设(d,”,c2)-c22>0,再由定理1的推论知，存在单位模 变换 g+2 花感+2 28+日 t23 把c22+2十…十c2,2a变为c22心2s+2,于是存在单位模变换 0g+1 0+1 10…0 2s+2 0 -P2 32对+2 P2- (4) C23 把(3)变为 C112+1,C21花24+1十C222a+3,…, d1c2s+1十dcg+8十十0age, (5) 设c21=g622十2,0≤c虹<c22,显然存在单位模变换 2+1±1+1，G2+2=一夏+1十+2，花2a+H=的+力 j=3,…,5, 把（⑤）变为 Cu22+1,G21的+1十C2+1,8124+1十十dw心4， 如此继续下去，因为每次施行都是单位模变换，故最后存在单 位模变换(I)把()(r±1，，)变为 0X1,C2rX1+c2gX2,…,CedX1十…十caaX, C110 0 0 14
C11 0 …0 0 故 DP- G21C22 Ca1G2·+·08 即得{D|=C11…c, 其中 crr>0,(r=1,…,8);0≤cr,Cr2,, 0r-1<cr(m=2,…,s). 证完 以上定理给出了$个线性方程组 L1()=a111+a202+…+a1a=n1, L2(e)=a211十ag2十…十a2g=%2 (6) 工，(x)=1十a2g十…十aa=%g, a≥0，，j=1,,8,1D{>0的一个解法，同时，还可得到 于了 (6)有解的充分必要条件.我们有 定理2(6)有解的充分必要条件是对于任一个D!的 因数M,同余式 Z,()三m(modM)(r-1,2,,&)· (7) 有解。 9 证必要性是显然的.以下证明充分性 由定理1知，存在单位模变换 (8) 变(6)为 。15
CX1±1， c21X1+C2X3=e, (9) GMX1十十CAXa-ng, 其中cr>0(r=1,…,8),0≤0，C2,…,C,r-1<Crw=2,",8, 且 |D|=G1…c, 由于对|D|的任一个因数M,同余式(T)有解，故当M=C, C2,…,Cw时，由(8) 01X1三1(m0dc1) 有解，故，即X1=是整泰，由于同余式 X1E%L(m0dca2）,c21X1十2aX2=%(m0dcgg） 011 有解，即 L+2X,=%(m0dce2) G21011 性 有解，即n%-au=0(n0don）,故Xa=-2 一0401 011 是整 022 数，如此继续下去，可得（⑨）的一组解，即知（⑥）有解。证完。 设1≤m<%,m个联立方程组 乙1=11十…十a1w4=0, Z2=ag1g2十…十amxm=0, .(10) Ln=am1十…十amn2xn=0, 其中a(j=1,,,居=1，"，n)为整数.如果1，…， 是(1)的一组解，记为向量形式X=(1,,心)，x称为(1) 的一个解向量。我们有 定理3(10)存在解向量X=(1,",)≠0，且满足 .16+
青的≤(A1…A)-m〉（无-=1，，n). (11) 这里Ay=la红1+2l十…十an1(9=1,…,). 9 执 证设N=[(A1…A)n-m门，B;表示aH,,n中正 数的和，一O,表示an,,中负数的和，故A=B,十O 、 (j=1,…,).当%取遍区间[0，W们中的整数值时（一1，…， ),可得出(W+1)”个不同的向量的集S: S={(,…,)|0≤≤N,&=1,”,, 对S中的每一个向量，有 一CN≤Ls=any1十…+yn≤BN, 故Ly可取(B影+C)N+1=AN+1(=1,,m)个不同的 整数值，于是，当(1，，y)跑遍S中(N+1)”个向量时，最 多可得出(4yW+1)个不同的向量（亿，，工m,因为可设 A1(9=1,“,m),所以 月(4N+)≤店(4W+A)=(N+)月A, 十 五 而 (N+1)"=(N+1)m(N+1)"- =(N+1)m([(A红…A)m-m门+1)”-m >(N+1)g4≥耳(4w+1, 四 故至少存在S中两个不同的向量，设为(，…，)，(，…， ),对应于同一个向量（工，…，Lm),令%=欢一（张=1，…， m),X=(G,,g)≠0就是(10)的一个解向量，而 且 1】=1一1≤N≤(A…A)-m,肠=1，，%， 故(11)成立.证完. ·17·
第二章·二次不定方程 本章主要介绍二元二次不定方程。一般说来，二元二次 方程的求解问题已经解决.此外，还给出三元二次方程几个 典型的例子 本章所讨论的Pl1方程与代数数论中二次域的单位数 有密切联系，在后面的某些章节中，我们还将看到P©11方程 用来解高次不定方程的例子. §1Pel方程x2-Du=1 形如2-Dy-1的二元二次不定方程叫P1方程.显 然，对于D<0,或D是一个平方数的情形是容易求解的.本 节将证明 定理1设D是一个正整数且不是一个完全平方，则方程 2-Dy2=1 (1) 有无限多组整数解，y.设哈-D1,0>0,o>0,是所 有x>0,y>0的解中使花+y√D最小的那组解（称(0，o) 为(1)的基本解)，则(1)的全部解x,y,由 +y√D=士(+物√D)”, (2) 表出，其中是任意整数。 在证明这个定理之前，先证明儿个引理， 引理1设9是一个无理数，且q>1是任给的二个整数， 设工=x一，则存在整数x,y,使得 。18