D0I:10.13374/j.issn1001053x.1980.04.019 北京钢铁学院学报 1980年第4期 钢锭凝固和冷却过程的计算 北京钢铁学院冶金热工和热能利用教研室高仲龙 包头钢铁设计研究院工业炉科刘铁树 摘 要 装炉的热锭温度值是均热炉热工技术和管理工作的重要数据，现场普通用传搁 时问表反映热锭温度，传搁时间表通过实测制定，但实测工作量大，并且不易测 准。由于钢锭凝固和冷却过程复杂，很难用分析解法进行理论计算。将传热基本方程 置换为差分方程可以用计算机进行理论计算，计算结果与实测数据规律一致，说明计 算可用于生产。计算还可用于均热炉计算机控制冷却数学模型的离线解析计算。 一、问题提出· 装入均热炉内加热的钢锭主要是热锭，热锭温度值是确定均热炉加热制度的重要依据， 是均热炉实现计算机最佳控制的基本原始数据，热锭温度值直接关系到均热炉的产量、燃耗 和钢锭加热质量等各项技术经济指标。 热锭温度值取决于很多因素，其中最主要的是钢锭的传搁时间，即钢锭从浇注完了到装 炉所经历的时间。传搁时间越长，锭温越低。镇静钢钢锭装炉前不脱模，只在模内冷却。而 沸腾钢和半镇静钢钢锭装炉前要在脱模间脱模，所以模内冷却之后还有模外冷却，当然模外 冷却锭温降低比模内冷却快。此外，钢锭尺寸、浇注时钢水温度、模壁厚度与材质等也都影 响着钢锭的凝固和冷却过程。 生产上是用钢锭传搁时间长短来确定热锭的装炉温度，反映这一关系的钢锭传搁时间表 通过实测制定，但实测工作量大，工作条件差，需要备置测试工具和仪表，而且测试中对钢 水温度、模壁厚度与材质等的影响不可能全都考虑，还有测试技术本身的误差，所以实测並 非制定传搁时间表的尽善尽美方法。 钢锭的凝固和冷却是一较复杂的不稳定态传热过程。浇注后钢锭表面结壳与模内壁紧靠 在一起，这时的模内冷却是两种物体间的导热。在温降过程中体积收缩，钢锭表面结壳很快 与模内壁脱开，这时两个面间进行着辐射传热，而实际上两个面不可能绝对分开，在接触处 仍存在传导传热，若脱开的缝隙内有气体存在也还有限制空间内的自然对流传热（由于自然 对流比较微弱，计算中可忽略)。模外壁向外部空间进行辐射散热，並与大气进行对流散 热。沸腾钢和半镇静钢锭装炉前要先脱模，这样钢锭暴露在大气中，直接对空间辐射散热， 对空气对流散热，其传热过程较在模内简单，但脱模时钢锭内部的温度分布比较复杂，如果 38
北 京 钢 铁 学 院 学 报 一 年第 期 钢锭凝固和冷却过程的计算 北 京钢铁学 院 冶金 热工 和 热能利 用教研 室 高仲 龙 包 头 钢 铁 设 计 研 究 院 工 业 炉 科 刘 铁树 摘 要 装炉 的热锭温度值 是 均 热炉热 工 技 术和 管理 工 作 的重 要 数据 ， 现场 普遏 用传摘 时 间表反 映 热锭 温度 ， 传 拥 时 间表通过 实测 制定 ， 但 实测 工 作量 大 ， 并 且 不 易测 准 。 由于钢锭凝 固和冷却 过程 复杂 ， 很 难 用分 析 解法 进 行理 论 计 算 。 将传 热羞本方 程 置换 为差分方 程 可 以 用计算机 进 行理论 计算 ， 计算结果 与实测 数据规律一 致 ， 说 明计 算 可 用于 生产 。 计算还 可用于 均热炉计算机 控制冷却 数学模型 的离 线解析计算 。 一 、 问题提 出 装 入均热 炉内加热 的钢锭主 要是热锭 ， 热 锭 温度值 是确定均热 炉加热 制度的重要依据 ， 是均热 炉实现计算机最佳控 制的 基本原 始数据 ， 热 锭温 度值 直 接关系到均热炉的产量 、 燃耗 和 钢 锭加热质 量 等各项 技术经济指标 。 热锭温度值取决于 很 多因素 ， 其 中最主 要 的是钢锭的传搁 时 间 ， 即钢锭从浇注完 了 到装 炉所经历的时 间 。 传搁时 间越 长 ， 锭温越 低 。 镇静钢钢 锭装炉前不脱 模 ， 只 在模 内冷却 。 而 沸腾钢 和 半镇静钢钢 锭装炉前要 在脱模 间脱 模 ， 所 以 模 内冷却之后 还 有模外冷却 ， 当然模外 冷却锭温降低 比模 内冷却快 。 此外 ， 钢 锭尺 寸 、 浇注 时 钢水温度 、 模 壁厚度 与材质 等也都影 响 着钢 锭的凝 固和 冷却过 程 。 生产 上是 用钢 锭传搁时 间长 短来确定热 锭 的装炉温度 ， 反映这 一关系的钢 锭传搁 时 间表 通过实测 制定 ， 但实 测工 作量 大 ， 工 作 条件差 ， 需 要备置 测 试工 具和 仪表 ， 而且 测试 中对钢 水温度 、 模 壁厚度与材质 等的影响不 可 能 全都考虑 ， 还有测试 技术本身的误 差 ， 所 以 实测业 非 制定传搁时 间表的尽 善尽 美方法 。 钢 锭的凝 固和 冷却是一较 复杂的不 稳 定 态 传热 过 程 。 浇注后 钢 锭表面结 壳 与模 内壁 紧靠 在一 起 ， 这 时 的模 内冷却是 两种 物 体间的导热 。 在温降过程 中体积 收缩 ， 钢 锭表面结壳 很快 与模 内壁脱开 ， 这 时两个面 间进 行 着辐射 传热 ， 而实际 上 两个 面不 可 能绝对分开 ， 在 接触 处 仍存在传导传热 ， 若脱开 的缝隙内有气体存在也还有限 制空 间 内的 自然对流传热 由于 自然 对流 比较微 弱 ， 计算中可忽 略 。 模外 壁 向外部空 间进 行 辐射散热 ， 业 与大气 进 行对流 散 热 。 沸腾钢和半镇 静钢 锭装 炉前要先脱 模 ， 这 样钢 锭暴露 在大气 中 ， 直 接对空 间辐射 散热 ， 对空 气对 流 散热 ， 其 传热 过 程较 在模 内简单 ， 但脱 模 时钢 锭 内部的温 度 分布 比 较 复杂 ， 如 果 DOI ：10．13374／j ．issn1001－053x．1980．04．019
钢锭脱模较早还存在着钢液的凝固问题，总之，模外冷却的开始条件较复杂。可见，钢锭凝 固和冷却过程的边界条件、开始条件都较复杂，而且变化较大，热物理参数随温度降低而有 所变化，在凝固阶段尤为显著，就导热本身而言还包含着两种物体（钢锭和锭模），因此， 用分析解法计算是很困难的。如果用水热模拟或电热模拟法求解，则需专门的仪器设备，也 很复杂。 随着电子计算机的广泛应用，用计算机计算钢锭的凝固和冷却过程，把时间上和空间上 连续变化的过程有条件地化为有限差量，把微分方程化为差分方程，可以计算凝固和冷却过 程中钢锭内部任意点的温度随时间而变化的关系，则钢锭传搁时间表也可以通过计算机进行 理论计算的方法来制定。 二、一些假定 1,取第一根注完时间为全组钢锭的注完时间，即假定钢锭是同时浇注的。 2.假定钢锭断面上的冷却是对称的。 3,将凝固潜热平均地计入凝固温度区域的热容量内，即用等效热容量的办法处理凝固 潜热。 4,从传热角度把方型断面钢锭作为无限长园柱体的几何条件处理，这样可将二维导热 方程换成一维问题，使问题简化。 上述假定下的计算结果与实测数据基本相符，说明假定条件可行。 三、基本方程 钢锭和锭模内部对称冷却条件下的付立叶导热微分方程式的具体形式是： -(8+8t) (1) 钢锭表面与模内壁脱开后的热流计算式（考虑到有部分接触的导热）： p=Ac[(2)-(37)门]+1-A(-a=). (2) 模外壁（或脱模后钢锭表面）向外的散热热流计算式： q=ec[(873）-(1t78)门]+t-t (3) 上述式中：t一温度， x一时间， 「一钢锭和锭模的径向座标， p一一钢锭表面与模内壁间的热流， q~一模外壁（或脱模后钢锭表面)的散热热流， e!-一钢锭表面与模内壁间的导来辐射率（如缝隙内有自然对流也将其估计在1 中) ε2一钢锭模外壁（或脱模后钢锭表面)对空间的导来辐射； C。一斯蒂芬一波尔茨曼系数影 39
钢锭脱模较早还存在着钢 液的凝 固问题 ， 总 之 ， 模外冷却的开 始条件较 复杂 。 可见 ， 钢锭凝 固和 冷却过 程的边 界条件 、 开 始条件都 较 复杂 ， 而且 变化较大 ， 热 物理 参数随温度降低而有 所变化 ， 在凝 固阶段 尤 为显著 ， 就导热 本身而 言还包 含着两种 物体 钢锭和 锭模 ， 因此 ， 用分析解法计算是 很 困难 的 。 如 果 用水热 模拟或 电热 模拟法 求解 ， 则需专门的仪器设备 ， 也 很复杂 。 随着 电子计算机的广泛 应 用 ， 用计算机计算钢 锭 的凝 固和冷却过 程 ， 把时 间上和 空 间上 连 续 变化的过 程 有条件地 化为有限差 量 ， 把微 分方 程 化为差 分方程 ， 可 以 计算凝 固和 冷却过 程 中钢锭 内部任 意点的温度随时 间而 变 化的关系 ， 则钢 锭传搁时 间表也可 以 通 过计算机进 行 理论 计算的方法 来 制定 。 二 、 一 些 假定 取 第一根注完 时 间为全组钢 锭 的注完 时 间 ， 即假定钢 锭是 同时浇注 的 。 假定钢 锭断 面上 的 冷却是对 称 的 。 将凝 固潜热平 均地 计入 凝 固温度 区域 的热 容量 内 ， 即 用 等效热 容量 的办法处理凝 固 潜热 。 从 传热 角度 把方型 断面钢 锭作为无 限长 园 柱体的 几何 条件处理 ， 这样可 将二维 导热 方 程 换 成一维问 题 ， 使问题 简化 。 上述假定下 的计算结 果 与实测数 据 基 本相 符 ， 说 明假定 条件可 行 。 三 、 基本 方程 钢锭和 锭模 内部对称 冷却 条件下 的付立叶导热 微分 方程式 的具 体形式 是 卫上 ， 一 了 ‘ 么 口 十 一 一一二 口 钢 锭 表面 与模 内壁脱开 后 的热流计 算式 考虑 到有部分 接触 的导热 一 。「生偿 ‘ 一 生、藉丝 ‘」 · 一 一 ‘ 斋 。 ， 模外 壁 或脱模后 钢锭表面 向外的散热热 流计算式 。 厂 ” “ “ 七 “「 〕一 一 ， 。 、、 ‘ ， 一 侣 、、 上述式 中 － 温度， 二 － 时 间， － 钢锭和 锭 模 的径 向座标， － 钢锭表面 与模 内壁 间的热流， 一 一模外 壁 或脱模后 钢锭表 面 的散热热 流 ， 。 一钢锭表面 与模 内壁 间的 导来辐射 率 如缝 隙内有 自然 对流 也将其 估计 在。 中 。 － 钢锭模外 壁 或脱 模后 钢锭 表面 对 空 间的导来辐射 率 。 － 斯 蒂芬一波尔茨 曼系数
入和a一导热系数和导温系数， aa一对流给热系数影 A一一钢锭与模内壁间辐射传热所占权重，A≤1。 在电子计算机上计算钢锭凝固及冷却过程的方法是在所考察的区域中选取一些离散点， 在这些点上用相应中心差商代替导数，建立和上述偏微分方程相对应的差分方程，得到离散 点上解的近似值。考虑到差分方程的稳定性，在选择时间间隔和离散点空间步长时要满足如 下条件： a△T 对内部点 8<克 (4) a△t 1 对边界点 (④Y)≤ 2(1+g:Y) (5) 四、差分方程 基本方程置换为下述计算用差分方程： 对钢锭中心点 2a△t t*1=l1k+y(1-1k-x）。 (6) 对钢锭内部点 △t ti.x+1=ti.x+ 1-1k-2k+山K+-, AY △Y 钢锭与模壁脱开之前的钢锭表面点（或模内壁点） t,+1=t.k+2a△t △Yt'=K-(AY+△Y)t:.x+△Yti+K-+ △Y△Y'(△Y+△Y') ).t1-k大k.。 (8) △Y+4Y' 钢锭与模壁脱开之后的钢锭表面点 t.x+1=t,+2a△t t-y+2y)小 (9) 钢锭表面传给模内壁的热流 钢锭与模壁脱开之后的模内壁点 40
久和 －导热系数和 导温系数， － 对流给热系数， － 钢锭与模 内壁 间辐射 传热所 占权重 ， 。 在电子计算机上计算钢锭凝 固及冷却过程的方法是在所考察的区域中选取一些离散点 ， 在这些点上 用相应 ’ 中心差商代替导数 ， 建立和 上述偏微分方程相对应 的差 分方程 ， 得 到离散 点上解的近似值 。 考虑到差分方程的稳定性 ， 在选择时间间隔和离散点空 间步长时要满 足如 下条件 对内部点 △丫 △ 忿 一成 ， 对边 界点 △丫 花万汀气 煞竺 人 四 、 差分 方程 地 本方程置 换为下述计算用差分方 程 对 钢 锭 ‘ 一 ，心 点 △ 一 七百不了‘ 卜 一 一 灿么 几卜 广 对 钢 锭 内 部点 一 。 一 △ 一 鱿 一 ‘ 一 ， ‘ 一 〕 。 一钢 锭 与模 壁脱开 之前的钢 锭表面 点 或模 内壁 点 ， 一 · △· 〔 △丫 尹 卜 ‘ 一 △ △丫， 一 八丫△ ， △ △ 干全丫二朴 ， 一 ， ‘ 一 一 一 ， 丫 一 ’ 一 △ 丫 干入 ‘ ， 训锭 与模 壁脱开 之后 的钢锭表面点 、 、产， 丫 自 十 ， · · △· 〔 鱿 一 一 △ “ 厂 一 蔺 一 一 个 、 从 丫 钢锭 表面传给 模 内壁 的热流 ，︼ ，月 、 户 龟 、了、矛 古 一 ， 、 、 一 。 ‘ ’ 一 、 生上 ， · △ ‘ 一 二 钢 锭 与模 壁脱开 之后 的模 内壁点
t',.K+1=t'.k+2a'△ [“+贵立-女小 (11) 对模内部点 t.='1x+ △Y' △Y (12) 。-m 对模外壁点 t'i.k+1=t',k+2a'4t -影（立+）小 (13) 模外壁对外散热热流 -ec[（心2y-6)门a-tw (14) 脱模后钢锭表面点 t=t+2aa[…-(y+动)小 (15) 脱模后制锭表面对外散热热流 q=E c[("623)-(7门]+，-t. (16) 上式：一钢锭温度， t'一锭模温度， △Y一一钢锭断面径向计算步长， △Y'一锭模断面径向计算步长 △t一计算吋间间附， aI入一一钢锭的导温系数和1导热系数影 a'和入'一锭模的导温系数和导热系数， ε：一钢锭表面与模内壁间的导来辐射率， 卫一钢锭表面与模内壁间的热流， q一脱模后钢锭表面向外散热的热流： q'一模外壁向外散热的热流， ε2（和ε2）一脱模后钢锭表面（和未脱模的模外壁）对外的导来辐射率， a(和α)一钢锭表面（和模外壁）对大气的对流给热系数， i一钢锭和模壁断面的计算点， k一时间间隔的计笋点， j一介质下标。 4经
， ， ‘ 十 二 ， ‘ · 一 △ ·「 ， ，一 一 ， △ ， 么 义 片 一 刊 。 对 模 内部点 。 ， △ 下 厂 “ ’ “ “ “ ‘ ’ · ‘ 十 ，瓜下 ， 一 一 ， ， ， 一， 八丫， 一 。牛 ， 一 ， 一 〕 。 对 摸外 壁点 ︸二侣 一 十 ， ， 二 ， 了走‘ … 一 △· 〔 △ ， 户 一 刹 △争 · 动」 。 “ ， 模外 壁对外 散热 热 流 ， 「 ‘ ， 。 ‘ 又一 脱 模后 钢 锭 表面 点 一 ’ 一 夕 · · · 一 · △·「 ‘ ’ ‘ 一 一 么 “ 一 脱模后 钢 锭 人而对外散热热 流 一 。「 ’ ‘ 盯旦 一 “ 习门 ‘ 毛 ﹃ 幻 勺万 ﹃月 了、 、、， 、 、 一 唱‘ 、 、了、 上 式 ， － 钢 锭 温度， 尹 － 锭 模 温度， 态丫－ 钢 锭断面径 向 计算步 长， △丫‘ － 锭模断面 径 向计算步长， △ － 计算时 间间隔， 。 和 入 一钢锭 的导温 系数和 导热系数， 户 和 尸 － 锭模 的导温 系数和 导热 系数 。 － 钢 锭 表面 与模 内壁 间的导来辐射率犷 － 钢锭表面 与模 内壁 间的热流， － 脱 模后 钢锭表面 向外 散热 的热 流， 产 － 模 外 壁 向外散热 的热 流， 。 和 。 二－ 脱模后 钢锭 表面 和 未脱模 的模外壁 对外的导来辐射 率 ， 。 。 和 二－ 钢 锭 表面 和 模 外壁 对 大 气 的 对 流给热 系数， － 钢 锭和 模 壁 断面 的计算点， － 时 间 间隔的 计算点， － 介质下标
五、计算框图 动 输入计算敷据 否 差分方程稳定否 修汝步长值 是 脱膜时间赋初值循环计算 否 脱膜时刻等于计算共了時刻否 是 按要求计算脱膜后 冷却终了时划 时间步长赋初值循环计算 空间步长赋初值循环计算 否 脱峡时刻到否 是 计算钢？温度等 计算钢锭及钢椗模温度等 否 是空间步长终值否 是 否 是时间步长终值否 是 本 是计算终了时刻否 计算完毕停机 六、算例 8,4吨沸降钢钢院的断面尺寸为895毫米，模壁厚为器毫米，换壁材质为铸铁， 计算浇注后不同模内冷却时间和模外冷却时间的钢锭断面温度与模壁断面温度，並制定出钢 锭传搁时间表。 42
五 、 计算框 图 启 动 翰入计算数招 位分方程称定否 修饮步长傀 气 圣 脱眺时间赎初值抽环计算 脱成时刻娜于计算终了味刻否 是 按要求计算脱琪后 冷却终了时刻 时间步长斌初值循环计算 空间 步长斌初值循环计算 脱琪时刻到否 － 是 计算钢锭沮度等 计算钢健及钢健摸温度等 是空间步长终值否 一 是 是时间步长终值否 是计算终了时刻否 计算完毕停机 六 、 算 例 ‘ ‘ … ， 、 ， 、 ，， 。 、 、 ， 、 ，二 。 一 ‘ 、 ， 二 · 、 吨 佛 腾钢 钢 锭 田 断 回 八 可 为云元反不面龟 术 ， 保 璧厚 刀 亏万尾 不 ’ 供 坚叼 仄 刀漪 袱 ， 计算浇注后不 同模 内冷却时 间和 模外 冷却时 间的钢 锭 断面温度与模 壁断 面温度 ， 业 制定 出钢 锭传搁 时间 表