全国水动力学研讨会：二维类圆柱尾迹的空间动力学行为研究（Ⅰ局部空间动力学行为）

二十五届全国水动力学研讨会暨第十一届全国水动力学学术会议 二维类圆柱尾迹的空间动力学行为研究 I局部空间动力学行为 陈瑜',谢锡麟,麻伟巍2 (复旦大学力学与工程科学系,上海,200433 (东华大学理学院,上海,201620) 摘要:本文基于映照观点,通过构造适当的曲线坐标系将物理空间中不规则的流动区域微分 同胚至参数区域中的规则区域,且基于一般曲线坐标系下场论分析获得基于一般曲线坐标系 的二维不可压缩流动的涡一流函数解法,以数值方法研究低 Reynolds数工况,规则圆柱、水 平及垂直放置椭圆柱以及表面驻波状圆柱尾迹的空间动力学行为。比较了流场总体形态、升 阻力系数的时间历程等,对比研究了上述类圆柱尾迹的局部动力学行为,包括壁面涡量、壁 面涡量通量等,籍此研究壁面几何特征对流场空间动力学行为的影响。 关键词:二维类圆柱尾迹;空间动力学行为分析;壁面涡量通量 1引言 流场空间动力学行为,总体指流场动力学性质的刻画。一般认为,流场包含几何尺度不 的各种旋涡;具有较大几何尺度的旋涡,可以称为“主导旋涡”,如著名的轴对称剪切层中 的涡环,平面剪切层中的 Brown- Roshko涡,钝体尾迹中的 Karman涡等等。同一流场也可 能含有若干种主导旋涡,如 Reynolds数约200-300的圆柱尾迹中可能同时含有几何尺度相当 的 Karman涡和流向涡。主导旋涡的运动特征(包括空间演化)决定了流场的基本动力学行为 包括动量、能量等输运形式。对于开放流场随空间演化或者对于封闭流场随参数演化,流场 会在原主导旋涡的基础上逐步激发出小尺度结构,籍此流动由有序形态向混沌或湍流形态转 捩。转捩形式可以归结为若干类,亦隶属流场动力学行为。 流场空间动力学行为[1-4],一般可分为“局部动力学行为”和“全局动力学行为”二类。 局部动力学行为,指限于流场中某点的行为;具体可为①绕流体壁面上应力分布,②边界涡 量流分布,③自谱(功率谱)空间演化,④三阶谱(self- bispectrum)空间演化等。源于 Navier Stokes方程(NSE)是局部动量守恒的刻画以及数学分析上的工具多限于局部行为,故我们 对局部动力学行为具有较为丰富的刻画形式。全局动力学行为,指相关于流场全场或一定空 间区域上的行为。主导旋涡的空间演化决定了流场动量及能量输运的基本特征。输运过程不 可能“一触及就”,必然对应一定的时空区域。由此,流场的各种输运特征隶属全局动力学行 本研究受国家自然科学基金面上项目(10872051,11172069),上海市教委2011年上海高校本科重点教学改 革项目的资助。通讯作者:谢锡麟复旦大学力学与工程科学系:Email:xiexin@fudan.edu.cn

第二十五届全国水动力学研讨会暨第十一届全国水动力学学术会议 - 1 - 二维类圆柱尾迹的空间动力学行为研究* I 局部空间动力学行为 陈瑜 1 , 谢锡麟 1* , 麻伟巍 2 (复旦大学 力学与工程科学系，上海，200433) (东华大学 理学院，上海，201620) 摘要：本文基于映照观点，通过构造适当的曲线坐标系将物理空间中不规则的流动区域微分 同胚至参数区域中的规则区域，且基于一般曲线坐标系下场论分析获得基于一般曲线坐标系 的二维不可压缩流动的涡－流函数解法，以数值方法研究低 Reynolds 数工况，规则圆柱、水 平及垂直放置椭圆柱以及表面驻波状圆柱尾迹的空间动力学行为。比较了流场总体形态、升 阻力系数的时间历程等，对比研究了上述类圆柱尾迹的局部动力学行为，包括壁面涡量、壁 面涡量通量等，籍此研究壁面几何特征对流场空间动力学行为的影响。 关键词：二维类圆柱尾迹；空间动力学行为分析；壁面涡量通量 1 引言 流场空间动力学行为，总体指流场动力学性质的刻画。一般认为，流场包含几何尺度不 一的各种旋涡；具有较大几何尺度的旋涡，可以称为“主导旋涡”，如著名的轴对称剪切层中 的涡环，平面剪切层中的 Brown－Roshko 涡，钝体尾迹中的 Karman 涡等等。同一流场也可 能含有若干种主导旋涡，如 Reynolds 数约 200－300 的圆柱尾迹中可能同时含有几何尺度相当 的 Karman 涡和流向涡。主导旋涡的运动特征（包括空间演化）决定了流场的基本动力学行为， 包括动量、能量等输运形式。对于开放流场随空间演化或者对于封闭流场随参数演化，流场 会在原主导旋涡的基础上逐步激发出小尺度结构，籍此流动由有序形态向混沌或湍流形态转 捩。转捩形式可以归结为若干类，亦隶属流场动力学行为。 流场空间动力学行为[1-4]，一般可分为“局部动力学行为”和“全局动力学行为”二类。 局部动力学行为，指限于流场中某点的行为；具体可为①绕流体壁面上应力分布，②边界涡 量流分布，③自谱（功率谱）空间演化，④三阶谱（self-bispectrum）空间演化等。源于 Navier －Stokes 方程（NSE）是局部动量守恒的刻画以及数学分析上的工具多限于局部行为，故我们 对局部动力学行为具有较为丰富的刻画形式。全局动力学行为，指相关于流场全场或一定空 间区域上的行为。主导旋涡的空间演化决定了流场动量及能量输运的基本特征。输运过程不 可能“一触及就”，必然对应一定的时空区域。由此，流场的各种输运特征隶属全局动力学行 *本研究受国家自然科学基金面上项目（10872051，11172069），上海市教委 2011 年上海高校本科重点教学改 革项目的资助。通讯作者：谢锡麟 复旦大学 力学与工程科学系；Email: xiexilin@fudan.edu.cn

5二十五届全国水动力学研讨会暨第十一届全国水动力学学术会议 为。值得指出,无论是真实实验中的流动显示,还是计算流体动力学(CFD)中的流谱显示, 都呈现了流场的整体运动特征,如上下交替脱落和下移的 Karman涡街,配对并归并的Brow Roshko涡等等 我们见识了自然界中丰富多彩的旋涡及其空间演化,但对旋涡几何形 态(需要旋涡的明确定义)及其演化特征等全局动力学行为至今尚无明确的、公认的刻画形 式。本研究涉及的全局动力学行为刻画,主要包括:①空间相位分析(基于互谱相位的空间 演化)[5,6],②全局动量及能量关系式,③物理有界吸引子(包括旋涡的相位界定),④ 阶谱( cross- bispectrum)空间演化等。 我们认为所有的封闭或者开放流场都是NSE和特定初边值条件(定解问题)的解,称为 Navier- Stokes系统 我们希望获得归纳于多类 Navier- Stokes系统的具有一定共性 的行为。本研究涉及的 Navier- Stokes系统主要为开放流场,包括轴对称剪切流、平面对称 剪切流、圆柱尾迹(包括均匀、非均匀来流以及受声激励情形)。 任何隶属局部或全局空间动力学行为的刻画量,我们都尽量要求其为“实验可测量”,要 求其既同NSE在数学上有明确关系(包括局部及全局意义下的关系),也要求其在实验上可测 籍此,我们希望通过系统的实验(包括真实实验及数值实验)认识实验可测量,由此获得对 NSE局部及全局动力学行为的认识。 本文按映照观点,通过构造适当的曲线坐标系将物理空间中流动区域微分同胚至参数空 间中的几何形态规则的区域,数值求解基于一般曲线坐标系下的场论分析获得按一般曲线坐 标系的局部基而展开的二维不可压缩涡一流函数控制方程。本文通过规则圆柱绕流的计算以 较为系统的验证本文所提数值方法的正确性及可靠性,籍此,对比研究水平放置椭圆柱、垂 直放置椭圆柱以及驻波状表面圆柱尾迹的空间动力学行为。首先获得流场总体形态、升阻力 系数的时间历程等,继而对比不同壁面形状情形下的局部空间动力学行为:壁面切应力、壁 面涡量法向通量等沿壁面分布及其同壁面几何特征之间的关系 2数值研究方法 平面区域构造微分同照7如下:X()=(x)+(0+x(4)-9(x)n(x) CE=ar) 图1平面流动之映照构 涡量控制方程其分量形式为:+V ar' 8 a/·流函数所

第二十五届全国水动力学研讨会暨第十一届全国水动力学学术会议 - 2 - 为。值得指出，无论是真实实验中的流动显示，还是计算流体动力学（CFD）中的流谱显示， 都呈现了流场的整体运动特征，如上下交替脱落和下移的 Karman 涡街，配对并归并的 Brown －Roshko 涡等等 —— 我们见识了自然界中丰富多彩的旋涡及其空间演化，但对旋涡几何形 态（需要旋涡的明确定义）及其演化特征等全局动力学行为至今尚无明确的、公认的刻画形 式。本研究涉及的全局动力学行为刻画，主要包括：①空间相位分析（基于互谱相位的空间 演化）[5,6]，②全局动量及能量关系式，③物理有界吸引子（包括旋涡的相位界定），④三 阶谱（cross－bispectrum）空间演化等。 我们认为所有的封闭或者开放流场都是 NSE 和特定初边值条件（定解问题）的解，称为 Navier－Stokes 系统。—— 我们希望获得归纳于多类 Navier－Stokes 系统的具有一定共性 的行为。本研究涉及的 Navier－Stokes 系统主要为开放流场，包括轴对称剪切流、平面对称 剪切流、圆柱尾迹（包括均匀、非均匀来流以及受声激励情形）。 任何隶属局部或全局空间动力学行为的刻画量，我们都尽量要求其为“实验可测量”，要 求其既同 NSE 在数学上有明确关系（包括局部及全局意义下的关系），也要求其在实验上可测。 籍此，我们希望通过系统的实验（包括真实实验及数值实验）认识实验可测量，由此获得对 NSE 局部及全局动力学行为的认识。 本文按映照观点，通过构造适当的曲线坐标系将物理空间中流动区域微分同胚至参数空 间中的几何形态规则的区域，数值求解基于一般曲线坐标系下的场论分析获得按一般曲线坐 标系的局部基而展开的二维不可压缩涡－流函数控制方程。本文通过规则圆柱绕流的计算以 较为系统的验证本文所提数值方法的正确性及可靠性，籍此，对比研究水平放置椭圆柱、垂 直放置椭圆柱以及驻波状表面圆柱尾迹的空间动力学行为。首先获得流场总体形态、升阻力 系数的时间历程等，继而对比不同壁面形状情形下的局部空间动力学行为：壁面切应力、壁 面涡量法向通量等沿壁面分布及其同壁面几何特征之间的关系。 2 数值研究方法 平面区域构造微分同胚[7]如下：             1 2 1 1 1 X x x x x x n x          ， 图 1 平面流动之映照构造 涡量控制方程其分量形式为： 3 3 2 3 3 i ki ij k 1 V g g i i k k ij t x Re x x x                        。流函数所

二十五届全国水动力学研讨会暨第十一届全国水动力学学术会议 满足的方程为: ax ax 涡量控制方程时间导数采用三阶精度的两步预估校正法求解,其中预估步采用二阶精度 的 Adams- Bashforth格式离散,方程空间导数采用五点 Lagrange插值求得相应项。对于流函数 Possion方程求解采用逐次超松弛方法(SOR)迭代求解,取超松弛因子为1.72。璧面流函数边界 条件由流函数的定义因静止壁面而令为0。壁面涡量条件为: a(2:)+g2[(,x)-v(x,x+)进口为沿x方向的均匀无旋流 条件,出口限制速度沿流向导数为0。 计算域网格数为270×200,时间步长取M=000125。方程中涉及几何量如 Christoffel 符号由五点 Lagrange插值并对比解析式值,相对误差在整个区域保持在10-°以内,由此验证 微分同胚的选取以及计算域网格的划分的合理性。通过对环形域上 Possion方程相应边值问题 映照后在曲线坐标系下迭代求解,并与解析给出特解对比,相对误差在10-4以内。 对于升阻力系数的计算,本文基于吴介之等[8]提出的动量导数矩理论计算绕流物体所受 的载荷。 R=-2×Dd+下xx0)-2手xmx(x)]+pxn 此公式与控制面∑的选取无关。 为验证数值方法,取Re=100的定常均匀来流静止圆柱绕流问题计算,图2为无量纲时间 t=430时刻的局部等流函数图,图3为对应的等涡量云图,尾流为稳定发展的卡门涡阶。图4、 图5为升阻力系数随时间变化曲线。取稳定后数据计算所得 Strouhal数为Sr=0.168,阻力 系数平均值CA=1.352,与各文献中数值计算和实验结果相符。 Vorticity t=430.0 图2圆柱绕流等流函数图 图3圆柱绕流等涡量云图

第二十五届全国水动力学研讨会暨第十一届全国水动力学学术会议 - 3 - 满足的方程为： 2 3 Γ ij k i j k ij g x x x                 。 涡量控制方程时间导数采用三阶精度的两步预估校正法求解，其中预估步采用二阶精度 的 Adams-Bashforth 格式离散，方程空间导数采用五点 Lagrange 插值求得相应项。对于流函数 Possion 方程求解采用逐次超松弛方法(SOR)迭代求解，取超松弛因子为 1.72。壁面流函数边界 条件由流函数的定义因静止壁面而令为 0。壁面涡量条件为：       11 2 22 1 2 1 2 1 2 2 , , w w w w g gV g x x x x k x k              。进口为沿 1 x 方向的均匀无旋来流 条件，出口限制速度沿流向导数为 0。 计算域网格数为 270 200  ，时间步长取  t 0.00125 。方程中涉及几何量如 Christoffel 符号由五点 Lagrange 插值并对比解析式值，相对误差在整个区域保持在 6 10 以内，由此验证 微分同胚的选取以及计算域网格的划分的合理性。通过对环形域上 Possion 方程相应边值问题 映照后在曲线坐标系下迭代求解，并与解析给出特解对比，相对误差在 4 10 以内。 对于升阻力系数的计算，本文基于吴介之等[8]提出的动量导数矩理论计算绕流物体所受 的载荷。     1 2 2 2 V B f R r d r n a d r n d nd                                   此公式与控制面  的选取无关。 为验证数值方法，取 Re=100 的定常均匀来流静止圆柱绕流问题计算，图 2 为无量纲时间 t=430 时刻的局部等流函数图，图 3 为对应的等涡量云图，尾流为稳定发展的卡门涡阶。图 4、 图 5 为升阻力系数随时间变化曲线。取稳定后数据计算所得 Strouhal 数为 St  0.168 ，阻力 系数平均值 1.352 Cd  ，与各文献中数值计算和实验结果相符。 图 2 圆柱绕流等流函数图 图 3 圆柱绕流等涡量云图

5二十五届全国水动力学研讨会暨第十一届全国水动力学学术会议 图4阻力系数曲线(静止圆柱情形) 图5升力系数曲线(静止圆柱情形) 图6考查了不同积分区域下上述圆柱绕流问题升阻力系数计算的值,如图中所示对于不 同半径选取下的计算值,相对误差控制在1.5%以内,验证了实际数值计算中上述升阻力系数 计算公式与控制面Σ的选取无关,也反映了本问题数值计算结果的可靠性。 积分区域选取对CdC_1计算结果影响 静止圆柱绕流t=395.75 积分区域半径 图6不同积分区域升阻力系数计算结果(静止圆柱情形) 3总体流场特征 通过改变2中微分同胚的具体形式,可以获得不同形状的绕流问题的数值模拟,继而对 流场特征进行分析研究。 31水平放置椭圆柱尾迹 本节考察定常均匀来流椭圆柱绕流问题,该椭圆沿流向半轴为12,法向半轴为0.8,微 分同胚、控制方程、边界条件及其差分方法同前文分析,Re=100,计算域网格数为270×200, 时间步长取Mt=0.00125。图7为无量纲时间t405时刻的局部等流函数图,图8为对应的 等涡量云图,可以看到尾流中稳定发展的卡门涡阶,与圆柱相比,其尾迹较窄,涡阶从物体 表面脱落的形态较长。单个涡形态呈扁圆状

第二十五届全国水动力学研讨会暨第十一届全国水动力学学术会议 - 4 - 图 4 阻力系数曲线（静止圆柱情形） 图 5 升力系数曲线（静止圆柱情形） 图 6 考查了不同积分区域下上述圆柱绕流问题升阻力系数计算的值，如图中所示对于不 同半径选取下的计算值，相对误差控制在 1.5%以内，验证了实际数值计算中上述升阻力系数 计算公式与控制面  的选取无关，也反映了本问题数值计算结果的可靠性。 图 6 不同积分区域升阻力系数计算结果（静止圆柱情形） 3 总体流场特征 通过改变 2 中微分同胚的具体形式，可以获得不同形状的绕流问题的数值模拟，继而对 流场特征进行分析研究。 3.1 水平放置椭圆柱尾迹 本节考察定常均匀来流椭圆柱绕流问题，该椭圆沿流向半轴为 1.2，法向半轴为 0.8，微 分同胚、控制方程、边界条件及其差分方法同前文分析，Re=100，计算域网格数为 270 200  ， 时间步长取  t 0.00125。图 7 为无量纲时间 t=405 时刻的局部等流函数图，图 8 为对应的 等涡量云图，可以看到尾流中稳定发展的卡门涡阶，与圆柱相比，其尾迹较窄，涡阶从物体 表面脱落的形态较长。单个涡形态呈扁圆状

二十五届全国水动力学研讨会暨第十一届全国水动力学学术会议 图7水平放置椭圆柱绕流等流函数图 图8水平放置椭圆柱绕流等涡量云图 3垂直放置椭圆柱尾迹 将上节椭圆沿流向半轴设为为0.8,法向半轴为1.2,其余参数不变,得到垂直放置椭圆 柱尾迹。图9为无量纲时间=405时刻的局部等流函数图,图10为对应的等涡量云图,可见 尾流中稳定发展的卡门涡阶,其尾迹与上述圆柱、椭圆柱相较较宽,涡阶从物体表面脱落的 形态较短,涡量强度更大。单个涡形态较水平放置椭圆情形更圆 图11为升力系数随时间变化曲线图。图12为阻力系数随时间变化情况曲线图。 vorticity t=405 图9垂直放置椭圆柱绕流等流函数图 图10垂直放置椭圆柱绕流等涡量云图 图11升力系数曲线(垂直放置椭圆柱情形) 图12阻力系数曲线(垂直放置椭圆柱情形) 33波状表面圆柱尾迹 本节考査定常均匀来流波状柱体绕流问题,该柱体表面形状刻画函数为:

第二十五届全国水动力学研讨会暨第十一届全国水动力学学术会议 - 5 - 图 7 水平放置椭圆柱绕流等流函数图 图 8 水平放置椭圆柱绕流等涡量云图 3.2 垂直放置椭圆柱尾迹 将上节椭圆沿流向半轴设为为 0.8，法向半轴为 1.2，其余参数不变，得到垂直放置椭圆 柱尾迹。图 9 为无量纲时间 t=405 时刻的局部等流函数图，图 10 为对应的等涡量云图，可见 尾流中稳定发展的卡门涡阶，其尾迹与上述圆柱、椭圆柱相较较宽，涡阶从物体表面脱落的 形态较短，涡量强度更大。单个涡形态较水平放置椭圆情形更圆。 图 11 为升力系数随时间变化曲线图。图 12 为阻力系数随时间变化情况曲线图。 图 9 垂直放置椭圆柱绕流等流函数图 图 10 垂直放置椭圆柱绕流等涡量云图 图 11 升力系数曲线（垂直放置椭圆柱情形） 图 12 阻力系数曲线（垂直放置椭圆柱情形） 3.3 波状表面圆柱尾迹 本节考查定常均匀来流波状柱体绕流问题，该柱体表面形状刻画函数为：