gip9qi-dij 9 ap eigsepi rirp Lis l'is 则R又可表示为 R=Illl sin 9L +(III-cos 9)L2 (529) R:;=III8;+ sin 9L: ; +(Ill- cos 9)L; L: ;. 总结起来,R使整个空间绕r转过9角或转过9角加上对于垂直 r的平面的反射,I=1代表纯转动,Ⅲ=-1代表转动加反射 转角由(5,22)式给出,取0≤9≤x,通过解齐次方程组(R一 I·r=0及条件|rl=1可求得两个方向相反的单位向量.与 (5.23)式匹配的就是转轴r。 下面看几种特殊情形: 1)I=1,9=0:R=I 2)Il=1,9=r:R=-I+2r°,这时v和R·v以r轴 为对称,即整个空间绕r转过x(图3); 3)Il=-1,9=0:R=I-2r,这是对垂直于r的平面 的反射(图4) 2rr R·v R 图3 图4 30·
§6.对称仿射量的重向和仿射量的主向 (1)对称仿射量S的重向 从§3知,S必有一个重向令它为单位向量i所代表 (61) 其中S是特征方程 Is2+IIS一II=0 6.2 的一个实根。若S退化,Il=0,就取S=0,这时重向i也是零 向。取垂直于i的任一非零向量u,则有 i·s s·i=Su·i=0 (63) 这说明,u的映象必垂直于.今再取单位向量j,k,使,j,k 构成正交系,根据(63)性质,必有 +ck S·k'=d+bk', 由j·S·k'=kS·j得d=c于是 + ck (64) S·k'=cj+bk', 若c=0,则j=j和k=k也是S的重向,a=S,b=S也是 方程(6,2)的根——实根(不排除ab取零值的可能性,出现重根 a=b≠S,a=b=S或其中之一等于S也是可能的),现在来 找c≠0时垂直于i的重向,设为 (65) 既然c≠0,则j和k均非重向,x及y均不为零.u的映象为 S·u=xS·j+ys.k'=(ax+cy)j+(ex+by)k.(66 u是重向的充分必要条件是 x+ ccr by
即 (68) 其根为 1 (69) 2c 2c 对应于这两个不同的根,型的方向u2吗3(取为单位向量)就 y2 y 是重向: j≡u2=x+yk, (610) k +y3k (611) 这时由(66)式,得特征方程的两个不同的实根S=互c+b和 S=型c+b,从〔6.8)知互·丑=-1,即 y2 y3 总的结论是:S必有三个互相垂直的重向,其对应的特征值S,S, S均为实数。它们就是特征方程(62)的根的全部(若S,S3S中有 123 相等者,那就是重根)。假若除i,jk外,S还有重向u=ai+ 6+rk对应的特征值为S则 s=s·=as·i+s·j+γs·k 即 aSi +BSj+rSk=afi+sj+ rSk 故S不可能取不同于S,S,S的其他值。 (2)仿射量的主向 定理对于任意仿射量B,存在三个称为主向的互相垂直的 方向ijk,其映象B·i,B·j,B·k亦互相垂直 为了证明先考虑仿射量B*·B的重向。由于(B*·B) B*.B*=B*·B,B*·B作为对称仿射量有三个互相垂直的 32
重向,设为ijk B*·B·i=bB*·B·j=b,B*·B·k=bk 马上可以肯定,i3k也就是B的主向因 (B·i)·(B·j=i·(B*·B)·j=h·j=0 对称仿射量S的重向同时是主向,因此S,SS也称为S的 主值.为了求S的主值的具体表达式将特征方程(62)换元 (612) 得 x3+px+q=0, (613) 其中 (614) q I II I3-IIl (615) 27 既然已知方程(613)的三个根都是实根,则其判别式 △ ≤ 于是可令 II (616) 这时 △ (617) 根据 Cardano公式,可得方程(613)的三个根 sin(p+ 3 n p 33
2e sin(p 3 其中 3√3 arc sin 2e3 (618) 最后代回(6I2)式得 SIn 3 3 3 in+=ig 3 (619) S 2)⊥1 I 根据(618式的9的变化范围,可知S≥S≥S 若把主向的单位向量i,j3k作为协变基9;这时g;g g;φ兰6(这里的*表示该等号仅在这种特定的坐标系里才成 立),而S则可写成 S= Suii +S1ij+S,ik + Sziji +S22jj+S23jk+S3ki +Skj+skk 于是 Si=S·i=Si+S2nj+S3k S=S·j=J1i+S2j+S3k, k=S·k=S13i+Szj+S3k 比较左右两边,可知S;=0当i≠最后得 S=Sii+ Sjj+ Skk 620) 正则对称仿射量的主值均不等于零,而正定对称仿射量的主值均 大于零.在正定对称仿射量作用下,整个空间沿主方向被均匀地 拉长为等于主值的倍数,故有时叫纯变形仿射量。可以看出,一般 地有 34