e"9,9.9:: g'g)x(ulg) 2! e:A)× (55) 均与 E: A 5.6 正交,称作A的向量,它就是A的零向,因如取v∥o,则A =0.若以一6点积(56)式的两边得 1 一6·0 6:A e;gg9t·eA19 2! !%eHA9g=-8:n99 2 (A;-h1)9g1=Ag=A.(57) 可见,A和a一一对应考察和考察A是等价的,由此还可得 到启发:三阶反称张量φ只有一个独立分量,它等价于一个标量, 因 Dijk (58) 3! 3 Ea=66rq999k=q9:99=9 (59 我们称A和0,甲和a互成反偶;而A和一0,9和一a则互成 对偶,对偶和反偶只差一符号 现在我们来考察仿射量I+A,看任意向量v的映象的长度 平方(若ⅴ和其映象同具有长度量纲,则是无量纲向量): [(I+A)·]2=(v+0×v)2 ⅴ2+[vov]+[av]+(a×v)2 =v2+02v2-(av)2=Ⅵ[1+a2-(o:n)2] 其中n≡v为单位无量纲向量,10·叫≤0.若|o1, 则上式中后两项可被忽略而有
[(I+A)·V1]2= 即v的映象长度不变因此可以称I+A为小转动仿射量.应强 调一句,小转动的意义只有在|“1时才成立,这时转轴与a 同向,转角为|叫,故0又叫小转动向量(见图1)。下面将讨论 转角为有限的情形 =0X 图1 (3)正交仿射量(有限转动仿射量) 正交仿射量R准确保持映象长度不变(那么它当然是正则 的并且其逆亦为正交) (R·v)2=v2 (510) 或 y·(R*·R)·v=y·v 因ⅴ为任意,故R*·R=I,从而 R*=R 5.11) 写成分量形式则有 RR1=6或RnR=8. (512) 若在(510)中代ⅴ以u+v,则 (R·u+R·v)2=(u+v)2 乘开后又有 26
(R·u)·(R·v) (513) 故正交仿射量不改变向量点积,或者说,不改变向量间的夹角.如 又令u=v,则从(513)式又回到(510)式3故(510)式和(513) 式是等价的正交仿射量的定义关系。又看 [(R·a)(R·b)(R·c) (R·&) (R·a)·(R·b)(R·a)·(R·c) (R·b)·(R·a)(R·b)2 (R·b)·(R·c) (R·c)·(R·a)(R·c)·(R·b) (R·c)2 b2 b abci 故正交仿射量保持体积不变,且第三主不变量 ⅢI=±1 (514) 为了求得类似于(55)式的正交仿射量R的典则公式,先证明 下面两个对任何仿射量均成立的辅助公式: 1)任意仿射量及其共轭具有相同的第一主不变量(可证其他 不变量亦相等): I(B)=92X·(B·9)十92×9·(B·里)+9X9·(B·9) [99g3] 91…B*·(s2×g)+92:B*·(g3×91)+93B*·(9×9) 91929 g2×93·(B*·g)+9×g·(B*·g2)+9×92…(B+·93) [999] I(B*) (515) )由第一不变量表达式并利用(515)式有 I×b·c=b×c·(B*·a)+c×&·(B*·b) +a×b·(B*·c) c·b×(B*·a)+c·&×(B*·b) B·(&×b) 因c为任意,故 B·(a×b)=la×b一具×(B*·b)+b×(B*·a)。(516) 27
设正交仿射量R的重向由单位向量r代表,则可写 R·r=Rr,即r=RR·r, 17) 其中R是R的特征方程的一个根,等于+1或-1,R=1/R.以 R*左乘(51)第二式又得 R RR*·R Rr (518 利用上式对任意向量u有 R R Ru·r 由此可以看出,若u垂直于r则其映象R·u亦必垂直于r.今 后取u为垂直于r的单位向量。这时得 (r×u)·[r×(R·u)] R R (519) 但另一方面,将(517)第二式代入上式左边,又考虑到(2.6) 5.11)3(516)和(519)式得 (r×u)·[r×(R.u)]=R(r×u)·[(R·r)×(R·] =IR(r×u)·R*,(r×u)=IIR(r×u)·R.(r×u) =IR(r×u)·[Ixu-r×(R*·u)+u×(R*·r) IR(r×u)·[r×u-r×(R*:u)一Rr×u] =IR(r×u)·[(I一R)r×u-r×(R*·u] IR{(I一R)一(r×u)·[r×(R*·u)] =IR(I-R一u·R*·u)=IIR(I一R一u·R·u) 将上两式比较,得 IIR(I一R) =u·R coS (520) 1+ ilIR 可见,u和R·u的夹角9与u无关(图2).另取一个也垂直于r 的单位向量w,则根据正交仿射量不改变向量夹角的性质及连续 性,我们有 u×w=(R·u)×(R·w) (521) 根据第三主不变量的定义(21),取山,W,r作为a,b,c,利用 (517)和(521)式得 28
Ir≈(R u)×(Rw)·(Rr)=R Luri 于是(520)式变成 cos 9=I 522) 既然所有垂直于r的向量u的映象 也垂直于r,则可这样取r的方向 并想像R·u是将u按右手法则绕 r转过9角的结果(图2).于是 r xu u×(R·u)=sin9r,(5,23) R·u R·u=cos9u+sin分r×u (5.24) 对于空间任意向量v,它可分 图 解为平行于和垂直于r的两个分量: ⅴ=·rr+(v-y:rr) 根据仿射量的线性性质,R·y是R分别作用于上式右边两向量 结果之和,前者保持原向或反向(取决于I的符号),后者绕r转 过9角.后一分量虽然不一定是单位向量,但对它仍可用(524) 式,于是v的映象写成公式就是 R·=y·rR·r+R·(v-y:rr) =IIr:y+cos9(v-v·rr +sin(r×v-v·rr×r) cos 9+(III-cos 9)rr.+ sin grx]v..(5.25) 这就是所要求的典则公式,R的分量公式为 Ri i= cos 9gi +(III- cos 9)r;r; sin gei i '(5.26) lIli +(Ill- cos 9)(r; r;-gii)+ sin 9eisir (527) 假如引人r的反偶 L=-e·r,L=6“1r (528) 并考虑到 29