Chapter 2 Hermite插值基函数 插值方法 B(x)=0 ① degree=2n+1 B(×)=901≠j(m)A(x)②有根x0,…,x,… 且除了x,都是2重根 →B(x)=c(x-x)2(x)因(x)=l→c=1 →B,(x)=(x-x)2(x) 所求的 Hermite插值多项式为 1 H2-1(X)=∑{xX)1-2(×-X)∑ 2(×)+f(x)x-X2(×) 注: Hermite插值多项式是唯一的(证:若Hn+1(x)与G2n+1(x) 都是所求的 Hermite插值多项式,则F(x)=H2n+(x)-Gn+1(x)有 n+1个二重根,x1,…,xn,又deg(F(x)≤2n+1,故F(x)=0.)
因 '() 1 i i β x = i j ' i j ij (x ) ij ( ) (x ) i j β = ≠ ΙΙ β =δ = = 0 01 ( ) i β x degree=2n+1, 有根 x0 , …, xi , …, xn 且除了xi 都是2重根 2 ( ) ( ) ( ) i i i ⇒ =− β x xx c l x ⇒ c=1 Hermite插值基函数 2 () ( ) ( ) i i i ⇒ =− β x xx l x 所求的Hermite插值多项式为 n n n i i i i ii i k i k k i H (x) {f(x )[ (x x ) ]l (x) f '(x )(x x )l (x)} x x 2 2 2 1 0 0 1 + 1 2 = = ≠ = −− + − − ∑ ∑ 注 Hermite插值多项式是唯一的 证 若H2n+1(x)与 G2n+1 (x) 都是所求的Hermite插值多项式 则F(x)= H2n+1(x)- G2n+1 (x)有 n+1个二重根x0 , x1 , …, xn 又deg(F(x)) 2n+1, 故F(x)= 0.)
Chapter 2 Hermite插值余项R2n+1(×)=f(x)+H2+(x)=? 插值方法 回顾: lagrange插值余项Rn(xX)=fx)P(x) f() (n+1 其中W(x)=(XX)(X×1).、xXxn XrX1r…yX为Rn(x)的根,Rn(×)有n+1阶零点.显然, 它们是 Hermite插值余项Rn+1(x)的二重根,即Rn+1(×)有2n+2 阶零点 定理2类a的合有题(果)戏不中间1内存 在直到2n+2阶导数则满足插值条件: 42n+4(X)=f(x),H2n+1(×)=f(x),i=01,…n 的 Hermite插值多项式Hn+1(x)的余项 R2+(X)=f(×)-H2n+1(×)= finS) WX 2n+2 其中,5∈[a,b]且与x的位置有关,W(×)=(X×)(X×1).xX) 应HUST
回顾:lagrange插值余项 n w x (n+1) n n f () R (x)=f(x)-P (x)= ( +1)! ( ) ξ 其中W(x)=(x-x0) (x-x1)..(x-xn) x0 , x1 , …, xn为Rn(x)的根, Rn(x)有n+1阶零点.显然, 它们是Hermite插值余项R2n+1(x)的二重根,即R2n+1(x)有2n+2 阶零点. 类似得 n R x n n w wx f K x x ( 2 + 2 2 + 1 2 2)( = ) = () (2 +2)! ( ) () () ξ Hermite插值余项R2n+1(x)=f(x)-H2n+1(x)=? 定理2.5 设区间[a,b]含有互异节点x0, x1, ...xn,而f(x)在[a,b]内存 在直到2n+2阶导数,则满足插值条件 H2n+1(xi)=f(xi), Hí2n+1(xi)=fí(xi) i=0,1,Ön 的Hermite插值多项式H2n+1(x)的余项 w x n (2n+2) 2 2n+1 2n+1 f () R (x)=f(x)-H (x)= ( ) (2 + 2)! ξ 其中, [a,b]且与x的位置有关, W(x)=(x-x0) (x-x1)..(x-xn)
Chapter 2 定理2.5的证明 插值方法 由插值条件:H2n+1(x)=f(x),H2n+1(x)=f(x),=01…n,则 R2n+1(×)=H2n+1(×)-f(×)=0;R2n+(X)=H2n+1(×)-f(x)=0, 令Rn*(x)=K(×)Ⅷ(x),构造辅助函数并应用Ro‖le定理来证明。 (1)在插值节点X~X1处R2n+1()=0余项公式显然成立 (2)对于[a,b]中异于插值节点XXn的x考虑辅助函数 F()=f()-H2n1(t)-K(x)n2(t)=R2n1(t)-K(x)2() F(×)=F(x1)=F(X2)=…=F(x)=F(x)=0 由Ro1l定理,存在0∈(xoX1),使F(20)=0 类似,共有n+1个互异点50,51,…,使F(t)=0 dw(t =2w()w'()∴F(x0)=F(x1)=F(×2)=…=F(X)=0 F()有2n+2个互异根50,51…5n,x,X1,…,Xn,由Role定理, 则存在ξ∈(ab)使F(5)=八m()-K(x)(2n+2)!=0 所HUsT
定理2.5的证明 由插值条件: H2n+1(xi)=f(xi), Hí2n+1(xi)=fí(xi) i=0,1,Ön 则 R2n+1(xi)= H2n+1(xi) -f(xi)=0 Rí2n+1(xi)= Hí2n+1(xi) -fí(xi)=0 令R2n+1(x)=K(x)W2(x),构造辅助函数并应用Rolle定理来证明 1 在插值节点x0~xn处,R2n+1(xi)=0,余项公式显然成立. 2 对于[a,b]中异于插值节点x0~xn的x,考虑辅助函数 Ft ft H t w t R t w t n n Kx Kx 2 2 2 +1 2 +1 ()= ()- ()- ()= ( ( ) ) - ( ) ( ) F(x0)= F(x1)= F(x2)=Ö= F(xn)= F(x)=0 由Rolle定理,存在 0 (x0, x1),使F’( 0)=0 类似,共有n+1个互异点 0 , 1,…, n使Fí(t)=0 2 ( ) = 2 ( ) '( ) dw t wtw t dt Fí(x0)= Fí(x1)= Fí(x2)=Ö= Fí(xn) =0 Fí(t)有2n+2个互异根 0 , 1, …, n x0 , x1 , Ö,xn 由Rolle定理, 则存在 (a,b).使 n n Ff n K x (2 +2) (2 +2) ( )= ( )- (2 + 0. ξ ξ ( ) 2)!=
Chapter 2 插值方法 :当n=1时,满足插值条件 H3(×)=f(X),H3(x)=f(×),i=0,1 的插值公式: a()=(1+20)),a(x)=1+2x)(), x X-X 风(x)=(x-x))2 β(x)=(x-x) x0-x1 11-x0 H3(x)=f()a(x)+f(x)01(x)+f(x)6(x)+f(x)(x) R(x)=f(x)=H3(x) (ξ) 4! (x-x)(x-x)2x<5<x 应HUST
注:当n=1时 满足插值条件 H3(xi)=f(xi) Hí3(xi)=fí(xi) i=0,1 的插值公式: x x x x x xx xx 0 1 2 0 10 01 - - ( ) =(1+2 )( ) , - - α x x x x x xx xx 1 0 2 1 01 10 - - ( ) =(1+2 )( ) , - - α x x x xx x x 1 2 0 0 0 1 - ( ) =( - )( ) , - β x x x xx x x 0 2 1 1 1 0 - ( ) =( - )( ) , - β H x fx x fx x f x x f x x 3 00 11 0 0 11 ( ) = ( ) ( )+ ( ) ( )+ '( ) ( )+ '( ) ( ). αα β β f R x f x Hx xx xx x x (4) 2 2 3 3 0 10 1 ( ) ( )= ( )= ( )= ( - ) ( - ). < < . 4!ξ ξ