第一部分三维欧氏空间张量分析 自然界的运动法则以及所出现的几何或物理量是与坐标系无 关的.不管有无坐标系例如,物体的任何一部分,总要处在(静的 或动的)平衡状态。但处理具体问题时。总得引进一个较方便的坐 标系。这样一来3连续介质的平衡方程除了反映微体平衡这一事 实外,还夹杂了由具体坐标系所招致而与平衡事实完全无关的东 西.这在理论研究中有时会引起不必要的复杂化,甚至遮盖所反 映的物理实质而使我们分辨不清.尽管都是平衡方程,在柱坐标 系和球坐标系的形式就完全不同.我们说,像这样的方程就不具 有与坐标系无关的不变性 为了摆脱这种状况,不采用坐标系的抽象记法曾经有过很大 吸引力.只运用标量和向量的一些力学分支广泛应用这种方法 但在出现复杂于向量的物理量的力学分支(如弹性力学)里单纯 的抽象记法有时显得并不方便.最常用的是张量方法.张量方法 就是既采用坐标系而又摆脱具体坐标系影响的不变性方法.它从 整体上使物理概念更明确了.本文准备通过并矢记法将张量方法 和抽象记法结合起来 第一章斜角坐标系(即仿射坐标系) §1.基向量和度量张量 令在三维欧氏空间中(在那里向量的点积和叉积有定义)斜 角坐标系由三个非共面向量g19293(不失一般性。今后均采用 右手系)确定,任意向量ⅴ可表达为这三向量的线性组合: v'9t t 092 f u'g 5
这里采用了 Einstein求和约定:凡重复一次且仅一次的上下指 标均从1至3求和.重复的指标叫官指标,可以任意代换,如 vg;=v9,为了求得分解系数u2(拉丁指标总是自1至3取值) 以9;点乘(1,1)式两边,并引进符号 G=91·9;(可以看出g;=9 (12) 后得 s 这个含三个未知量p的线性代数方程组有唯一解,因它的系数行 列式(鉴于9;非共面) d1=19·9=[99≠0 (14) 为了更方便的目的,再引进满足关系: 〔1当 9·9;=8 0当i≠讠 (15) 的三个向量g,称为逆变基向量,而9;则称为协变基向量(8} 般叫作 Kronecker符号).设方程(15)有解,则其解g必可表 达为9;的线性组合 9=9g (16) 这样,方程(1.5)的解的存在唯一问题就变成φ能否被唯一确定 的问题。为此将(16)式代回(15)式得 8;即g2 (17) 根据性质(14),作为满秩矩阵‖g‖的逆矩阵‖g‖存在且唯一. 利用 Cramer公式得 ag 代回(16)式即得g.直接代入(15),容易验证,g2也可表达为 9×墅,(<;<b) (19) [9:929] 1)矩阵l的行列式记为|9i或det9;l.矩阵lg;l的第1个指标总是行指 标 YX
以及 (i<j<饣 (110) 99 后面将说明,92亦为非共面故(110)式有意义。将逆变基向量g 点乘(1.1)式两边得 (111) 这比解方程组(13)方便多了。将9点乘(16)式两边又得 g·9=gg·g=g(显然g=g)。(1.12) 将(16)式两边乘以9x给出 :9=9y"9;=89;=9k (113) 公式(16)(113)2(1,(12)及(112)刻划出9;9,9;及gf间 的相互关系 从(17第二式又得行列式 1=|g"g;=|yrl·| ≠0 上式说明g也是三个非共面向量.这样,V也可表达为g2的线性 组合 j (114) 以9;点乘上式得 1.15) 将(11)式代入上式右边,或(114)式代人(111)式左边,分别得 U=9;·g=gnv (116) g·g"r=g"" 可以看出,分解系数v和u是不同的它们由(1.16)和(117)式相 互联系。今后称v;为v的协变分量,而v2为逆变分量.从形式上 看来:9;和g在上两式以及(1.6)和(13)式中起着升降指标的作 用,它们分别称为协变和逆变度量张量(理由后述)。总的说来给 出非共面协变基g;后就可求得9;⑨,g以及v的两种分量v 和v,v;和v只是同一几何量的不同表示法而已,因此三种说 法:“向量v,“向量p”或“向量v是等价的
§2.向量点积和叉积 任意两向量u='g,=g’,v=v9;=v;g的点积可表达 为 s·sj4 ;:U 若令u=v,则得v长度的平方|v2.可以看出。9;和g是点 积亦即求长度的核心度量张量一词即从这里而来 为了求叉积引进 Eddington张量: d 日=[99k],6t=[g9g为] (22) 这样,叉积u×v的协变和逆变分量就是 uxv·9;=[g9]v=6il' u Xv.9=[s'g'9 ]u,v, =giru, v, 在叉积中, Eddington张量具有和度量张量在点积中相类似的地 位 容易看到,u和ⅴ夹角的余弦以及u,V和w所定的体积分 别为 yath√沙v 和 luvw]=[gg ]u ,wk=6"; U; vk=0ieu'viwt §3.坐标变换和张量 我们再考虑另一个仿射坐标系它的协变基(亦设为右手系) 记为: gig (31)
则 [99?9]=A14A5[9k]=|A;|[99293],(3.2) 其中A是新协变基向量在协变基上的分解系数.因[993]> 0和[gn9g]>0,故行列式 A>0 (33) 新协变基g;的共基(协变基和逆变基互为共基) 当然也可表达为旧逆变基向量的线性组合: (35) 将(31)和(35)式代入共基的定义关系式(15)得 g·9y=(4g)·(49)=AA8=出.(3.6 这说明,Ai是满秩矩阵‖4的逆矩阵.从公式 gr·$=a;A;9;·9;=hnHy9 gp=g"·g"=A:'Aif9·g=AAj! eP!=[9/99]=h;4L991=hrA4e,((37) 你=AAA6时 lA; 得出结论给出4,(从而也就有A)后,由旧坐标系的各特征量 g;……sg可直接得出新坐标系的各特征量g,……,gf"',反之亦 然。 对向量v的分量n2v;和v,vp也有类似的变换关系,因由 9 i/gi i gi vva;9'=vig=vi Ai g (38) 得 d (39) va r= di ni (310) 可见,和A"在坐标变换中起着根本性作用,称为变换系数我 们将(37),(3.9)和(3.10)式进行推广.定义满足如下变换关系的 量为张量(有时也称为几何量每指标取具体值时相对应的数叫分 量3张量是指全部分量的有序整体):