(^)b (44) 而 d:; 以(i)b=A4 k)b,(45) 将(44)式减(45)式得 [a(tk)一A;在a(计)b=0 由于b是与以()无关的任意张量,故必有 a(ij々)=A4Aa(设) 这正是张量at的变换规律,也就是说a(i)必然是张量.我们 将经常利用商法则直接肯定某些量的张量性 §5.Rici符号,广义 Kronecker符号,行列式 和代数余子式 为了今后运算形式上的方便引进Rici符号: 1,当(ijk是(12,3)的偶数次置换 e(或c)={-1,当()是(1,2,3)的奇数次置换, 0,其余情形 (51) 在任何坐标系都这样取值.首先可以肯定,Rici符号关于所有指 标为反称,其他性质以后再探讨 又引进广义 Kronecker符号: 0,有两个或更多的上(或下)指标 H相同 下由不同指标组成 8和δ 藏泰炒》为偶数次置换, →个指标的要奇数次置换 可以看出 6, 5.3 考虑到Rici符号?根据式的定义,任何矩阵 lamn的行列式均可写成 15
(55) e a.asa (56) 再看表达式: a·ja·k (57 基于Rci符号的反称性及盲指标可以任意代换我们有 a:;a:;= 故表达式(57)关于指标jk为反称.此外,当ij々取值1, 2,3时(57)式等于|amn,故 Jame (58 同理亦有 era; ai a.=meiji (59) earias aut =eairdisakt=amn eijk (510) 将(58和(59)式应用于变换系数行列式|A分,和|AB得 出4=|ABe 即 (511) 1 Ap,la;;". (512) 这正是Rici符号的变换规律,它说明c和是三阶张量 密度,权量分别为-1和1.因此它们是两个不同的几何量: cn,g"yg"g≠c,这和oi?都代表 Eddington张量有本质上 的区别,但后者和Ric符号又有相通的地方.首先,6关于所 有指标亦为反称,其所取的值可以写为 ijk 991Ky19 513) k 咏 999 (514) 这两个公式很重要根据它们可得广义 kronecker符号的进一步具 体表达式。为此将(513)和(5.14)式代入(53)式得 16
k 9g9999 g·grg·99·gr s9·9 δ;δ}δ+δ;δδ+δ}8-8一8}88一δ}88一8}88,(515) 经过一次,二次和三次缩并后又得 δ}H=8;8}-88} (516) H=38}-8}=28 (517) 28r=3 (518) 将(58)和(510)式分别点乘以c,并利用(518)式的结果,最后 得行列式的展开式 m aa (519) ee air (520) 3 于是,行列式|an的元素2的代数余子式及|amn}的元素ang 的代数余子式就可分别表达为 87(8p8a4a+a8°8a+aa8如8#) aaP, 31 (δaan++8 3! (521) ca (522) 第二章二阶张量——仿射量 §1.仿射量 二阶张量在应厍上有特殊意义,也称为仿射量.今后一般用 17
大写拉丁字母表示 B= b i9i9''. (11) 它和任意向量v=09点乘(或者说它作用于向量v): B:gg·9k=B;9 ,= (12) 给出另一向量u。也可以说,B是一个算子它使空间内每一向量 ⅴ有某一个向量u与之对应.我们说,对于算子B,u是v的映 象.明显,这是线性算子: B·(au+w)=aB·u+BB (13) 这里u,w是任意向量,c,B是任意实数 在(11)式中,对每具体j说来,B9;代表一个与坐标系有关 且和9;具有相同变换规律的向量,记为f;,于是(11)式又可写为 B=fi (14) 就是说,任何仿射量均可表示为三对并矢之和.我们称(14)式为 仿射量并矢表示的基本形式。反之,若给出任意数量并矢的线性 组合,则总可化成三对并矢之和 其中a(求和指标写在字母的正上方是为了和写在右边的张量指 标相区别)为三非共面向量.取a为逆变基向量g,就得仿射量 并矢表示的基本形式,将b在9;上分解。记其分解系数为B,又 得仿射量的不变性记法(11) ∑b&=Bs9=B. (15) 两个或两个以上仿射量之和或点积: B+D=B;99+D/9g=(B;+D)9 (16) B·D=(B;9g)·(D99)=(B,D;)9g3(1.7) 仍然是仿射量,并记B的(n-1)次自点积为 Bn≡B…B (18) 经过指标置换后, 18
B*=B*;gg÷B (19) 称为B的共軛仿射量.显然,对任意两向量a和b均有 B·b=b·B* 若在上式中以D·b代替b,得 B·(D·b)=(D·b)·(B*·a) (111) 考虑到B·(D·b)=(B·D)·b,并利用(110)式,(1.11)式可 写为 b·(B·D)*·=b·(D*·B*)·a 因&,b为任意3故 (B·D)*=D*·B (112) §2.正则与退化 对于仿射量B若某三个非共面向量a,bc的映象B·&, B.b,B·c亦为非共面,则B称为正则否则为退化。换言之,B 是退化还是正则3取决于 (B·a)×(B·b)·(B·c (21) abc 是否为零.容易证明,对其他任意三非共面向量a'b,c'恒有 (B·a)×(B·b)·(B·c)(B·.)×(B·b)·(B·c Labc] abc (22) 这就是说,I由B本身决定,与&,b,c的选择无关,当然也 可以取9;作为这三向量,因而I与坐标系的选择无关,称之为B 的第三主不变量(以后还要出现第一、二主不变量)。 还有另一个与之等价的,判别仿射量B是否退化的准则:对 于退化仿射量至少存在一个这样的方向,这个方向的向量z的映 象均为零:B·z=0.设此方向存在,则z可表达为z=a b+rc.根据B的线性性质B·z=aB·a+B·b+rB c=0,这就是说&,b,c的映象共面从而B为退化.又若B为