6.复习部分分式展开法 结束 在线性电路中，电压和电流的象函数一般形式为 F附=Ng=s+a,sm1+OU0 D(s) bk"+b1sr-1+00☐ 式中m、n为正整数n且在电路分析中有n心m。 部分分式展开法就是把上式分解为若干个如表14-1所 示的简单函数之和，然后逐个求得反变换。 口当n>m时，Fs)为真分式； 0 当n=m时，用多项式除法将其化为：Fs)=A N(s) D(s) 0 部分分式为真分式时，需对分母多项式作因式分解， 求出D(S)=0的根。分三种情况讨论。 14六月2023 11
结束 14 六月 2023 11 6.复习部分分式展开法 F(s) = D(s) N(s) = a0 s m + a1 s m-1 + +bb 0 ms n + b1 s n-1+ +bn 在线性电路中，电压和电流的象函数一般形式为 式中m、n为正整数，且在电路分析中有n≥m。 部分分式展开法就是把上式分解为若干个如表14-1所 示的简单函数之和，然后逐个求得反变换。 当n > m时，F(s)为真分式； 当n = m时，用多项式除法将其化为：F(s) =A + D(s) N0 (s) 部分分式为真分式时，需对分母多项式作因式分解， 求出 D(s) = 0 的根。分三种情况讨论
口情况1Ds)=0只有单根 结束 F(= S-P1 S-P2 P1P2、.、Pn为DS)=0的n个不同单根，它 们可以实数，也可以是（共轭）复数。 K1、K2、·、K为待定系数。确定方法如下： 方法1：按K,=Iims-p)Fs)确定，i=1,2,3,.,n sPi 方法2：用求极限方法确定K,的值。 按K,=lim s-P)N(s 2=lin (s-pi)N'(s)+N(S)_N(p) sP;D(s) sOPi D'(s) D'P) i=1,2,3,.,n 14六月2023 12
结束 14 六月 2023 12 情况1 D(s) =0 只有单根 K1、K2、··· 、Kn 为待定系数。确定方法如下： F(s) = s- p1 K1 + s- p2 K2 + + s- pn Kn p1、p2、. 、pn 为D(s) =0 的n个不同单根，它 们可以实数，也可以是(共轭)复数。 方法1：按 Ki =lim s pi (s- pi )F(s) 确定， 方法2：用求极限方法确定 Ki 的值。 按 Ki =lim s pi (s- pi )N(s) D(s) =lim s pi (s- pi )N'(s)+N(s) D'(s) = D'(pi ) N(pi ) i =1,2,3, ···, n i =1,2,3, ···, n
P352例14-6求F6)= 2s+1 的原函数。 s3+7s2+10s 结束 解：s3+7s2+10s=0的根分别为：p1=0,p2=-2,p3=-5 用K,=Iim(sp)Fs)确定系数。 sOPi K=limsF(s)片lim&, 2s+1 =0.1 S00 s00S3+7s2+10 K2=lim(s+2)F(lim (s+2) 2s+1 =0.5 S0-2 S0-2 s+2)s+5) K3=lim(s+5)F(lim (s+5) 2s+1 -=-0.6 S0-5 s0-5 (s+2)(s+5) F6=0.1+0.5+-0.6 S S+2 S+5 反变换：ft)=0.1+0.5e2-0.6e5t 14六月2023 13
结束 14 六月 2023 13 P352 例14-6 求 F(s) = 的原函数。 s 3 +7s 2 +10s 2s +1 解：s 3+7s 2 +10s=0的根分别为： 用Ki =lim (s-pi )F(s) 确定系数。 s pi K1=lim sF(s) s 0 s 0 s 3 +7s 2 +10s 2s+1 =lim s =0.1 K2=lim(s+2)F(s) s -2 s -2 =lim (s+2) 2s+1 s(s+2)(s+5)=0.5 K3=lim(s+5)F(s) s -5 s -5 =lim (s+5) 2s+1 s(s+2)(s+5)=-0.6 反变换：f(t) = 0.1+0.5e-2t -0.6e-5t F(s) = s 0.1 + s+2 0.5 + s+5 -0.6 p1=0, p2=-2, p3=-5
情况2：在情况1中，若D(s)=0有共轭复根 pi=a+jw,p,=a-jw 结束 原则上也是上述方法，只是运算改为复数运算： K N(a+jw) D'(a+jw K2 N(a-jw D'(a-jw 因Fs)是实系数多项式之比，故K1、K必是共轭复数 若K1=|Kle加1，则必有K2=|K1lej加1证明从略。 )=Kje(a+jw)+Ke(a-jwKeiqe(a+jw)+Kejqe(a-jw =Kjlear [ei(qi+wa +e- 口辖送H公式得：和=2K1ecos(wt+q1) 14六月2023 14
结束 14 六月 2023 14 情况2：在情况1中，若D(s) =0有共轭复根 原则上也是上述方法，只是运算改为复数运算： p1=a+jw，p2=a-jw K1= D'(a+jw) N(a+jw) K2= D'(a-jw) N(a-jw) 因F(s)是实系数多项式之比，故K1、K2必是共轭复数 若 K1=| K1 | e j 1， 证明从略。 f(t)=K1 e (a+jw)t+K2 e (a-jw=)t |K1 |ejq1e (a+jw)t+|K1 |e-jq1e (a-jw)t =|K1 |e at [e j(q1+wt) + e - j(q1+wt)] 根据欧拉公式得：f(t) = 2|K1 | eatcos(wt+q1 ) 则必有K2=| K1 | e -j 1
P353例14-7求Fs)= 5+3 52+20+5 的原函数f)。 结束 解：求s2+2s+5=0的根 卫1=1+j2,p2=-1-j2→口 =-1,=2 -1ti=0.5-j0.5=05/2c1号 K1=D(1+2) 1Kl=0.5V2 01= 代入：0=2 Kil e fcos((口+口1)得原函数 A)=2 ecos(2t-P) 14六月2023 15
结束 14 六月 2023 15 解：求 s 2 +2s +5 =0 的根 P353 例14-7 求 F(s) = s 2 +2s +5 s +3 的原函数 f(t)。 p1=-1+ j2，p2=-1-j2 =-1， =2 K1= D'(-1+ j2) N(-1+ j2) = 0.5 - j0.5= 0.5 2 e -j 4 |K1 | = 0.5 2 1=-4 代入：f(t) = 2|K1 | e tcos( t+ 1 ) 得原函数 4 f(t) = 2 e -t cos(2t - p)