注意：球张量分量依球谐函数的分量方式构造。如：333ZYoT(1)cose:0444㎡Vtivy33x±iyT(1)土1王±14m4TV2rV2J,=-J+ / N2, J。=J., J,= J_ / N2J? = -(JJ-1 + J-J)+ J?U.V=-(UV, +U,V)+U.V
◼ 注意：球张量分量依球谐函数的分量方式构造。如： ◼ → 1 0 1 / 2, , / 2 z J J J J J J = − = = + − − 2 2 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 ( ) ( ) J J J J J J U V U V U V U V − − − − = − + + = − + +
四、球张量与角动量的对易关系t(R)T(*)(R)= Z )(R)T)k)?(R)T)k)Ot(R)= Z )(R)T)k)g=-/q=-k对无穷小转动AiJ.neiJneiJ.ne-(kZkg)hh.ha=-k得[Jn, T(] = Z T((kq'lJnkq)[J, T(k ] = hqT,k)即[J+, Tgk)] =hV(kq)(±q+1)T)+1上两式也可作为球张量的定义
四、球张量与角动量的对易关系 ◼ 对无穷小转动 ◼ 得 ◼ 即 ◼ 上两式也可作为球张量的定义
五、张量的乘积由2个1阶张量可构造出0-2阶的新张量，如-u.vU,v,+U.V, -U.v033(Ux),T(I)iN2U.V-, +2U.V。+U..V+UVo+U.V .T(2) _T(2)T(2' =U↓V41;V2V6一般的有:Theorem. Let X(ki) and Z(k2) be irreducible spherical tensors of rank23k, and k2, respectively. ThenT,k) =E<kik2; q192/kik2; kq)X(kiZ(k2)(3.10.27)q22191q2is a spherical (irreducible)tensor of rank k.该定理了指出通过两张量的乘积构造高阶或低阶张量的方法（与角动量叠加中基函数变换关系相似）
五、张量的乘积 ◼ 该定理了指出通过两张量的乘积构造高阶或低阶张量的方 法（与角动量叠加中基函数变换关系相似） (0) 1 1 1 1 0 0 0 (1) (2) (2) (2) 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 2 1 1 1 0 3 3 ( ) 2 2 ; ; 2 6 q q U V U V U V U V T U V T i U V U V U V U V U V T U V T T + − − + + − − + − + − = = = + + + = = = 由2个1阶张量可构造出0-2阶的新张量，如 一般的有：
口证：9t(R)T(*)O(R) = E (k)(R)T)k)g=-kt(R)T(k)(R) = EE<kik2; q192lkik2; kq)9192X t(R)X(k1)(R)t(R)Z(k2)(R)=EEEZ<k,k2;q192lkk2;kq)q1q2qiq2X Xk(R-1)Z2(R-1)=EEEEE<k,k2;q192/kik2;k)k"q1q2iq2q"qX<k,k2; qiq2lki,k2; k"q")×(kik2; q192/kik2; k"q")g)(R-1)xZ%2)=EEEEE8kk8g(kik2; qiq21kik2; k"q")99/g(R-1)x(k)zgk2)qi2q"qqq"q'=E(EE<kik2; qiq2/kik2; kq")xk)z2)9)(R-1)2qqiq2=ET(k)9((R-1)=E9(k)(R)T(k)①((R)(/2)(R)=EEZ<jj2;mim2ljij2; jm)q'q'jmmX<jij2;mim2ljij2;jm")mm(R)
◼ 证：
六、张量算符的矩阵元1）磁量子数选择定则：<α', j'm'T(k)|α, jm)= 0, unless m'= q + m.这是因为：<α', j'm'([J, T(k)] - hqT(k)Iα, jm) =[(m'- m)h- hq]X<α', j'm'IT(k)}α, jm) = 0T()jm>是Jz 的本征矢（但一般不是 J2的本征矢）[J+,T,k)] =hV(kfq)(k±q+1) T)4)可以证明:ZT(k[α,j,m-q><j';q,m-ql'; jm>-->[αjm>9是(J2,J.)的共同本征矢
六、张量算符的矩阵元 1）磁量子数选择定则： ◼ 这是因为： ◼ 是Jz 的本征矢（但一般不是 的本征矢） ◼ 可以证明： 是 的共同本征矢 ( ) | , ', '; , | '; -> | − − k q q T j m q kj q m q kj jm jm 2 ( , ) z J J ( ) | k T jm q 2 J