能包括这些点。 (2)多个单调递增(减)区间之间能否用“U″连接? 不能取这些区间的并集,而应用“”将它们隔开或用“和”字连接。 函数单调性的应用 1、已知函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞4]上是减函数,求实数a的取值范围。 名师导引:(1)二次函数的单调性取决于什么? 开口方向(a>0,开口向上;a<0,开口向下)与对称轴(-b/2a (2)(-∞,4是函数的单调递减区间吗? 可能不是,可能是其子集。 解 f(x)=x2+2(a-1)x+2, 此二次函数图象的对称轴为x=1-a, f(x)的单调递减区间为(-∞,1-a], ¨f(x)在(-∞,4上是减函数 对称轴x=1-a必须在直线x=4的右侧或与其重合 .1-a≥4,解得a≤-3, 即实数a的取值范围为(-∞,-3]。 思考: “函数f()的单调区间是a,b)”与“f()在区间(a,b)上单调”有何不同的含义 前者表明区间(ab)是其单调区间的全部,而后者表明区间(ab)是其单调区间的子集 2、(2011~2012学年度广东惠阳高级中学上学期高一第一次段考)函数y=x2-2mx+3 在区间[1,3]上具有单调性则m的范围为一 解析∷函数图象的对称轴为x=m, 函数在(∞,m上递减μm,∞)上递增, 函数在[1,3上具有单调性, 1≤1或m≥3 答案:(∞,1]UB3,+∞) 3、已知y=f(x)在定义域(-11)上是减函数,且f(1-a)<f(3a-2),求a的取值范围 -1<1-a<1, 解:a)<华3a2)-1<3a-2<1, 1-a>3a-2
c.在公共区间内，“增+增=增”，“减+减=减”，“增-减=增”，“减-增= 减”。 思考： (1)单调区间的端点值如何取舍? 对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，没有增减的变化，所以不存在单调性 问题，因此在写单调区间时，可以包括区间端点，也可以不包括区间端点，但当函数在某些端点 无意义时，单调区间就不能包括这些点。 (2)多个单调递增(减)区间之间能否用“∪”连接? 不能取这些区间的并集，而应用“,”将它们隔开或用“和”字连接。 三、函数单调性的应用 1、已知函数 f(x)=x2+2(a-1)x+2 在区间(-∞,4]上是减函数，求实数 a 的取值范围。 名师导引：(1)二次函数的单调性取决于什么？ 开口方向（a>0，开口向上；a<0，开口向下）与对称轴（-b/2a） (2)(-∞,4]是函数的单调递减区间吗? 可能不是，可能是其子集。 解： ∵f(x)= x2+2(a-1)x+2， ∴此二次函数图象的对称轴为 x=1-a， ∴f(x)的单调递减区间为(-∞,1-a]， ∵f(x)在(-∞,4]上是减函数， ∴对称轴 x=1-a 必须在直线 x=4 的右侧或与其重合， ∴1-a≥4，解得 a≤-3， 即实数 a 的取值范围为(-∞,-3]。 思考： “函数 f(x)的单调区间是(a,b)”与“f(x)在区间(a,b)上单调”有何不同的含义? 前者表明区间(a,b)是其单调区间的全部，而后者表明区间(a,b)是其单调区间的子集。 2、(2011~2012学年度广东惠阳高级中学上学期高一第一次段考)函数y=x2-2mx+3 在区间[1,3]上具有单调性,则 m 的范围为——————。 解析:∵函数图象的对称轴为 x=m, ∴函数在(-∞,m]上递减,[m,+∞)上递增, ∵函数在[1,3]上具有单调性, ∴m≤1 或 m≥3. 答案:(-∞,1]∪[3,+∞) 3、已知 y=f(x)在定义域(-1,1)上是减函数，且 f(1-a)<f(3a-2)，求 a 的取值范围。 解：f(1-a)<f(3a-2)⇔
解得 a的取值范围是(3 第二课时函数的最大(小)值 学习目标要求: 1.理解函数的最大(小)值及其几何意义; 2会求一些简单函数的最大值或最小值 3体会数形结合思想、分类讨论思想在求解最值问题中的应用 最值的概念 1:最大值 (1)定义:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足 ①对于任意的x∈,都有f(x)≤M ②存在x∈,使得∫(x)=M。 那么,我们称M是函数y=f(x)的最大值〔 maximum value) (2)几何意义:函数y=f(x)的最大值是图象最高点的纵坐标 2:最小值 (1)定义:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足 ①对于任意的x∈,都有f(x)≥M ②存在x∈,使得∫(x)=M。 那么,我们称M是函数y=f(x)的最小值( minimum value) (2)几何意义:函数y=f(x)的最大值是图象最低点的纵坐标。 思考: (1)定义条件中的“任意”一词表达什么含义? “任意”是说对定义域内的所有元素所对应的每一个函数值都必须满足不等式f(x)≤M,即 最大值是函数的“整体”的性质 (2)定义条件中的“存在”一词表达什么含义? 两层含义:一是强调最大值的属性,即它是值域中的一个元素;二是强调最大值的唯一性。 3)函数一定存在值域那么函数一定存在最值吗?
解得 <a< . ∴a 的取值范围是( , ). 第二课时 函数的最大(小)值 学习目标要求： 1.理解函数的最大(小)值及其几何意义； 2.会求一些简单函数的最大值或最小值； 3.体会数形结合思想、分类讨论思想在求解最值问题中的应用。 一、最值的概念 1：最大值 （1）定义：一般地，设函数 y f x = ( ) 的定义域为 I ，如果存在实数 M 满足： ①对于任意的 x I ，都有 f x M ( ) ； ②存在 0 x I ，使得 0 f x M ( ) = 。 那么，我们称 M 是函数 y f x = ( ) 的最大值（maximum value）. （2）几何意义：函数 y f x = ( ) 的最大值是图象最高点的纵坐标。 2：最小值 （1）定义：一般地，设函数 y f x = ( ) 的定义域为 I ，如果存在实数 M 满足： ①对于任意的 x I ，都有 f x M ( ) ； ②存在 0 x I ，使得 0 f x M ( ) = 。 那么，我们称 M 是函数 y f x = ( ) 的最小值（minimum value）. （2）几何意义：函数 y f x = ( ) 的最大值是图象最低点的纵坐标。 思考： (1)定义条件中的“任意”一词表达什么含义? “任意”是说对定义域内的所有元素所对应的每一个函数值都必须满足不等式 f(x)≤M，即 最大值是函数的“整体”的性质。 (2)定义条件中的“存在”一词表达什么含义? 两层含义：一是强调最大值的属性，即它是值域中的一个元素；二是强调最大值的唯一性。 (3)函数一定存在值域,那么函数一定存在最值吗?
对一个函教来说,其值域是确定的,但它不一定有最值,如函数y。如果有最值,则最值 定是值域中的一个元素。 (4)函数的单调性刻画了函数值大小的变化趋势那么它与最值存在什么关系呢? ①若函数f(∞)在闭区间[a上是减函数,则f(x)在ab上的最大值为fa),最小值为印); 若函数f()在闭区间a上是增函数,则f(x)在ab上的最大值为f),最小值为f(a) ②若函数f()在开区间(ab)上是增(减)函数,则f(x)在(ab上不存在最值,但可以说函数(x)在 区间ab)上的值域为(f(a),邱(b)或(f(b),f(a)。 二、求函数最值(值域)常见的方法 1、观察法(数形结合法、图像法) 由函数的定义域结合图象(最值的几何意义:图象最高点、最低点的纵坐标),或直观观察, 准确地判断函数值域的方法 【例1】如图为函数y=f(x),x∈[-4,7]的图象,指出它的最大值、最小值及单调区间。 2 -1.5 2:1O 解:观察函数图象可以知道: 图象上位置最高的点是(3,3),最低的点是(-1.5-2) 所以函数y=f(x),当x=3时取得最大值,最大值是3, 当x=-1.5时取得最小值,最小值是-2, 函数的单调递增区间为[-1.5,3),阝5,6), 单调递减区间为[-4,-1.5),[3,5),1,7。 方法小结:如何利用图象求函数最值? ①画出函数y=f(x)的图象; ②观察图象,找出图象的最高点和最低点; ③写出最值,最高点的纵坐标是函数的最大值,最低点的纵坐标是函数的最小值。 【例2】求函数f(x) (0<x<1, 的最值。 (1≤x≤2) 解:函数f(x)的图象如图 由图象可知f(x)的最小值为f(1)=1,无最大值。 2 2、单调性判定法
对一个函数来说，其值域是确定的，但它不一定有最值，如函数 y= 。如果有最值，则最值 一定是值域中的一个元素。 (4)函数的单调性刻画了函数值大小的变化趋势,那么它与最值存在什么关系呢? ①若函数 f(x)在闭区间[a,b]上是减函数，则 f(x)在[a,b]上的最大值为 f(a)，最小值为 f(b)； 若函数 f(x)在闭区间[a,b]上是增函数，则 f(x)在[a,b]上的最大值为 f(b)，最小值为 f(a)； ②若函数 f(x)在开区间(a,b)上是增(减)函数，则 f(x)在(a,b)上不存在最值，但可以说函数 f(x)在 区间(a,b)上的值域为(f(a)，f(b))或(f(b)，f(a))。 二、求函数最值（值域）常见的方法 1、观察法（数形结合法、图像法） 由函数的定义域结合图象（最值的几何意义：图象最高点、最低点的纵坐标），或直观观察， 准确地判断函数值域的方法。 【例 1】 如图为函数 y=f(x)，x∈[-4,7]的图象，指出它的最大值、最小值及单调区间。 解：观察函数图象可以知道： 图象上位置最高的点是(3,3)，最低的点是(-1.5,-2) 所以函数 y=f(x)，当 x=3 时取得最大值，最大值是 3， 当 x=-1.5 时取得最小值，最小值是-2， 函数的单调递增区间为[-1.5,3)，[5,6)， 单调递减区间为[-4,-1.5)，[3,5)，[6,7]。 方法小结：如何利用图象求函数最值？ ①画出函数 y=f(x)的图象； ②观察图象，找出图象的最高点和最低点； ③写出最值,最高点的纵坐标是函数的最大值，最低点的纵坐标是函数的最小值。 【例 2】求函数 f(x)= 的最值。 解:函数 f(x)的图象如图 由图象可知 f(x)的最小值为 f(1)=1，无最大值。 2、单调性判定法