φ"k…|’|#…!…Ahq'”“t*,(311) 其中W是张量的权,而指标数目是它的阶,指标的上下在度量空 间(即9和g有定义的空间)里是非本质的。正如v和v;只是 同一几何量的不同表示法而已,可以用度量张量升降指标而由 种表示法转到另一种表示法。权和阶相同的几何量称为同型.对 于W=0情形常称为绝对张量反之,就有所谓相对张量,或张 量密度.我们注意,变换公式(3.11)关于qk是线性齐次,而 关于变换系数是代数齐次的.若在某具体坐标系里qkt 则在任何其他坐标系亦恒为零,这叫零张量.标量和向量是张量 的特殊情形,是零阶和一阶张量.√g是权为1的零阶张量密度 向量的每分量和v;随坐标系而变化,但向量ⅴ本身却是与 坐标系无关的,在任何坐标系里均可写成下面形式的一种: g≡v9 仿效向量我们也引进张量的不变性记法(或叫抽象记法绝对记 法,并矢记法): pV99;··9j9··g g 94R9 =(|4|"4}…4尘·Hg…k" 99:·9j9.g 99·9 q °"ggk9l (312) 这时q”k,t,…)……,q等就叫张量q在本坐标系的 各种分量.其实也可以倒过来用(312)式来代替(3.11)式作为张 量的定义,也就是说,凡可以在任何坐标系里写成如(312)不变形 式的量就是张量.今后我们将按方便用(31)或(312)式来鉴别 一组数的张量性和推导其他公式。 度量张量和 Eddington张量的并矢记法是 I=g;gg=99=8g=g"99; (313) E=6i9s=E1999=……=6999 (314) 可见度量张量和 Kronecker符号实质上是同一几何量 10
§4.张量代数 下面列举几种张量的代数运算,其结果仍然是张量.某些简 单证明将从略 (1)加法 只有同型的张量才能相加,其和仍是同型张量.分量相加时 必须将指标升降至相同结构 +η ggk:·g4+ 9g:··g;9 十 99:·9;9 t…99:··99·‘9 (41) 或 (12) 容易证明,在任何坐标系里均具有(312)的不变形式。从而其分 量的变换规律就是(311)式 (2)并乘 任何两张量的并乘定义为 5=(s2-t"”9…993·9)(ψ”,√- 99p99∵"g (W+w) .I )√g 9:··9g":·99pg9‘9 yg;""9j9·"9 sq9°"9 或 43) 积仍为张量,其权和阶分别为乘子的权和阶之和.注意张量的并 乘与次序有关 (3)缩并 若在并矢记法,例如
9=q 99;99k999 中将任意某两基向量点乘(例如9;和g,也可以取两个同是协变 或逆变基向量)其结果是较原张量低二阶的新张量(下面用的符 号φ是不明确的,还要具体看其并矢形式): p= p 999;9999 p1s 8; g:9k9 9 99992=tVg"9k99 中的张量性证明如下: i's'k Vg9;9k!99 q ey99;9k19 Pre"t√g"g;9j/9k9§9 p'lRrmplAP, N9) 4j ak Ar'A;' 4!'9:9; 9k9rg'g rJV 9 99; gkg'9 g99s9 证毕) 缩并可以连续进行:例如 9999k9g Prg88vg 9 999=+V99k9= 注意符号的表示法 若被点乘的是相邻近的基向量,则直接写 9:9,9P:99 9'=gigi gP 9% 9 (4)点积 这运算实质上是由并乘和缩并组成。也采用不太明确的符号 η表示
η=(5√gg9gg)( 9929299 (W十W) r 99j9p99 1g999gg=5 若点积所涉及的基矢是相邻近的,则直接记为 s:=(*√g“9999)(n,√9“9gn9g) 可以看出,通常的向量点积就是这里所定义的张量点积的特殊情 形 (5)叉积 只能运用于相邻近的基矢 2 炎η=(5√g"gg'g)(n√g"gg9) (W+H) =5kpq"√g 99g×9)(g2×g")g9 only k17 9999m9n99 SumAr v g;,g=s (6)指标置换 若对张量 p=kuVg 9.9;gkg'gg' 的分量同类(上标或下标如遇不同类时可将指标升降至同类)的 任意个指标变换次序,其结果是同型的新张量(注意我们今后将 贯采用基矢次序不变的原则)例如 xy9:999g=φ√g""ggg9gg= 可见,指标的次序是很重要的,每一列只能出现一个指标,例如我 们不能写q.有时为明确起见,我们将加一圆点,例如B+中第 13
列的圆点表示本列已为上标i所占 (7)对称代和反称化 若张量某一组同水平指标的任意两个经置换后所给出的张量 和原张量相同,则说这张量关于这组指标为对称。若和原张量相 差一符号,则称此张量关于这组指标为反称 若对已知张量的同类(同水平)N个指标进行N!不同的置 换,并且取所得的N!个新张量的算术平均值,这运算叫对称化 其结果张量关于参与置换的指标为对称,将它们放在园括弧内表 示之。例如 4(i)=1(ai+an) 2 a(1)3! 十 ax计+ahi;+a计;+aH) 若将指标经过奇数次置换的新张量取反符号后再求算术平均值 运算就叫反称化.结果张量关于参与置换的指标为反称,将这些 指标放在方括弧中以表示。例如 aui=-Caii-ain), 2! (8)商法则 这法则在简单情况下较晏说鳞您甸推广都是显然的 我们知道,如果叫“和b是张量肩b=d也必然是张 ,命, 量.现在提一个反过来的向题:诺下标系中按某规律都给出 3个数a(i),且有关系ai)bc对从1至3求和)其 中b为与以()无关的任意张☆圆是张量,则a(i)的变换 规律应如何 因在新坐标系中 14