退化,则B·&,B·bB·c共面,即存在不全为零的c,β,Y,使 0=aB:a+B:b+rB·c=B·(曬+凸b+rc) 就是说,对退化的B,必然存在这样的方向z=a+Bb+γc 它称为该退化仿射量的零向 具有一个零向的退化仿射量使空间全部向量的映象处在一平 面上或者说,它使空间变形为平面。若具有两个零向,则它们所 定平面上每方向都是零向,这时所有映象共线。如有三个非共面 零向,则空间每方向都是零向,这时映象均为零,即有所谓零仿射 量.只有正则仿射量才使空间变形后仍为三维空间 正则仿射量是一个可逆算子,它使空间内向量与其映象有 一对应关系.因设有u=a+凸b+Tc和u'=ma+Bb+e, 若B·a=B·u’,则经代入并移项后得 (a-a)B·a+(P-P)B·b+( 故u=吖,因此必存在逆仿射量B,使空间内每B·u与u相对 应:=B·(B·u)=(B·B)·u或 B·B=I3也有B·B=I, (23) 其中I是单位仿射量,亦即度量张量。上式如用分量形式写出,就 变得更明显了因若取9;作为&,b,c,则由(21)式有 (B·9)×(B·92)·(B [9:9293] (B9g·9)×(B"?99"·92)·(B9g·9 BB2B:[999 =erHB,B 2B 3=B i l 对正则仿射量 B=Ⅲ≠0 作为满秩矩阵‖B的逆矩阵‖B5必然存在唯 正则仿射量B的共轭B*亦为正则,因其第三主不变量 B*=|B=19;B叫=19;|·|B!·!"|=|B;
我们有时称B的第三主不变量为它的行列式,并记为deB= B;|=B;|.但应注意,当g≠1时,|B;≠|B≠detB 从(B)米.B*=(B·B)*=I*=l=(B)1·B*有[(B)* (B*)-1]·B*=0,两边右点乘以(B*)-,得 (B)*=(B*)-1. (25) 意思是,正则仿射量的逆仿射量的共轭等于其共轭的逆仿射量因 此,今后可以不加区别地写B 还有一个正则仿射量B的有用公式。从(2.1)式,并利用 (1.10)式有 IIl×b·c=(B·a)×(B·b)·(B·c) B*·[(B·a)X(B·b)] 因c为任意,并考虑到25)式得 (B·a)×(B·b)=IB*·(a×b) §3.重向和不变量 若向量u及其映象B·u具有相同方向: B·u=Bu(B为常数) 31) 则这方向称为B的重向.从(3.1)式得 (B一BD·u=0 (32) 这说明假如B有重向u,则u是仿射量B一BI的零向,因而后 者是一退化仿射量,必有 B-BI)·a]×[(B一BD·b]·[(B=BD)·c abc 或 de(B一BD=0. 展开后得B的特征方程 B3一IB2+IIB一II=0 21
其中标量 c·(B·a)+e×a·(B·b)+B×b·(B·c) bcl n(Ba)×(Bb)c+(B·b×(B·c)a+(B·c)×(B·B), Labcl 35) 可以证明,对任意其他三非共面向量ab,c亦有类似于(22)式 的两个等式。故I,I也与&b,c的选择无关,而只由B本身决 定分别叫作B的第一,二主不变量 对于正则仿射量,35)式可利用(26)式改写为 II= III b×c·(B·a)+cⅩ&·(B·b)+&×b·(B Labc] (36) 如果在(34)2(3.5)和(21)式中取9作为&,b:c,则得 9×9:(B99·9)+9×g(B,s9)+9:×92:(B99) 91929 (B91)+92·(B292)+93·(B:91) (B g,)=B: =-8 B (37) IT B9)×(B9)9+(B9)×(B9n)9+(B392)X(B19)9 s929 B:,B2cii+ BP2B93Epal B 3B (B:B: B2B1eji3+B2B3 B: 3B%eps 2 +B 3B e-B,B 3ero 〃BB 6!B 5 38) 2 kB: B; BR 39) 22
仿射量B除了三个主不变量,其他较重要的不变量是矩 i(B)=trB(饣=1,2…), (310) 其中线性算子t表示迹(rac): trB=B=I (311) B的特征方程(3.3)是实系数三次多项式,必有一个实根,就命为 B(暂且不管另外两个根),它使B一B1为退化,故任何仿射量至 少有一个重向(退化仿射量的零向同时也是重向,这时B=0)。若 对应于同一B值有两个重向,则这两重向所确定的平面上的每方 向都是重向,一个B值有三非共面重向就使空间任何方向均为 重向这时B必然是相似仿射量BI.若u是B的重向,则也是 B"的重向因 Bn·u=Bn 312) §4. Cayley- Hamilton定理 在(34)和(35)式中分别以B2·c和一B·c代替c,而I的 表达式则照写,得 Iab(B2·c)]=b×(B2·c)·(B·a)+(B2·c)×a ·(B·b)+&×b·(B3·c), Iab(B·c)]=-(B·b)×(B2·c):a-(B2·c) ×(B·a)·b-(B·a)×(B·b)·(B·c), Iabc]=(B·a)×(B·b)·(B·c) 将上三式相加,有 b·[(B2-IB+II)·c]=a×b·(B3·c) 由于a,b为任意,得 (B3一IB+IB一II)·c=0 上式说明任意方向c均为括号()中所代表的仿射量的零向故 这仿射量必是零仿射量 B3-IB2+IIB-IlII=0 (41) 这就是著名的 Car yley-Hamilton方程,也叫 Cayley- amilton定
還.这是一个仿射量方程利用它,B",(n≥3)。均可用B,B 和I及B的三个主不变量来表达.注意,这方程的结构和B的特 征方程(33)是相同的但后者却是标量方程。 §5.几种特殊仿射量 (1)对称仿射量 这时 即S;=S;或S (51) 详细性质留到以后讨论主向时叙述,这里只提出对称仿射量的两 个概念 对单位向量n及t,标量 t·s·n=n.S·t=S;nt (52) 称为S在n和t方向的剪分量。若n·t=0,则称为正交剪分量 若t=n,作为(5,2)的特殊情形 iin (53) 叫作S在m方向的法分量.这概念今后起重要作用,若在任何方 向的法分量均大于零,则S称为正定,这时分量S;是正定二次型 的系数.可以证明,正定对称仿射量的三个主不变量均大于零: I>0,Ⅱ>0II>0 (2)反称仿射量(轴仿射量) 这时 A=一A*,即A1;=-A或A (54) 轴仿射量是退化仿射量,因为在A作用下,任意向量v的映象 A (A;9g)·(9k)=(A1-A1)v 1 erAse 2! 1 ars arse X (v 21 ·24