5 3.375 340623.3906 25 339063.406233984 25 5 375 7.下面是求√a(a>0)的两个迭代格式 (1)xn1=(xn+2)(2)xn+1=(xn+ 8ax a+3 求它们的收敛阶。 解(1)(x)=n1× (*1) (√G)=(√a+) √a是x=0(x)的根。 我们将(*1)式进行变形,得2x0(x)-x2-a=0 方程两边对x进行求导,得 2xq(x)+20(x)-2x=0→q(Va)=0 再对上式求导,得 2x"(x)+4(x)-2=0→0"(√a) ≠0
5 3.375 3.4062 5 3.3906 25 - 6 3.3906 25 3.4062 5 3.3984 375 - 7．下面是求 a a( 0) 的两个迭代格式： （1） 1 1 ( ) 2 n n n a x x x + = + （2） 1 2 1 8 ( ) 3 3 n n n n ax x x a x + = + + 求它们的收敛阶。 解 （1） 1 ( ) ( ) 2 a x x x = + （*1） 1 ( ) ( ) 2 a a a a a = + = a 是 x x =( ) 的根。 我们将（*1）式进行变形，得 2 2 ( ) 0 x x x a − − = 方程两边对 x 进行求导，得 2 '( ) 2 ( ) 2 0 x x x x + − = '( ) 0 a = 再对上式求导，得 2 ''( ) 4 '( ) 2 0 x x x + − = 1 ''( ) 0 a a =
故所给迭代格式为二阶收敛。 8ax (2)Q(x)==(x+ 2 )(*2) 3a+3x 8a ∴(√a)=(a+ a+3a a是x=p(x)的根。 我们将(*2)式进行变形,得 (a+3x2)(x)-3ax-x3=0 方程两边对x进行求导,得 6x(x)+(a+3x2)q(x)-3x2-3a=0 →q(√a)=0 对上式求导,得 60(x)+120(x)+(a+3x2)0"(x)-6x=0 →o"(a)=0 再对上式求导,得 60(x)+(12+6x)“(x)+(a+3x2)q"(x)-6=0 →q"(ya)=≠0
故所给迭代格式为二阶收敛。 （2） 2 1 8 ( ) ( ) 3 3 ax x x a x = + + （*2） 1 8 ( ) ( ) 3 3 a a a a a a a = + = + ， a 是 x x =( ) 的根。 我们将（*2）式进行变形，得 2 3 ( 3 ) ( ) 3 0 a x x ax x + − − = 方程两边对 x 进行求导，得 2 2 6 ( ) ( 3 ) '( ) 3 3 0 x x a x x x a + + − − = '( ) 0 a = 对上式求导，得 2 6 ( ) 12 '( ) ( 3 ) ''( ) 6 0 x x a x x x + + + − = ''( ) 0 a = 再对上式求导，得 2 2 6 '( ) (12 6 ) ''( ) ( 3 ) '''( ) 6 0 x x x a x x + + + + − = 3 '''( ) 0 2 a a =
故所给迭代格式为三阶收敛。 8.设x0充分接近方程x"-a=0的某个根x,给 定迭代函数xn+1=(xn),其中 P(x)=x (m-1)x+(m+1)a (m≥2) (m+1)x"+(m-1)a 试证{xn}至少有三阶收敛速度。 证明:因为初值充分接近根x,所以我们可以用定 理3来证明。 ∴x是方程x"-a=0的根,∴(x)=a。并且 P(x)=x (m-1)(x)"+(m+1)a (m+1)(x)"+(m-1)a 我们将(1)式进行变形,得 (m+1)x"+(m-1)a|o(x)-(m-1)xm+1 (m+1)ax=0 对上式求一阶导数 m(m+1)xmo(x)+(m+1)xm+(m-1alo'(x) (m+1)m-1)x"-a(m+1)=0 解得:2mq(x")=0
故所给迭代格式为三阶收敛。 8．设 0 x 充分接近方程 0 m x a − = 的某个根 * x ，给 定迭代函数 1 ( ) n n x x + = ，其中 ( 1) ( 1) ( ) ( 1) ( 1) m m m x m a x x m x m a − + + = + + − ( 2) m （1） 试证 { }n x 至少有三阶收敛速度。 证明：因为初值充分接近根 * x ，所以我们可以用定 理 3 来证明。 * x 是方程 0 m x a − = 的根， * ( )m = x a 。并且 * * * * * ( 1)( ) ( 1) ( ) ( 1)( ) ( 1) m m m x m a x x x m x m a − + + = = + + − 我们将（1）式进行变形，得 1 ( 1) ( 1) ( ) ( 1) ( 1) 0 m m m x m a x m x m ax + + + − − − − + = 对上式求一阶导数 1 ( 1) ( ) ( 1) ( 1) '( ) ( 1)( 1) ( 1) 0 m m m m m x x m x m a x m m x a m − + + + + − − + − − + = 解得： 2 '( ) 0 ma x =
则有(x)=0。对上式再求导数 m(m+1)(m-1)xgp(x)+2m(m+1)x"g(x) +[(m+1)x+(m-10V(x)-(m+(m-)mx2=0 解得:2m"(x")=0则有"(x)=0。 故所给迭代格式至少三阶收敛。 k 10.设a>0,应用牛顿迭代法分别求x a=0与 小=0之根,从而导出{a的两种迭代格式,并 √75,取x=4,E=10 解(1)f(x)=xk-a=0 其牛顿迭代格式为: (k-1)xn+ C k-1 k k (2)f(x)=1 0 其牛顿迭代格式为:
则有 * '( ) 0 x = 。 对上式再求导数 2 1 1 ( 1)( 1) ( ) 2 ( 1) '( ) ( 1) ( 1) ''( ) ( 1)( 1) 0 m m m m m m m x x m m x x m x m a x m m mx − − − + − + + + + + − − + − = 解得： 2 ''( ) 0 ma x = 则有 * ''( ) 0 x = 。 故所给迭代格式至少三阶收敛。 10．设 a 0 ，应用牛顿迭代法分别求 0 k x a − = 与 1 0 k a x − = 之根，从而导出 k a 的两种迭代格式，并 求 3 75 ，取 4 x0 = ， 6 10− = 。 解 （1） ( ) 0 k f x x a = − = 其牛顿迭代格式为： 1 1 1 1 ( 1) k n n n n k k n n x a a x x k x kx x k + − − − = − = − + 。 （2） ( ) 1 0 k a f x x = − = 其牛顿迭代格式为：
k k+1 a/x n+1 k+1 (1+) ak/x k ak 在上述两种迭代格式中分别取a=75,k=3, x=4,并且要求E=10,由此求得375的近似 值(421716421)。 习题三 2.用列主元素法解下列方程组 4x1+2x+X2=7 (1) 2x1-5x2,+2x3=-1 x1+2x+6x3=9 5x1+x 2 6 (2){x1+5x2-2x3 2x2+4x2=3 解(1)考查方程的增广矩阵 421|7 42 2-52-1→063/29/2 1269 03/223/429/4
1 1 1 1 / 1 (1 ) / k k n n n n n k n a x x x x x ak x k ak + + + − = − = + − 在上述两种迭代格式中分别取 a = 75 ， k = 3 ， 0 x = 4 ，并且要求 6 10− = ，由此求得 3 75 的近似 值（4.21716421）。 习题三 2．用列主元素法解下列方程组 （1） 1 2 3 1 2 3 1 2 3 4 2 7 2 5 2 1 2 6 9 x x x x x x x x x + + = − + = − + + = （2） 1 2 3 1 2 3 1 2 3 5 6 5 2 1 2 4 3 x x x x x x x x x − + − = − + − = − − − + = 解 （1）考查方程的增广矩阵 4 2 1 7 2 5 2 1 1 2 6 9 − − → 4 2 1 7 0 6 3/ 2 9/ 2 0 3/ 2 23/ 4 29/ 4 − −