《高等代数 Advanced Algebra》课程教学资源（教案讲义）第2章 多项式

2. 2 多项式的整除性一、内容分布2.2.1多项式的整除概念2.2.2多项式整除性的一些基本性质2.2.3多项式的带余除法定理2.2.4系数所在范围对整除性的影响教学目的二掌握一元多项式整除的概念及其性质。熟练运用带余除法三、重点、难点多项式的整除概念，带余除法定理

2.2 多项式的整除性 一、内容分布 2.2.1 多项式的整除概念 2.2.2 多项式整除性的一些基本性质 2.2.3 多项式的带余除法定理 2.2.4 系数所在范围对整除性的影响 二、教学目的 1．掌握一元多项式整除的概念及其性质。 2．熟练运用带余除法。 三、重点、难点 多项式的整除概念，带余除法定理

2.2.1多项式的整除概念设F是一个数域.F[网]是F上一元多项式环定义1设f(x),g(x)e F[xl ，如果存在 h(x)e F[x] ，使得尔 g(x)整除 f()，记为f(x)=g(x)h(x)，则称g(x)If(x)，此时称否则称<g(x)是 f(x)的因式，g(x)不能整除f(x)，记为g(x) (x)

2.2.1 多项式的整除概念 设F是一个数域. F [x]是F上一元多项式环. 定义1 设     xFxgxf ][, ，如果存在   xFxh ][ ，使得        xhxgxf ，则称 整除 ，记为     | xfxg ，此时称   xg 是   xf 的因式，否则称   xg 不能整除   xf ，记为   xg   xf

2. 2. 2 多项式整除性的一些基本性质h(x)/g(x),g(x)Lf(x)= h(x)L f(x)(1)(2)h(x) f(x),h(x)/g(x)= h(x)I (f(x)±g(x)(3)h(x)1 f(x), Vg(x) F[x) = h(x)/ f(x)g(x)(4)h(x)I J.(x)(i =1,2, ,k), Vg, (x)(i =1,2,..,k)=h(x)I(fig1 ±...± fgk)VOcE F,Vf(x) F[x]=cl f(x)(5)(6)VO±cEF,Vf(x)e F[x)=cf(x)I f(x)f(x)I g(x),g(x)I f(x)= f(x)=cg(x)O±cE F)(7)

2.2.2 多项式整除性的一些基本性质 （1）             |,|  | xfxhxfxgxgxh （2）                |,|  |  xgxfxhxgxhxfxh （3）              |][,| xgxfxhxFxgxfxh （4）             i i kk       gfgfxhkixgkixfxh 11 |,2,1,2,1| （5）    |][,0   xfcxFxfFc （6）       xFxfFc  cf |][,0 xfx （7）              |,| xfxfxgxgxf cg 0  Fcx

2.2.3多项式的带余除法定理设f(x), g(x)e F[x] ，且 g(x)±0 ，则存在定理g(x), r(x)e F[x], 使得 f(x)=g(x)g(x)+r(xr(x)= 0,或者 a℃(r(x)<a°(g(x)这里并且满足上述条件的q(x)和r(x）只有一对。注1：g(x)r(x)分别称为g(x)除f(x)所得的商式和余式注2: g(x)± 0,g(x)1 f(x)r(x)= 0

2.2.3 多项式的带余除法定理 定理 设     ,  xxgxf ][F ，且   xg  0 ，则存在     ,  [F xxrxq ], 使得          xrxqxgxf 这里   xr  0 ，或者      . 0 0  xgxr 并且满足上述条件的  和 xrxq )( 只有一对。 注1：     , xrxq 分别称为  除 xfxg )( 所得的商式和 余式 注2：          |,0 xrxfxgxg  .0

证：先证定理的前一部分(i)若 f(x)=0 ,或 a℃(f(x)<a°(g(x). 则可以取g(x)= 0, r(x)= f(x)(ii) 若 f(x)± 0 ,且 a(f(x)≥a(g(x) 把f(x)和g(x)按降幂书写：f(x)= aox" +a,x"-I +...+ an-ix+ang(x) = box" +b,x-I ++ bm--x + b.这里aα≠0,b≠0,并且 n ≥m令q (x)=a,b=lxn-m, 并记 f(x)=f(x)-q(x)g(x)则f;(x)有以下性质：

证：先证定理的前一部分. （i）若   xf  0 , 或       xgxf 0 0  . 则可以取       ,0  xfxrxq （ii）若   xf  0 ,且      . 0 0  xgxf  和把 xgxf )( 按降幂书写:   n n n n  axaxaxaxf   1 1 0 1    m m m m  bxbxbxbxg   1 1 0 1  这里 0 ba 0  0 ,0 ,并且  mn   mn mn xbaxq   1 令 1 ，并记        , 1 1  xgxqxfxf   xf 则 1 有以下性质：