得 a1ag=(a+1)a+(2+1)d2, 因(a1,a2)=1,可得 a12十1,82c1十1， 因为2十1>0，+1>0，故 x2+1≥1，的1十12， 得 1a2=(的+1)a1+(2+1)a2212, 此不可能，所以在%=1Qg一1一aa时，(2)没有非负解c1≥0， 2≥0.证完 此定理可简述为：设(1，a2)=1,>0,a2>0,凡大于 2一a1一2的数必可表为1十2的(1≥0，≥0)之形状， 但2一一2不能表成此形状 人们自然会提出这样的问题，对于一般的8(s≥2)元线性 型a11十…十，m>0(=1,,S),(1,,ag)=上，是否 存在一个仅与a1,…,a有关的整数N(a1,,aa),凡大于 N(1,,g)之数必可表为1花1十…十化（≥0，=1，*， 8)的形状？问题的回答是肯定的.下面就来证明这个结果. 定理2存在仅与，…，g有关的整数N(a1,…,a), 当n>N(a1,…,a)时，(1)有非负解1≥0，…，≥0. 证我们对&施行归纳法。 由定理1,8=2时定理显然成立， 设8一1个元时定理成立，我们来证明&元时的情形。设 (,…,-）)=d,a=函d(g=1,…,8-1)；由(，…，a) =1可知(d,a)=1,从而可把(1)化成：存在0≤b。≤d-1,使 a,b。三%(modd).由(1)得 r十…叶G-1g41=外一a d (8) 由于(d,",)=1,由归纳假设，存在整数N(,, 。9
-),当=≥见二-卫>N(d,,a-d时，(3有 d 非负解1=五1，…，4-1=6。-1，即当 %>dN(,…,dg-）+a,(d-1)=N(,,a,) 时，(1)有非负解=b,…,-1=b,-,x。=b.证完. 这个定理还告诉我们，对8元(s≥2)线性型&1十…+ i 4,>0(夜=1，，8，(，…，a8)=1,存在一个仅与，…， as有关的整数g(a,,a),凡大于g(a,,ag)之数必 可表为11十…十a心a(4≥0，一1，…，8)的形状，而g(a,…, )不能表为1您1十'…+a,(≥0，.=1，，8)的形状，因 此，称g(@1,…,a)为所给线性型的最大不可表数.求出 g(a,",)的问题，即所谓一次不定方程的Frobenius问 题.由定理1知，8-2时，robenius问题已告解决：我们求 得g(a,a2)=一a1一cg但是，对于8≥3，一般地只找到 了求出g(1,…,a)的一些算法.对于m=3,我们有 定理1出 ab 9a,6,o)≤7a,26+ea,6)-&-6-c (4) 且当 C> ab G a,br-a,0-a,6 (⑤) 时，有 g(a,b,。)=66+ca,b)-a-b-c, (6) 显然，以上a,b,c可以轮换. 证由§2的(12)知，c+by十c%=%的全部解可表为 g=十b1t1-21Ctg,ye0-%1一2ct2,g=20+dt2, [1]柯召，关于方程十y十c2=,四川大学学报（自然科学版），1 (1965),14. 410
其中n,yo,o是ac十by十2=n的一组解，(a,b)=d,=a, bdb,,2满是a十a22一1，，2为任意整数.不难 知道，可取整数2使 0s名=o十d形2≤d一1， 对于这样的2，还可以取适当的1，使得 0≤c=o+b一Ct2≤b1-1, 对于上画选定的，，在>2十ca,8)-a-6-c时， ab 有 6(yo-a1ti-u2ct2)=n-a-ca ≥%-a(61-1)-c(d-1)=%-ab1-Gd+&+c (a,6-(a,0+8+>-b ab 即得y>-1或 3o-@1ta-tgct0, 这就证明了(4)， 现在，我们来证明由（句可推出(6）式.由于G勿=血 b,'c(a,b)=cd,若设g(a,b,)可表，即 g(a,b,c）=da1b1十cd--b-c=w+by+c, 则有 d(e1b1+c)=da(x+1)+db(y+1)+c(z+1),( 由于(d,c）=1,(7)式推出d|+1;令名十1=%，由z≥0，故 >0,代入(T)并在两端消去d,得 1b:+G=a1(c+1)+b1(y+1)+ck, 则有 1b1=a(x+1)+b1(y+1)+c(h-1), (8) 如果面=1，由(，b)=1,(8)式推出则十1，x+1, +11◆
之y十1>0，，1>0，有y+1≥1，x+1≥b1,这时(8)式给 出矛盾结果a11产2,1.如果无>1，(8)式给出1b11+ 1+c,与(5)矛盾.故(6)式成立.证完. 从(6)式及定理1，立刻可得： 推论1如果(a,b)=1,c>g(a,),则 g(a,b,c)-g(a,b). 推论2设a=入w,b=y,c=y风，入>0，u>0,Y>0, (,)=(,Y）=(a,y)=1,则 g(a,b,0)=2huy-hu-wy-yh. 证由于 y>4y-业-y=yi-X-Y, 故有 g(a,石，c）-h业+uy--y-y% =2uyA-u一y-y入. 例设a=12,b=13,0-28,由于 28>12x13 12 13 (12,13)(12,13)(12,13) 不能成立，只能得出 g(a,6,。≤12×1)+28(12,18)-12-13-28-131. 但知果将4，B,·作如下轮换：a→c→b→，用轮换所得公 式，当 "(e,a)"(o,a)(c,a)' A 赠ga,8o-ge,。6创=g+a。)-a-b-0 此时， ◆12◆
28×12 28 12 13> (28,12-2812-28,1=21-7-81, 9(a6,0)-28×费+13(28,12)-28-12-18 即线性型12十13y+28z的最大不可表数为83. §4联立一次不定方程组 对于联立的情形，我们首先证明 定理1设工()=a11十十a,(r=上，"，)，ay≥ 0,,=1,",8,是$个整系数的线性型，设其系数矩阵 D=(aw),且1D{>0,则存在单位模变换 /X1 (1) 变L()(m=1,…,8)为 C1X玉，C21X1十CgX3,C1X1十：十CX, i 这里0r>0(n=1,…,S,0≤1，Cr2,…,4,r-1<Cw,y=2, &.且 |D]-C1…G. 证 设11÷(a11,,)>0,由$2定理1的推论知， 存在单位模变换 : (2) 使L,()(r=1,…,)变为 C心a+,c21cg+1十c22+3十…十吃sD2y”,c%1g+1 十心2ca+9十…十C2, (3) ◆13