基于等效耦合刚度的平面折展滑块机构分析

工程科学学报，第38卷，第7期：986992,2016年7月 Chinese Journal of Engineering,Vol.38,No.7:986-992,July 2016 DOI:10.13374/j.issn2095-9389.2016.07.014:http://journals.ustb.edu.cn 基于等效耦合刚度的平面折展滑块机构分析 印思琪，邱丽芳四，陈家兴，阳建宏 北京科技大学机械工程学院，北京100083 ☒通信作者，Email:qlf@usth.cedu.cn 摘要柔性较链是实现平面折展柔顺机构运动的关键部分.如何设计得到柔度好、精度高的柔性铰链一直是柔顺机构研 究的关键问题.综合考虑影响平面折展机构铰链刚度和精度特性的等效弯扭及拉压刚度，以LET铰链为例，分析在不同载荷 下各个参数对弯扭与拉压等效耦合刚度的影响趋势，从而提出弯扭与拉压等效耦合刚度的概念.通过大量的实例计算和分 析，推导出LET较链弯扭与拉压等效耦合刚度的经验公式.基于等效耦合刚度经验公式，对平面折展柔顺滑块机构进行分 析.应用等效耦合刚度公式与不应用等效耦合刚度公式两种情况的分析结果和有限元仿真结果表明，应用等效耦合刚度经 验公式的滑块位移计算精度得到很大的提高，验证了等效耦合刚度经验公式的适用性 关键词平面折展机构：铰链：刚度：柔顺机构：理论计算：有限元法 分类号TH122 Analysis of LEMs slider mechanisms based on equivalent coupling stiffness YIN Si-qi,QIU Li-fang,CHEN Jia-xing,YANG Jian-hong School of Mechanical Engineering,University of Science and Technology Beijing.Beijing 100083,China Corresponding author,E-mail:qlf@ustb.edu.cn ABSTRACT The flexure hinge is the key part to implement the movement of lamina emergent mechanisms (LEMs).Designing a flexure hinge with good flexibility and high accuracy is always the key problem to research compliant mechanisms.Considering the ben- ding and tension equivalent stiffness comprehensively which influence the stiffness and accuracy characteristics of LEMs hinges and taking the LET hinge as an example,the effects of different parameters on bending and tension equivalent coupling stiffness are ana- lyzed under different loads and the concept of bending torsion and tension compression coupling is introduced.Through the calculations and analyses of a large number of examples,an empirical formula of bending torsion and tension compression equivalent coupling stiff- ness is derived for the LET flexure hinge.The LEMs slider mechanism is studied based on equivalent coupling stiffness.By the com- parison of theoretical calculation and simulation results,the calculating accuracy of the slider's displacement is proved to be improved by the application of the equivalent coupling stiffness formula,and thus the applicability of the equivalent coupling stiffness formula is verified. KEY WORDS lamina emergent mechanisms:hinges:stiffness:compliant mechanisms;theoretical calculations:finite element method 以尽可能少的构件实现复杂的动作，以尽可能小新型柔顺机构习.体积小、制造简单、成本低、运输方 的占用空间完成精密的运动过程是现代机构学中重要 便等优点O使得LEMs机构存在广阔的发展空间.文 的创新思想m.平面折展机构(lamina emergent mecha- 献5]基于刚体替代综合法回设计了一个以高平行度 nisms,LEMs)是由二维平面加工而成实现三维运动的 的双四边形机构为提升平台的LEMs机构，文献]设 收稿日期：201505-28 基金项目：国家自然科学基金资助项目(51475037)

工程科学学报，第 38 卷，第 7 期: 986--992，2016 年 7 月 Chinese Journal of Engineering，Vol． 38，No． 7: 986--992，July 2016 DOI: 10． 13374 /j． issn2095--9389． 2016． 07． 014; http: / /journals． ustb． edu． cn 基于等效耦合刚度的平面折展滑块机构分析 印思琪，邱丽芳，陈家兴，阳建宏 北京科技大学机械工程学院，北京 100083  通信作者，E-mail: qlf@ ustb． edu． cn 摘 要 柔性铰链是实现平面折展柔顺机构运动的关键部分． 如何设计得到柔度好、精度高的柔性铰链一直是柔顺机构研 究的关键问题． 综合考虑影响平面折展机构铰链刚度和精度特性的等效弯扭及拉压刚度，以 LET 铰链为例，分析在不同载荷 下各个参数对弯扭与拉压等效耦合刚度的影响趋势，从而提出弯扭与拉压等效耦合刚度的概念． 通过大量的实例计算和分 析，推导出 LET 铰链弯扭与拉压等效耦合刚度的经验公式． 基于等效耦合刚度经验公式，对平面折展柔顺滑块机构进行分 析． 应用等效耦合刚度公式与不应用等效耦合刚度公式两种情况的分析结果和有限元仿真结果表明，应用等效耦合刚度经 验公式的滑块位移计算精度得到很大的提高，验证了等效耦合刚度经验公式的适用性． 关键词 平面折展机构; 铰链; 刚度; 柔顺机构; 理论计算; 有限元法 分类号 TH122 Analysis of LEMs slider mechanisms based on equivalent coupling stiffness YIN Si-qi，QIU Li-fang ，CHEN Jia-xing，YANG Jian-hong School of Mechanical Engineering，University of Science and Technology Beijing，Beijing 100083，China  Corresponding author，E-mail: qlf@ ustb． edu． cn ABSTＲACT The flexure hinge is the key part to implement the movement of lamina emergent mechanisms ( LEMs) ． Designing a flexure hinge with good flexibility and high accuracy is always the key problem to research compliant mechanisms． Considering the ben￾ding and tension equivalent stiffness comprehensively which influence the stiffness and accuracy characteristics of LEMs hinges and taking the LET hinge as an example，the effects of different parameters on bending and tension equivalent coupling stiffness are ana￾lyzed under different loads and the concept of bending torsion and tension compression coupling is introduced． Through the calculations and analyses of a large number of examples，an empirical formula of bending torsion and tension compression equivalent coupling stiff￾ness is derived for the LET flexure hinge． The LEMs slider mechanism is studied based on equivalent coupling stiffness． By the com￾parison of theoretical calculation and simulation results，the calculating accuracy of the slider’s displacement is proved to be improved by the application of the equivalent coupling stiffness formula，and thus the applicability of the equivalent coupling stiffness formula is verified． KEY WOＲDS lamina emergent mechanisms; hinges; stiffness; compliant mechanisms; theoretical calculations; finite element method 收稿日期: 2015--05--28 基金项目: 国家自然科学基金资助项目( 51475037) 以尽可能少的构件实现复杂的动作，以尽可能小 的占用空间完成精密的运动过程是现代机构学中重要 的创新思想［1］． 平面折展机构( lamina emergent mecha￾nisms，LEMs) 是由二维平面加工而成实现三维运动的 新型柔顺机构［2--3］． 体积小、制造简单、成本低、运输方 便等优点［4］使得 LEMs 机构存在广阔的发展空间． 文 献［5］基于刚体替代综合法［6］设计了一个以高平行度 的双四边形机构为提升平台的 LEMs 机构，文献［7］设

印思琪等：基于等效耦合刚度的平面折展滑块机构分析 *987 计了细胞夹持LEMs机构，文献8]设计了多种球面 根据Howell等提出的LET柔性铰链的扭转等效 LEMs机构. 刚度公式，k为 柔性铰链是柔顺机构的关键组成部分，柔顺机构 2k。 的研究主要集中在柔性铰链上网.文献0]设计了外 ka=房+2kkn (1) LET与内LET铰链，并推导出其等效刚度公式：文献 其中，k为扭转片段扭转刚度系数，k为弯曲片段弯曲 D1]提出了TUFF铰链和RUFF铰链：文献D2-13]分 刚度系数， 别提出圆环形铰链与s形铰链：Wilding对不同 LEMs铰链的性能进行了分析；文献5-17]从不同的 ㎡（-0.21六） k (2) 方面分析了铰链的柔度和精度特性问题.研究发现柔 性铰链在机构运作中会同时承受弯扭载荷与拉压载 Elt (3) 荷，单独考虑拉压载荷或者弯扭载荷对机构的运动精 k 度分析会产生较大偏差，尤其是拉压方向的变形会使 式中，G为剪切模量，I为梁的惯性矩 转动中心发生漂移，导致设计的机构不能准确的满足 E G=21+la= (4) 性能要求，所以有必要对柔性铰链的弯扭与拉压等效 12 耦合刚度作进一步研究. 将式(2)~式(4)代入式(1)，整理得到 基于此，本文以LET铰链为例对弯扭与拉压等效 耦合刚度进行初步的分析研究，通过大量的实例分析， 2B,h(号-021六) n.(兮-21六） (5) 得到LET铰链弯扭与拉压等效耦合刚度的经验公式， 并应用该经验公式对LEMs滑块机构进行分析研究. 其中，E为材料弹性模量，v为材料泊松比，其余参数 1LET铰链等效耦合刚度的分析 符号和意义见图1和表1. 根据式(5)计算不同转矩下外LET铰链转角的理 1.1LET铰链承受耦合载荷状况的分析 论值，如表2最后一行所示.在ABAQUS中建立表1 为探究LET铰链在扭转过程受到拉压载荷的影 所示实例的有限元仿真模型，同时施加如图1所示的 响情况，设计LET铰链，尺寸如图1所示，对LET铰链 转矩M以及跟随LET铰链转角变化的力F,M=500 弯扭过程中存在拉压载荷与不存在拉压载荷两种情况 N·mm,F=20N时转角变形云图如图2所示.通过有 进行分析研究.图1中t表示铰链厚度；L和L分别 限元仿真得到同时施加集中力和转矩作用下LET柔 表示柔性铰链的弯曲片段和扭转片段的长度；L和 性铰链的转角仿真值，如表2所示 L分别表示柔性铰链的弯曲片段和扭转片段的宽度； 由表2可以看出，LET铰链在仅有转矩作用下发 山表示梁的宽度.假设力F的方向始终与梁方向 生弯曲变形时，得到的转角仿真值与理论值基本一致， 相同. LET铰链的刚度在铰链变形范围内基本不变，说明扭 转等效刚度公式在拉力为零的情况下适用. 由表2绘制曲线图，如图3所示. 转角，101ad 图1LET柔性较链尺寸示意图 Fig.1 Schematic diagram of the LET flexure hinge 铰链基本尺寸如表1，材料选择铍青铜，弹性模量 E=128GPa,泊松比v=0.35 图2LET柔性较链的角位移云图 表1LET较链的参数值 Fig.2 Angular displacement nephogram of the LET flexure hinge Table 1 Parameter values of the LET hinge mm Ln. LTW LBL LgW d t 铰链在转矩作用下产生转角的仿真值与理论值之 35 3 10 5 20 0.8 间的误差为

印思琪等: 基于等效耦合刚度的平面折展滑块机构分析 计了细胞夹持 LEMs 机构，文献［8］设计了多种球面 LEMs 机构． 柔性铰链是柔顺机构的关键组成部分，柔顺机构 的研究主要集中在柔性铰链上［9］． 文献［10］设计了外 LET 与内 LET 铰链，并推导出其等效刚度公式; 文献 ［11］提出了 TUFF 铰链和 ＲUFF 铰链; 文献［12--13］分 别提 出 圆 环 形 铰 链 与 S 形 铰 链; Wilding［14］ 对 不 同 LEMs 铰链的性能进行了分析; 文献［15--17］从不同的 方面分析了铰链的柔度和精度特性问题． 研究发现柔 性铰链在机构运作中会同时承受弯扭载荷与拉压载 荷，单独考虑拉压载荷或者弯扭载荷对机构的运动精 度分析会产生较大偏差，尤其是拉压方向的变形会使 转动中心发生漂移，导致设计的机构不能准确的满足 性能要求，所以有必要对柔性铰链的弯扭与拉压等效 耦合刚度作进一步研究． 基于此，本文以 LET 铰链为例对弯扭与拉压等效 耦合刚度进行初步的分析研究，通过大量的实例分析， 得到 LET 铰链弯扭与拉压等效耦合刚度的经验公式， 并应用该经验公式对 LEMs 滑块机构进行分析研究． 1 LET 铰链等效耦合刚度的分析 1. 1 LET 铰链承受耦合载荷状况的分析 为探究 LET 铰链在扭转过程受到拉压载荷的影 响情况，设计 LET 铰链，尺寸如图 1 所示，对 LET 铰链 弯扭过程中存在拉压载荷与不存在拉压载荷两种情况 进行分析研究． 图 1 中 t 表示铰链厚度; LBL和 LTL分别 表示柔性铰链的弯曲片段和扭转片段的长度; LBW 和 LTW分别表示柔性铰链的弯曲片段和扭转片段的宽度; d 表示 梁 的 宽 度． 假 设 力 F 的 方 向 始 终 与 梁 方 向 相同． 图 1 LET 柔性铰链尺寸示意图 Fig． 1 Schematic diagram of the LET flexure hinge 铰链基本尺寸如表 1，材料选择铍青铜，弹性模量 E = 128 GPa，泊松比 ν = 0. 35． 表 1 LET 铰链的参数值 Table 1 Parameter values of the LET hinge mm LTL LTW LBL LBW d t 35 3 10 5 20 0. 8 根据 Howell 等提出的 LET 柔性铰链的扭转等效 刚度公式，keq为 keq = 2k 2 T kB k 2 T + 2kT kB ． ( 1) 其中，kT为扭转片段扭转刚度系数，kB为弯曲片段弯曲 刚度系数， kT = LTW Gt ( 3 1 3 － 0. 21 t L ) TW LTL ， ( 2) kB = EIB LBL ． ( 3) 式中，G 为剪切模量，IB为梁的惯性矩． G = E 2( 1 + ν) ，IB = LBW t 3 12 ． ( 4) 将式( 2) ～ 式( 4) 代入式( 1) ，整理得到 keq = 2EGIB LTW t ( 3 1 3 － 0. 21 t L ) TW GLBL LTW ( 1 3 － 0. 21 t L ) TW + 2EIB LTL ． ( 5) 其中，E 为材料弹性模量，ν 为材料泊松比，其余参数 符号和意义见图 1 和表 1． 根据式( 5) 计算不同转矩下外 LET 铰链转角的理 论值，如表 2 最后一行所示． 在 ABAQUS 中建立表 1 所示实例的有限元仿真模型，同时施加如图 1 所示的 转矩 M 以及跟随 LET 铰链转角变化的力 F，M = 500 N·mm，F = 20 N 时转角变形云图如图 2 所示． 通过有 限元仿真得到同时施加集中力和转矩作用下 LET 柔 性铰链的转角仿真值，如表 2 所示． 由表 2 可以看出，LET 铰链在仅有转矩作用下发 生弯曲变形时，得到的转角仿真值与理论值基本一致， LET 铰链的刚度在铰链变形范围内基本不变，说明扭 转等效刚度公式在拉力为零的情况下适用． 由表 2 绘制曲线图，如图 3 所示． 图 2 LET 柔性铰链的角位移云图 Fig． 2 Angular displacement nephogram of the LET flexure hinge 铰链在转矩作用下产生转角的仿真值与理论值之 间的误差为 · 789 ·

·988· 工程科学学报，第38卷，第7期 表2弯扭与拉压耦合作用下LET转角的仿真值 Table2 Simulation values of the bending rotation angle of the LET under the coupling pressure of bending torsion and tension compression rad 拉力， 转矩，M/(N·mm) FIN 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 0 0.1904 0.3808 0.5712 0.7615 0.9518 1.142 1.332 1.522 1.712 1.902 0.1945 0.3890 0.5833 0.7774 0.9713 1.165 1.358 1.552 1.744 1.937 10 0.1981 0.3961 0.5936 0.7909 0.9880 1.185 1.382 1.578 1.774 1.969 15 0.2011 0.4019 0.602 0.8020 1.002 1.202 1.401 1.601 1.800 1.998 20 0.2035 0.4064 0.6085 0.8104 1.012 1.215 1.417 1.62 1.822 2.024 子 0.2052 0.4096 0.6129 08161 1.020 1.224 1.429 1.634 1.84 2.046 30 0.2063 0.4115 0.6153 0.8187 1.023 1.228 1.434 1.643 1.853 2.063 0.2067 0.4120 0.6153 0.8179 1.021 1.226 1.433 1.644 1.858 2.073 0(理论) 0.1916 0.3832 0.5749 0.7665 0.9581 1.1497 1.3414 1.533 1.7246 1.9162 -F-0N 弯扭等效刚度的影响是固定的，即施加固定的拉力会 2.0 0-了=5N 对弯扭等效刚度产生固定的影响。由于施加拉力后 -F=10N F=15N LET铰链不只产生扭转还会有拉伸，因此需要求解铰 15 ◆-F-20N F=25N 链同时受拉力和弯矩情况下的刚度，即弯扭与拉压等 +-F-30N F=35N 效耦合刚度. 1.0 为探究拉力对等效耦合刚度的影响，对表2中数 据进行处理，得到在不同拉力下铰链弯扭与拉压等效 0.5 耦合刚度值，在此给出拉力与相对应等效耦合刚度的 曲线，如图4所示. 200 4006008001000 530r 转矩，MlN·mm) 525 图3[ET较链在不同拉力值下转矩与转角关系曲线 520 ■一等效损合刚度北 Fig.3 Torque and angle relation curve of the LET flexure hinge at 515 different tension values 510 505 0-0a×100% q= (6) 500 495 式中，0，为转角仿真值，0为转角理论值. 490 一—一■ 由表2数据以及图3可知，LET铰链扭转时，拉力 485 会对其产生很大的影响.在同等转矩下施加拉力，由 480 10 1520253035 于拉力方向的变化，转动中心漂移，导致转角变大.随 拉力，FN 着拉力逐渐增大，转角计算值与仿真值的误差也逐渐 图4【ET较链承受的拉力值与等效耦合刚度关系曲线 增大.根据式(6)计算可知，当拉力为35N,转矩为100 Fig.4 Force and equivalent coupling stiffness curve of the LET flex- ure hinge N~mm时，转角仿真值误差将达到7.88%. 因此，由施加拉力会引起铰链转角的变化可以得 引入符号k来表示弯扭与拉压等效耦合刚度，同 出，拉力对铰链的扭转刚度存在着影响，拉力会改变铰 时引入参数a和b表示拉力F对等效耦合刚度的影响 链的扭转刚度，使得在同等扭矩作用下铰链转角改变 程度，通过大量实例的仿真分析，得到等效耦合刚度 所以设计及分析LET时，需要考虑弯扭与拉压的综合 k可以表示为拉力F的二次函数，即 作用，即弯扭与拉压等效耦合刚度 ke =k are +bF, (7) 1.2LET铰链承受耦合载荷状况的分析 则转矩与转角关系可以表示为 由1.1节的分析得到，拉力对LET铰链的弯扭等 M=k 0=(k +aFe+bF)0. (8) 效刚度产生很大影响.对LET铰链施加水平拉力后， 考虑到参数a和b的值与铰链尺寸直接有关，因 转矩与转角曲线呈线性关系，说明拉力对LET铰链的 此以表1铰链参数值为基础，改变铰链的宽度尺寸L

工程科学学报，第 38 卷，第 7 期 表 2 弯扭与拉压耦合作用下 LET 转角的仿真值 Table 2 Simulation values of the bending rotation angle of the LET under the coupling pressure of bending torsion and tension compression rad 拉力， F/N 转矩，M/( N·mm) 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 0 0. 1904 0. 3808 0. 5712 0. 7615 0. 9518 1. 142 1. 332 1. 522 1. 712 1. 902 5 0. 1945 0. 3890 0. 5833 0. 7774 0. 9713 1. 165 1. 358 1. 552 1. 744 1. 937 10 0. 1981 0. 3961 0. 5936 0. 7909 0. 9880 1. 185 1. 382 1. 578 1. 774 1. 969 15 0. 2011 0. 4019 0. 602 0. 8020 1. 002 1. 202 1. 401 1. 601 1. 800 1. 998 20 0. 2035 0. 4064 0. 6085 0. 8104 1. 012 1. 215 1. 417 1. 62 1. 822 2. 024 25 0. 2052 0. 4096 0. 6129 0. 8161 1. 020 1. 224 1. 429 1. 634 1. 84 2. 046 30 0. 2063 0. 4115 0. 6153 0. 8187 1. 023 1. 228 1. 434 1. 643 1. 853 2. 063 35 0. 2067 0. 4120 0. 6153 0. 8179 1. 021 1. 226 1. 433 1. 644 1. 858 2. 073 0 ( 理论) 0. 1916 0. 3832 0. 5749 0. 7665 0. 9581 1. 1497 1. 3414 1. 533 1. 7246 1. 9162 图 3 LET 铰链在不同拉力值下转矩与转角关系曲线 Fig． 3 Torque and angle relation curve of the LET flexure hinge at different tension values α = θA － θeq θeq × 100% ． ( 6) 式中，θA 为转角仿真值，θeq为转角理论值． 由表 2 数据以及图 3 可知，LET 铰链扭转时，拉力 会对其产生很大的影响． 在同等转矩下施加拉力，由 于拉力方向的变化，转动中心漂移，导致转角变大． 随 着拉力逐渐增大，转角计算值与仿真值的误差也逐渐 增大． 根据式( 6) 计算可知，当拉力为35 N，转矩为100 N·mm 时，转角仿真值误差将达到 7. 88% ． 因此，由施加拉力会引起铰链转角的变化可以得 出，拉力对铰链的扭转刚度存在着影响，拉力会改变铰 链的扭转刚度，使得在同等扭矩作用下铰链转角改变． 所以设计及分析 LET 时，需要考虑弯扭与拉压的综合 作用，即弯扭与拉压等效耦合刚度． 1. 2 LET 铰链承受耦合载荷状况的分析 由 1. 1 节的分析得到，拉力对 LET 铰链的弯扭等 效刚度产生很大影响． 对 LET 铰链施加水平拉力后， 转矩与转角曲线呈线性关系，说明拉力对 LET 铰链的 弯扭等效刚度的影响是固定的，即施加固定的拉力会 对弯扭等效刚度产生固定的影响． 由于施加拉力后 LET 铰链不只产生扭转还会有拉伸，因此需要求解铰 链同时受拉力和弯矩情况下的刚度，即弯扭与拉压等 效耦合刚度． 为探究拉力对等效耦合刚度的影响，对表 2 中数 据进行处理，得到在不同拉力下铰链弯扭与拉压等效 耦合刚度值，在此给出拉力与相对应等效耦合刚度的 曲线，如图 4 所示． 图 4 LET 铰链承受的拉力值与等效耦合刚度关系曲线 Fig． 4 Force and equivalent coupling stiffness curve of the LET flex￾ure hinge 引入符号 kco来表示弯扭与拉压等效耦合刚度，同 时引入参数 a 和 b 表示拉力 F 对等效耦合刚度的影响 程度，通过大量实例的仿真分析，得到等效耦合刚度 kco可以表示为拉力 F 的二次函数，即 kco = keq + aF2 + bF， ( 7) 则转矩与转角关系可以表示为 M = kcoθ = ( keq + aF2 + bF) θ． ( 8) 考虑到参数 a 和 b 的值与铰链尺寸直接有关，因 此以表 1 铰链参数值为基础，改变铰链的宽度尺寸 LBL · 889 ·

印思琪等：基于等效耦合刚度的平面折展滑块机构分析 ·989· 与长度尺寸L得到不同的长宽比，定义该长宽比为较 当特征参数为2.5至2.75时，等效耦合刚度公式为 链的结构特征参数，用符号专表示，即=L儿m,分析 k=km+0.021FP-2.45F: (9) 随着结构特征参数专的变化，LET铰链等效耦合刚度 当特征参数为3.0至4.25时，等效耦合刚度公式为 经验公式中参数a和b的变化情况. km=k+0.028F2-2.1F (10) 改变结构特征参数，取八组数据分别为2.5、 1.3有限元仿真与验证 2.75、3.0、3.25、3.5、3.75、4和4.25，仿真分析得到不 为进一步验证等效耦合刚度经验公式及其参数a 同结构特征参数下的a和b值如表3所示. 和b的正确性，选取铍青铜材料作为LET铰链材料，改 表3不同下a和b值 变Lm及Lu,取分别为2.5、3.0、3.5和4.0，其余铰 Table 3 Values of a and b at different values 链尺寸如表1.通过有限元仿真得到具有不同特征参 52.52.753.03.253.53.754.04.25 数的LET铰链在不同拉力作用下的等效耦合刚度， a0.0210.0210.0280.0280.0280.0280.0280.028 同时根据表3得到不同特征参数下a和b的值，用 b -2.45-2.45-2.1-2.1-2.1-2.1-2.1-2.1 等效耦合刚度公式(9)与式(10)计算得到LET铰链理 论等效耦合刚度.有限元仿真得到的等效耦合刚度与 由表3中数据可得，在铰链其他尺寸不变情况下， 理论计算得到等效耦合刚度及其对比如表4所示. 表4LET较链等效耦合刚度的理论值、仿真值及其误差 Table 4 Finite element simulated and theoretically calculated equivalent coupling stiffness of LET flexure hinge and their relative error FIN 参量 5 10 15 20 25 30 35 刚度理论值/(N·mmrad-1) 577.2 565.9 555.8 546.5 538 530.6 524 2.5 刚度仿真值/(N.mmrad-l) 574.4 563.4 553.4 544.4 536.4 529.4 523.4 相对误差/% 0.49 0.44 0.43 0.38 0.30 0.23 0.11 刚度理论值/(N·mm"rad1) 592.3 582.9 574.4 566.6 560 554 549.1 3 刚度仿真值/(N.mm*rad-1) 589.5 581.1 574.1 568.5 564.3 561.5 560.1 相对误差/% 0.47 0.31 -0.05 0.34 0.77 1.35 2.00 刚度理论值/(N.mm*rad-l) 516.2 507.7 500.4 494.2 489.3 485.8 484.4 3.5 刚度仿真值/(N·mm"rad-) 512.1 503.7 496.7 491.1 486.9 484.1 482.7 相对误差/% 0.79 0.79 0.74 0.63 0.49 0.35 0.35 刚度理论值/(N·mm"rad~l) 509.1 501.9 495.6 490.7 487.4 485.9 487.1 刚度仿真值/(Nmm'radl) 503.7 495.3 488.3 482.7 478.5 475.7 474.3 相对误差/% 1.06 1.32 1.47 1.63 1.83 2.10 2.63 由表4数据绘制曲线，如图5所示.由表4与图5 功方程得到 可以得到在弯扭与拉压耦合作用下LET铰链发生扭 转时，通过有限元仿真得到的刚度与利用公式得到的 8W=F6z:+M60,+ ∑T6妆 (11) 刚度基本一致，最大误差为2.63%，发生在专=4.0时. 式中，W为虚功，F为作用在滑块上的力，M为作用在 这是因为在=4.0时铰链柔度很大，会产生较大的中 杆「2上的力矩，T为特征铰链i处的力矩 心漂移，但误差仍在允许范围内，验证了理论公式的正 T=-k: (12) 确性. 少1=01-01o, (13) 42=(0-0o）-(62-0m）, (14) 2平面折展滑块机构的分析 ψ3=02-00 (15) 2.1滑块机构公式推导 式中，日n为弹簧未变形时机构的位置角度，6。=0， 为进一步验证等效耦合刚度的适用性，将等效耦 020=T. 合刚度经验公式应用到机构分析中，为此设计平面折 将式(12)和(13)代入式(11)，可以得到总虚功， 展滑块机构如图6所示.该平面折展滑块机构的伪刚 其表示为 体模型如图7所示. 8W=Aδ9，+B80, (16) 利用虚功原理对图7所示伪刚体滑块机构建立虚 在式(16)中，A和B分别为

印思琪等: 基于等效耦合刚度的平面折展滑块机构分析 与长度尺寸 LTL得到不同的长宽比，定义该长宽比为铰 链的结构特征参数，用符号 ξ 表示，即 ξ = LBL / LTL，分析 随着结构特征参数 ξ 的变化，LET 铰链等效耦合刚度 经验公式中参数 a 和 b 的变化情况． 改变结构 特 征 参 数 ξ，取 八 组 数 据 分 别 为 2. 5、 2. 75、3. 0、3. 25、3. 5、3. 75、4 和 4. 25，仿真分析得到不 同结构特征参数 ξ 下的 a 和 b 值如表 3 所示． 表 3 不同 ξ 下 a 和 b 值 Table 3 Values of a and b at different ξ values ξ 2. 5 2. 75 3. 0 3. 25 3. 5 3. 75 4. 0 4. 25 a 0. 021 0. 021 0. 028 0. 028 0. 028 0. 028 0. 028 0. 028 b － 2. 45 － 2. 45 － 2. 1 － 2. 1 － 2. 1 － 2. 1 － 2. 1 － 2. 1 由表 3 中数据可得，在铰链其他尺寸不变情况下， 当特征参数 ξ 为 2. 5 至 2. 75 时，等效耦合刚度公式为 kco = keq + 0. 021F2 － 2. 45F; ( 9) 当特征参数 ξ 为 3. 0 至 4. 25 时，等效耦合刚度公式为 kco = keq + 0. 028F2 － 2. 1F． ( 10) 1. 3 有限元仿真与验证 为进一步验证等效耦合刚度经验公式及其参数 a 和 b 的正确性，选取铍青铜材料作为 LET 铰链材料，改 变 LTL及 LBL，取 ξ 分别为 2. 5、3. 0、3. 5 和 4. 0，其余铰 链尺寸如表 1． 通过有限元仿真得到具有不同特征参 数 ξ 的 LET 铰链在不同拉力作用下的等效耦合刚度， 同时根据表 3 得到不同特征参数 ξ 下 a 和 b 的值，用 等效耦合刚度公式( 9) 与式( 10) 计算得到 LET 铰链理 论等效耦合刚度． 有限元仿真得到的等效耦合刚度与 理论计算得到等效耦合刚度及其对比如表 4 所示． 表 4 LET 铰链等效耦合刚度的理论值、仿真值及其误差 Table 4 Finite element simulated and theoretically calculated equivalent coupling stiffness of LET flexure hinge and their relative error ξ 参量 F /N 5 10 15 20 25 30 35 刚度理论值/( N·mm·rad － 1 ) 577. 2 565. 9 555. 8 546. 5 538 530. 6 524 2. 5 刚度仿真值/( N·mm·rad － 1 ) 574. 4 563. 4 553. 4 544. 4 536. 4 529. 4 523. 4 相对误差/% 0. 49 0. 44 0. 43 0. 38 0. 30 0. 23 0. 11 刚度理论值/( N·mm·rad － 1 ) 592. 3 582. 9 574. 4 566. 6 560 554 549. 1 3 刚度仿真值/( N·mm·rad － 1 ) 589. 5 581. 1 574. 1 568. 5 564. 3 561. 5 560. 1 相对误差/% 0. 47 0. 31 － 0. 05 0. 34 0. 77 1. 35 2. 00 刚度理论值/( N·mm·rad － 1 ) 516. 2 507. 7 500. 4 494. 2 489. 3 485. 8 484. 4 3. 5 刚度仿真值/( N·mm·rad － 1 ) 512. 1 503. 7 496. 7 491. 1 486. 9 484. 1 482. 7 相对误差/% 0. 79 0. 79 0. 74 0. 63 0. 49 0. 35 0. 35 刚度理论值/( N·mm·rad － 1 ) 509. 1 501. 9 495. 6 490. 7 487. 4 485. 9 487. 1 4 刚度仿真值/( N·mm·rad － 1 ) 503. 7 495. 3 488. 3 482. 7 478. 5 475. 7 474. 3 相对误差/% 1. 06 1. 32 1. 47 1. 63 1. 83 2. 10 2. 63 由表 4 数据绘制曲线，如图 5 所示． 由表 4 与图 5 可以得到在弯扭与拉压耦合作用下 LET 铰链发生扭 转时，通过有限元仿真得到的刚度与利用公式得到的 刚度基本一致，最大误差为 2. 63% ，发生在 ξ = 4. 0 时． 这是因为在 ξ = 4. 0 时铰链柔度很大，会产生较大的中 心漂移，但误差仍在允许范围内，验证了理论公式的正 确性． 2 平面折展滑块机构的分析 2. 1 滑块机构公式推导 为进一步验证等效耦合刚度的适用性，将等效耦 合刚度经验公式应用到机构分析中，为此设计平面折 展滑块机构如图 6 所示． 该平面折展滑块机构的伪刚 体模型如图 7 所示． 利用虚功原理对图 7 所示伪刚体滑块机构建立虚 功方程得到 δW = Fδzi + Mδθ1 + ∑ 3 1 Tiδ ψi ． ( 11) 式中，W 为虚功，F 为作用在滑块上的力，M 为作用在 杆 r2上的力矩，Ti为特征铰链 i 处的力矩． Ti = － kiψi， ( 12) ψ1 = θ1 － θ10， ( 13) ψ2 = ( θ1 － θ10 ) － ( θ2 － θ20 ) ， ( 14) ψ3 = θ2 － θ20. ( 15) 式中，θi0 为弹 簧 未 变 形 时 机 构 的 位 置 角 度，θ10 = 0， θ20 = π． 将式( 12) 和( 13) 代入式( 11) ，可以得到总虚功， 其表示为 δW = Aδθ1 + Bδθ2. ( 16) 在式( 16) 中，A 和 B 分别为 · 989 ·

·990· 工程科学学报，第38卷，第7期 =2.5.理论计算刚度 s=r2+r3-(racos 0 +racos 02). (22) 640 =25,仿真计算刚度 2.2有限元分析 E-3,理论计算刚度 620 =3.仿直计算刚度 对图6所示滑块机构进行有限元仿真分析，选取 E=3.5,理论计算刚度 600 =3.5,仿真计算刚度 铍青铜材料，其余尺寸如图8所示.根据伪刚体模型， 58 E=4理论计算刚度 =4.仿真计算刚度 可以得到滑块机构的杆长为r2=70mm、r3=120mm. 560 其中，LET柔性铰链的几何参数尺寸如表1.将各参数 540 代入式(1)~式(3)中得到LET铰链的等效刚度为 ===521.8N.mm*rad-. 50 1015 20253035 40 拉力，FN 图5[T较链等效耦合刚度的理论值与仿真值曲线 Fig.5 Theoretical calculated and simulated values of the equivalent coupling stiffness of the LET flexure hinge 56 106 28 60 110 30 图8LEMS滑块机构尺寸（单位：mm) Fig.8 Dimension of the LEMs slider mechanism (unit:mm) 将以上数据代入式(21)和式(22)中，计算得到滑 块的位移$，同时进行有限元仿真，得到滑块的仿真位 移s:滑块理论计算位移s、有限元仿真位移s及其相 对误差如表5所示.图9为施加转矩M=700N·mm时 图6LEMs滑块机构 LEMS滑块机构的位移云图. Fig.6 LEMs slider mechanism 表5【EMS滑块机构滑块位移理论值与仿真值的比较 Table 5 Comparison between the theoretical and simulated displacement of the slider mechanism 转矩，M/(Nmm)理论位移，s/mm 仿真位移，s'/mm误差/% 100 0.1254 0.1376 9.73 200 0.5023 0.5508 9.66 300 1.1320 1.2417 9.69 400 2.0170 2.2132 9.73 500 3.1600 3.4702 9.82 800 8.1960 9.0274 10.14 图7平面折展滑块机构的伪刚体模型 1000 12.990 14.340 10.39 Fig.7 Pseudo-rigid-body model of the LEMs slider mechanism A=-rFsin 0 +M+T +T2, (17) 由表5数据可知，基于LET铰链的滑块机构，在 B=-raFsin 02 -T2 +T3. (18) 相同载荷作用下，滑块位移的理论值与仿真值存在较 由机构的几何关系可以得出 大偏差，最大值达到10.39%，影响滑块机构的运动精 rasin 0=-r3sin 62. (19) 度.分析误差产生的原因，可能是LET铰链在应用到 对式(16)求导，得 机构后受到横向载荷作用，改变铰链的转动刚度所致 2.3基于等效耦合刚度公式的滑块机构分析 o=cos (20) rcos 0 将等效耦合刚度经验公式应用到滑块机构分析 将式(12)~式(20)代入式(11)，得 中，由于经验公式与铰链受力有关，因此首先对滑块机 -r2Fsin 0 +M+T T2- 构进行受力分析，如图10所示 Ezcos 0 (r Fain 0 -T:+T3)=0. 忽略滑块x方向受力，则Fa=0.构件2的平衡 (21) rcos 0, 方程为 滑块位移s为 F2+F2=0, (23)

工程科学学报，第 38 卷，第 7 期 图 5 LET 铰链等效耦合刚度的理论值与仿真值曲线 Fig． 5 Theoretical calculated and simulated values of the equivalent coupling stiffness of the LET flexure hinge 图 6 LEMs 滑块机构 Fig． 6 LEMs slider mechanism 图 7 平面折展滑块机构的伪刚体模型 Fig． 7 Pseudo-rigid-body model of the LEMs slider mechanism A = － r2Fsin θ1 + M + T1 + T2， ( 17) B = － r3Fsin θ2 － T2 + T3. ( 18) 由机构的几何关系可以得出 r2 sin θ1 = － r3 sin θ2. ( 19) 对式( 16) 求导，得 dθ2 = － r2 cos θ1 r3 cos θ2 dθ1 ． ( 20) 将式( 12) ～ 式( 20) 代入式( 11) ，得 － r2Fsin θ1 + M + T1 + T2 － r2 cos θ1 r3 cos θ2 ( － r3Fsin θ2 － T2 + T3 ) = 0． ( 21) 滑块位移 s 为 s = r2 + r3 － ( r2 cos θ1 + r3 cos θ2 ) ． ( 22) 2. 2 有限元分析 对图 6 所示滑块机构进行有限元仿真分析，选取 铍青铜材料，其余尺寸如图 8 所示． 根据伪刚体模型， 可以得到滑块机构的杆长为 r2 = 70 mm、r3 = 120 mm． 其中，LET 柔性铰链的几何参数尺寸如表 1． 将各参数 代入式( 1) ～ 式( 3) 中得到 LET 铰链的等效刚度为 k1 = k2 = k3 = 521. 8 N·mm·rad － 1 ． 图 8 LEMS 滑块机构尺寸( 单位: mm) Fig． 8 Dimension of the LEMs slider mechanism ( unit: mm) 将以上数据代入式( 21) 和式( 22) 中，计算得到滑 块的位移 s，同时进行有限元仿真，得到滑块的仿真位 移 s'． 滑块理论计算位移 s、有限元仿真位移 s'及其相 对误差如表 5 所示． 图 9 为施加转矩 M = 700 N·mm 时 LEMS 滑块机构的位移云图． 表 5 LEMS 滑块机构滑块位移理论值与仿真值的比较 Table 5 Comparison between the theoretical and simulated displacement of the slider mechanism 转矩，M/( N·mm) 理论位移，s/mm 仿真位移，s' /mm 误差/% 100 0. 1254 0. 1376 9. 73 200 0. 5023 0. 5508 9. 66 300 1. 1320 1. 2417 9. 69 400 2. 0170 2. 2132 9. 73 500 3. 1600 3. 4702 9. 82 800 8. 1960 9. 0274 10. 14 1000 12. 990 14. 340 10. 39 由表 5 数据可知，基于 LET 铰链的滑块机构，在 相同载荷作用下，滑块位移的理论值与仿真值存在较 大偏差，最大值达到 10. 39% ，影响滑块机构的运动精 度． 分析误差产生的原因，可能是 LET 铰链在应用到 机构后受到横向载荷作用，改变铰链的转动刚度所致． 2. 3 基于等效耦合刚度公式的滑块机构分析 将等效耦合刚度经验公式应用到滑块机构分析 中，由于经验公式与铰链受力有关，因此首先对滑块机 构进行受力分析，如图 10 所示． 忽略滑块 x 方向受力，则 F43x = 0． 构件 2 的平衡 方程为 F12x + F32x = 0， ( 23) · 099 ·