《高等代数 Advanced Algebra》课程教学资源（教案讲义）第2章 多项式

2.1.5多项式加法和乘法的运算规则(1)加法交换律：f(x)+ g(x)= g(x)+ f(x)(2)加法结合律：(f(x)+ g(x)+ h(x)= f(x)+ (g(x)+ h(x)f(x)g(x)= g(x)f(x)(3)乘法交换律：(f(x)g(x)h(x) = f(x)(g(x)h(x)(4)乘法结合律：乘法对加法的分配律:f(x)(g(x)+h(x)= f(x)g(x)+ f(x)h(x(5)注意：要把一个多项式按“降幂”书写a,x" +an-x"- ++aix+ao当an≠0时，a,x"叫做多项式的首项

2.1.5 多项式加法和乘法的运算规则 （1）加法交换律:          xfxgxgxf （2）加法结合律:                xhxgxfxhxgxf （3）乘法交换律:          xfxgxgxf （4）乘法结合律:                xhxgxfxhxgxf （5）乘法对加法的分配律:                 xhxfxgxfxhxgxf 注意：要把一个多项式按“降幂”书写 01 1 1 axaxaxa n n n n     当 an  0 时， n n xa 叫做多项式的首项

2. 1. 6多项式的运算性质定理设f(x)和g(x)是数环R上两个多项式,并且f(x)±0, g(x)±0 .那么(i) 当 f(x)+g(x)±0时,a0 (f(x)+ g(x)≤max (@ (f(x), a (g(x)(ii) a%(f(x)g(x) =a°(f(x)+° (g(x)

2.1.6 多项式的运算性质 定理  和设 xgxf )( 是数环R上两个多项式,并且     ,0 xgxf  0 .那么 （i）当     xgxf  0 时,            xgxf  xgxf  0 0 0 max , （ii）            xgxfxgxf 0 0 0  

证: 设a°(f(x)= n, a°(g(x)= mf(x)=a +ax+a,x? +...+a,x", a, ±0g(x)=bo+b,x+b,x? +...+bmx", bm ±0且m≤n那么F(x)+ g(x)=(ao +bo)+(at +b)x+(a, +b,)x? +..+(a, +b, )x" (1)F(x)g(x)=aobo +(aob, +a,bo)x+..+a,b.xn+m(2)23由（1），f(x)+g(x)的次数显然不超过n，另一方面，由an±0, bm±0得a,bm±0，所以由(2)得 f(x)g(x)的次数是n+m

证:        mxgnxf 0 0 设 ,   , 0 2 210  n  n  n axaxaxaaxf   , 0 2 210  m  m  m bxbxbxbbxg 且  nm 那么             n nn   xbaxbaxbabaxgxf 2 1100 22 （1）       mn mn xbaxbababaxgxf  011000  （2） 由（1），      xgxf 的次数显然不超过n，另一方面， 由 n ,0 m 得 baba mn  00 ，所以由(2)得     xgxf 的次数是n + m

推论1 f(x)g(x)=0 f(x)=0 或 g(x)=0证若是f(x)和g(x)中有一个是零多项式，那么由多项f(x)±0且g(x)±0+式乘法定义得f(x)g(x)=0.若是f(x)g(x)± 0那么由上面定理的证明得f(x)g(x)= f(x)h(x) f(x)± 0 = g(x)= h(x)推论2由f(x)g(x)=f(x)h(x)得 f(x)(g(x)-h(x) 。但 f(x)± 0证日所以由推论1必有 g(x)-h(x)=0 ,即g(x)= h(x)

推论2                0,  xhxgxfxhxfxgxf 证 由          xhxfxgxf 得         xhxgxf 。但   xf  0 所以由推论1必有     xhxg  0 ,即      xhxg 证 若是  和 xgxf )( 中有一个是零多项式，那么由多项     xgxf  0 . 若是   且 xgxf  0)(0 那么由上面定理的证明得     xgxf  0 式乘法定义得 推论1       0 xfxgxf  0 或   xg  0

例当 a,b,c 是什么数时，多项式f(x)= ax3 + bx? +c+b(x3 + x?（1）是零多项式？（2）是零次多项式？

当 , cba 是什么数时，多项式     23 23 xf bxax  xxbc （1）是零多项式？ （2）是零次多项式？ 例