3梳理典型函数的拉氏变换（应该记住) 结束 (1)单位阶跃函数0=e()一c[e(01卡 (2)单位冲激函数f(=d(=C[d(t1=1 3)指数函数f0=ea(a为实数)Ce叫-a (4)正弦函数f)=sin(口) C [sin(2 (5)余弦函数f)=c0s(口) Ieo心（☐154n2 (6)斜坡函数)=t c-时 常用的拉氏变换表见教材P350之表14-1。 14六月2023 6
结束 14 六月 2023 6 3.梳理典型函数的拉氏变换（应该记住） (1)单位阶跃函数 f(t) = e(t) ℒ [e(t)]= s 1 (2)单位冲激函数f(t) = d(t) ℒ [d(t)]=1 (3)指数函数 f(t) = eat (a为实数) ℒ [e at ]= s-a 1 (5)余弦函数 f(t) = cos( t) ℒ [sin( t)] = s 2+ 2 ℒ [cos( t)] = s 2+ 2 s (6)斜坡函数 f(t) = t ℒ [t]= s 2 1 常用的拉氏变换表见教材P350之表14-1。 (4)正弦函数 f(t) = sin( t)
4.本章频繁使用的拉氏变换的基本性质 结束 (1)线性性质设：￡[f]=FS),C[f]=FS) 则：A1f)+A2f2()FA1FS)+A2F2s) (2)微分性质 比例、叠加 若C[)小=Fs),则C[f'(=sFs)f0.) 推论[f(0=s"Fss-f0.)-sw-2f'(0.)-☐口口fm-( 该性质可将f()的微分方程化为Fs)的代数方程。 (3)积分性质 若cI=F则ad=时Fs 口拉氏变换的其他基本性质 14六月2023 >
结束 14 六月 2023 7 4.本章频繁使用的拉氏变换的基本性质 (1)线性性质 设：ℒ [ f 1 (t)]=F1 (s)， 则：ℒ [A1 f 1 (t) +A2 f 2 (t)] (2)微分性质 若 ℒ [ f(t)]=F(s)， 该性质可将f (t)的微分方程化为F(s)的代数方程。 (3)积分性质 若 ℒ [ f(t)]=F(s)，则 ℒ∫ 0- t f (t) dt = s 1 F(s) 推论 ℒ [ f (n) (t)] ℒ [ f 2 (t)]=F2 (s) =A1F1 (s) +A2F2 (s) 则 ℒ [ f '(t)] = sF(s)-f(0- ) =s nF(s)s n-1 f(0- ) -s n-2 f '(0- ) - -f (n-1)(0- ) 比例、叠加 拉氏变换的其他基本性质
(4)延迟性质 若C[f)]=Fs),又K0时f)=0。 结束 则对任一实数t有：ft-t)】=esFs) 如：在7-7中，阶跃函数可以合成矩形脉冲。 us()=Us口()-Us口(t us 口求矩形脉冲的象函数。 Us c[eol专 C[e(t-tles如 2es0 S S =s(1-es如) 14六月2023
结束 14 六月 2023 8 (4)延迟性质 若 ℒ [f(t)]=F(s)，又t<0时 f(t)=0。 则 对任一实数 t 0 有：ℒ[f(t-t 0 )]= e-st0 F(s) 如：在7-7中，阶跃函数可以合成矩形脉冲。 uS (t) =US (t) -US (t- ) t uS (t) t o 求矩形脉冲的象函数。 US ℒ [e(t)] = s 1 ℒ [e(t-t)] = s 1 e -s ℒ [uS (t)] = s US - s US e -s = s US (1-e -s )
(⑤)卷积性质 结束 若f④)、)在长0时为0 则f)和f)的卷积定义为 [f④口0]f:xxdx☐7-9卷积积分 口取拉氏变换有 Lf()口fI=Fs)FS) *(6)位移性质：C[etf)]=F(s-m) *(7)初值定理：0)=sFla口 通过象函数求初 *(8)终值定理：口)=SFs川s如0 始值和稳态值。 14六月2023 9
结束 14 六月 2023 9 (5)卷积性质 *(6)位移性质： ℒ [e at f(t)] =F(s-a) 若 f 1 (t)、f 2 (t) 在 t<0 时为 0 [ f 1 (t) f 2 (t) ] = ℒ [f 1 (t) f 2 (t)] =F1 (s) F2 (s) 0 t f 1 (t-x)f 2 (x)dx 取拉氏变换有 则 f 1 (t) 和 f 2 (t) 的卷积定义为 7-9 卷积积分 *(7)初值定理： f(0) =[s F(s)]s *(8)终值定理：f( ) =[s F(s)]s 0 通过象函数求初 始值和稳态值。
5.拉氏反变换 c+j▣ 结束 ①利用公式 f0=, □F(s)es dt 2pj jo 公式涉及到以s为变量的复变函数的积分，比较 复杂。工程上一般不采用这种方法。 ②若象函数是，或者稍加变换后是表14-1中所具有 的形式，则可以直接查表得到原函数。 ③ 部分分式展开法：把F(s)分解为简单项的组合 F6)=F+F)+爱安换0=0++口 能运用自如。 14六月2023 10
结束 14 六月 2023 10 5. 拉氏反变换 ① 利用公式 f(t) = 2pj 1 c-j c+j F(s) est dt ② 若象函数是，或者稍加变换后是表14-1中所具有 公式涉及到以 s 为变量的复变函数的积分，比较 复杂。工程上一般不采用这种方法。 ③ 部分分式展开法：把F(s)分解为简单项的组合 的形式，则可以直接查表得到原函数。 F(s) =F1 (s) +F2 (s) + f(t) =f 1 (t) +f 2 (t) + 能运用自如。 反变换