§28($≥2)元一次不定方程 设$≥2,8元一次不定方程是指 11十62十…十花s=0, (1) 其中(=1，…，8)，%都是给定的整数，☑n≠0. 我们有 定理1(1)有解的充分必要条件是 (1,2,…,as)n。 (2) 证(1)如有解，显然(2)成立. 反之，如果(2)成立.不失一般，可设(a1,…,)=1, a>0(=1,,8),1是1，，中最小的数写 ay=91十r)0≤y<1, 如果a1=1,则(1)的解为=%一2一…一a,如a1>1, 则2，…，r。中至少有一个不为0，设 1=a+1920g+3一934+3一421 (3) 新=防+电兰2，$， 把(3)代入(1)得 1s+1十Tg+2十T48十…十90=n, (a,r2",r)=1, (4) 因为(3)的变换矩阵的行列式为1，所以(1)的解(，，) 与(4)的解(+1，的a+2,”,c2)之间是一一对应的.因此只 解(4).不失一般，设2是，，，中最小的正数，写 1-t102+,0≤1<r2, y=r2十，0≤Ly<r2,j=3,…,8 设1，，，中至少有一个不为0. 再设 …4·
花g+1=龙24+1 见1+2=一i12s+1↓化2g+3-本3028+3一…一t化3g (6) 司+3=花gs+了=3，…，8， 把(5)代入(4)得 乙128+1十r2C2g+2十sx2s+8十…十乙8=%， (亿，r2,3,…,)=1 (6) 因为()的变换矩阵的行列式为1，所以(4)的解与(6)的解之 间是一一对应的，因而(1)的解与（⑤）的解之间是一一对应的. 因此只需解(6).设是1，，…，乙中最小的正数，继续作 下去，因为>2>3>…，在有限步之后，存在≥1和行 列式为1的变换 花k-1a+1=s+1一2g花ka+9一2gk8+3一+1一Mwa+n (T) t-18+5=8+,1=2,…,S. 使得 0%8+1十V2ka+9十…十2)+a=%, (8) 再令 m4+1=X1-2v2X2一…一2X41 (9) 宽+3=X力j-2,…,8, 代入(8)得 X1-m,· 再将X1=%代入(9)得 矿s+1=元一 盒Xn-Xh方=2，马， 逐次代入，最后可得，…，的一组含8一1个参数X,, X。的解，证完」 设8阶方阵A,A的元素均为整数，A的行列式A= 士1，形如 5*
(10) X. 的变换叫单位模变换.由于变换(9)、(7)、…、(3)均为单位模 变换，单位模变换的乘积仍是单位模变换，因此由定理1的证 明，立即可得 推论存在单位模变换(10)，把11十·十%，(1，*， a)-1,变为X1. 由定理1的证明还告诉我们(1)的通解含8一1个参数， 上一节给出了8一2的通解公式，由此可推出8=3时(1)的通 解公式，$>3的情形可以逐步推出。下面我们来证明 定理2设(，b,c）m1,(,)=d,&rda,b=d功1，不 定方程 c十by+c2=% (11) 的全部解可表为 xa0+b西一hcg,y=6-1t1-2ct2,2=0+dt2,(12) 其中，，0是(11)的一组解，，2满足1w1+b1=1, ,2为任意整数 证对于任意的整数，，将(12)代入(11)，易知是(11) 的一组解. 反之，设出，，名是(11)的一组解.由 axo+6yo+czo=n,ax+by+cz=n, 可得 d(a(x-o)-+(u-yo))=-c(2-o), (13) 由(d,c)=1,故有整数2，使 名=十g (14) 6
将(14)代入(13)得 1(-0)+i(g-o)=一c2, (15) 由于一山1ct2和一ct2是a1X十b:Y=一c的一组解，由 (15)存在整数，使 =x0十b11一hc$2,y=0一a1t1一u2ct2, 这就证明了(11)的任一组解可表为形状(12).证完. 例求出不定方程 25x1+13x2+7%=4 (16) 的全部解。 我们用证明定理1充分性的方法来求解.由于25一3× 7+生，13=1X7+6,可设m花cg=,a-34-c6+, 代入(16)得 4c4+6x6+76-4, (17) 由于6=4+2,7=4+3，可设4=一如8一的，s=g,0= 代入(17)得 4+2x8+3%=4, (18) 由于4=2X2,3-2+1,可设4=c10,8=-210十1一必1 =2,代入(（18)得 211十12=4， (19) 最后设C22=X1一2X3,c11=Xg,10=X,代入(19)得 X1=4, 故一4一2X2,11=X2,10=X8,逐次代入，可得 恋1=一X2十3X8,您2=3X多-2Xa-4, 3=-2X2-7Xg十8， (20) 其中X,Xa为任意整数.（②0）就是(16)的通解. 年7
§3关于一次不定方程的 Frobenius间题 设8≥2，%和(=1，…，8)都是正整数，且(1，…，心，) “1,考虑一次不定方程 11+…十化g,x究 (1) 的非负解0（花1，…，）的问题.在82时，我们有 定理1在%>a12一1一a时，(I)有非负解1≥0,2 ≥0，但在n=12一一a2时，(1)没有非负解g1≥0，≥0. 证由§1的定理1知 11十a22=驼 (2) 的全部解可表为 花1心1十t,他2=的一1， 其中，%是（②）的一组解，为任意整数.不难知道，可取古 使 0s2=的一t<a1, 即 0≤城-1t≤a1一1， 又由%>ab1-a1-b1可得 (+2t)a1=n-(a一a1t)2 >1%2---(a1-1)=一， 即 的+a2t>一1， 故对上述来说 1=+2t会0， 这就证明了n>1a2一1一a2时，(2)存在解≥0，c2≥0. 如果=12一&1一ag,(②)有解1≥0,3产0.则由 ag一1一42=411十g的 8