前 虽说写这本书的念头是近几年才有的,但本书体系的形成却 经历了差不多30年。 作者在这领域早期受到A.E, Green和W. Zerna的《理论 弹性》(1954)和S.Gob的《张量运算》(1956)的启蒙.Gopb 教授是属于 Schouten学派的。尽管有些作者还没有意识到,“芯 字母”和“带撇指标”在指标记法中却早已决定性地显示出它们的 优越性 1960年,C. Truesdell&R,A. Toupin的《经典场论》问世 作者的导师W. Urbanowski教授对作者说,指标固然好,但抽象 记法更佳。老师的思想感染了学生。作者在波兰发表的22篇论 文全是本着这个精神写的 I963年作者回国在北大任教.当时国际学术界使用张量方 法的尚属少数。但作者的信念是:张量的普及只是时间问题。作 者讲授的“非线性弹性理论固然非用张量不可。对基础课“弹性 力学”,作者也尝试了用笛氏张量记法讲授。从未受过这方面训练 的学生感到困难.教学效果如何作者也无把握,感到压力很大, 作者釆取了发补充讲义和加强辅导等措施设法将课坚持到底。学 期终了,克服了重重困难的学生终于尝到了甜头,反映说:“这种 方法就是好!”学生的肯定是对教师的最大支持和鼓励,增强了作 者在教学上沿这路子走下去的信心,但是,“十年动乱”使作者的 想法成了泡影,只留下了一本用张量书写的“非线性弹性理论“讲 义 雨过天晴。翻开杂志一看,果然不出所料,几乎每篇理论性文 章无一不在不同程度上用了张量的工具。1978年,作者参与了 全国力学规划”中的“理性力学和力学中的数学方法”部分的工
作。原来的想法死灰复燃了。遂修改了留下的讲义,出版成书《非 线性弹性理论》 过去主要是固体和流体力学工作者应用张量分析,而且仅是 三维欧氏空间的张量分析。这是很自然的,因为物体仅在三维的 物理空间运动, 正当我们“内战”正酣的时候,国际上兴起了一门“新几何力 学”,突破口在 Hamilton力学。它需要在构形空间,相空间或增 广相空间中进行张量分析,从中发据每个系统的最本质的数学结 构——自然辛结构.这些空间已经不是我们生活所在的物理空 间,而是高一层的抽象空间,维数可以是任意的.当讨论连续体 时,维数还是无穷的,这就要求人们跳出狭窄的三维物理空间,转 人抽象的n维,甚至无穷维空间,对于约束系统来说则是流形, 般情况下,系统或多或少是受到约束的.这样,张量分析就从古 典阶段进人近代阶段—流形上的张量分析,流形的维数可以是 任意的,坐标系一般只是局部的,与之相伴又产生了一系列的新概 念,接受这些概念需要在观念上来一个大转弯1979年起作者有 机会到外面走一走,所接触到的新朋旧友,许多都谈到这个新阶 段 本书的原始意图是一本人门读物,但人门也有现代化问题 古典张量分析的书已出版甚多,大同小异,多一本少一本已无关大 局.作者把前面谈及的几个阶段的思想有机地加以融合,经反复 酝酸下,最后决定把这本书写成一本现代化的古典张量分析的人 门书.从整体上是古典的,因为本书未迸人流形和无限维领域.但 从局部上,每一概念的叙述和定理的证明却尽可能是现代化的, 维的空间,作为多重线性函数的张量定义,抽象记法的突出,置换 行列式及外代数的普遍使用等等使得全书的叙述和证明成为一个 有机的整体,克服了古典分析中的一些逻辑上的不彻底性,第IX 章集中介绍一些主要的近代概念,旨在为读者架起一座较易通向 近代张量分析的桥架,第X章举出非完整力学系统作为第IX章 概念应用的生动例子,读者从这个例子将会预感到近代分析的生
命力 由于 Stokes定理涉及流形的许多概念,本书没有介绍这个极 为重要的定理,这是一个不得已的美中不足 仑书的各部分内容包含了作者各阶段的研究心得.从79年 起作者在国内外曾多次讲授过,书稿几经修改.学生的问题和建 议使本书得以不断完善。这里作者想特别提到他的研究生慕小武 和高普云同志 科学出版社《应用数学和力学丛书》主编钱伟长教授有意将本 书列人丛书。种种原因,迟迟未能完稿。正是他的一再督促使作 者下决心趁暑假完成这项工作 正在本书完稿之际,噩耗传来,8月23日波兰学派的创始人 之一,W. Nowacki教授与世长辞了.W. Urbanski教授则在 作者博士论文答辩后两个月就逝世了.这两位记忆犹新的波兰恩 师的学术思想,严谨作风和谆谆教导影响着作者的整个学术生涯 请允许作者在这里一表怀念他们之意 郭仲衡 (Guo Z hong-heng) 1986年9月 于北京大学
《应用数学和力学丛书》编委会 主编钱伟长谈镐生 副主编叶开沅郭仲衡 编委(按姓氏笔划为序) 王仁刘人怀米兆祥朱照宣江福汝 陈大鹏陈至达吴学谋李家春杨桂通 苏煜城周恒欧阳鬯郏哲敏岳曾元 唐立民黄敦黄克智晏名文蔡树棠 樊大钓潘立宙砗大为戴天民燕世强
录 前宫 绪论……………… 第I章准备 §1维欧氏空间的笛氏张量记法…… 52若千符号……… 3置换-…………………………… 第Ⅱ章张量代数 1拘量空间和基…………… 52内积空间,度量张量和对偶基……………13 §3张量和张量积…… 17 54基的转换和标准正交基………………………23 §5缩并与点乘…………………………27 §6对称和反称…………………………30 57置换算子,对称化和反称化… 33 58外形式和外积 甲垂市b。 38 §9 义 Kronecker符号,Rici符号和矩阵的行列式…48 §10定向,容积元和 hodge对偶性 。d 55 第Ⅲ章仿射量………………………………………65 §1二阶张量和线性变换………… ……65 52仿射量的积和转置 68 53仿射量的行列式 甲··甲非 s4正则和退化…… 55主不变量和矩 76 56特征方程,特征值和特征方向…………………82 §7 Cayley- Hamilton定理………… 84