a22a+14a+46a+9 C2-c1b22b+14b+46b+9 c3-c1c22c+14c+46c+9 c4-c1d22d+14d+46d+9 4a+46a+9 14a+46a+9 按第二列、b2b4b+46b+9 4b+46b+9 十 分成二项 4c+46c+9 14c+46c+9 d2d4d+46d+9d214d+46d+9 4c 14a6 第一项 6c2b2b49b214b6b 0 4c 第二项 C C,-9e,d2 d 4 9 d2 1 4d 6d 0 d-a (4)左边= C-a b d-a b2(b2-a2)c2(c2-a2)d(d2-ai (b-a)c-ad-a)b+a Ca d+a 6(6+a)c(c+a d(d+a) (b-a)(c-a)(d-a) b+a d-b b(b+a)c2(c+a)-b(b+a)d'(d+a)-b2(b+a) (b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b) (c'+bc+b)+a(c+6)(d2+bd+b2)+a(d+b) (a-b(a-c(a-d(b-c)b-d)(c-d(a+b+c+d (5)用数学归纳法证明
6 2 1 4 4 6 9 2 1 4 4 6 9 2 1 4 4 6 9 2 1 4 4 6 9 2 2 2 2 4 1 3 1 2 1 + + + + + + + + + + + + − − − d d d d c c c c b b b b a a a a c c c c c c 4 4 6 9 4 4 6 9 4 4 6 9 4 4 6 9 2 2 2 2 2 + + + + + + + + d d d d c c c c b b b b a a a a 分成二项 按第二列 1 4 4 6 9 1 4 4 6 9 1 4 4 6 9 1 4 4 6 9 2 2 2 2 + + + + + + + + + d d d c c c b b b a a a 4 9 4 9 4 9 4 9 9 4 6 4 2 2 2 2 4 2 3 2 4 2 3 2 d d c c b b a a c c c c c c c c − − − − 第二项 第一项 0 1 4 6 1 4 6 1 4 6 1 4 6 2 2 2 2 + = d d d c c c b b b a a a (4) 4 4 4 4 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 1 0 0 0 a b a c a d a a b a c a d a a b a c a d a − − − − − − − − − 左边 = = ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 b b a c c a d d a b a c a d a b a c a d a − − − − − − − − − = ( ) ( ) ( ) 1 1 1 ( )( )( ) 2 2 2 b b a c c a d d a b a c a d a b a c a d a + + + − − − + + + = (b − a)(c − a)(d − a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 0 2 2 2 2 2 b b a c c a b b a d d a b b a b a c b d b + + − + + − + + − − = (b − a)(c − a)(d − a)(c − b)(d − b) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 2 2 c + bc + b + a c + b d + bd + b + a d + b = (a − b)(a − c)(a − d)(b − c)(b − d) (c − d)(a + b + c + d) (5) 用数学归纳法证明
当n=2时n_x n2x+a/=x+a1x+a2,命题成立 假设对于(n-1)阶行列式命题成立,即 D a1x"+……+an-2X+a 则D按第列展开: D=xD +a, c =xDn1+an=右边 所以,对于n阶行列式命题成立 6设m阶行列式D=de(an),把D上下翻转、或逆时针旋转90、或依 副对角线翻转,依次得 D 证明D1=D2=(-1)2D,D3=D 证明∵D= det(a) 21 1 11 =(-1)”(-1)"-2…(-1 n(n-1) D=(-1)
7 , . 1 2 , 1 2 2 2 1 当 时 2 x a x a 命题成立 a x a x n D = + + + − = = 假设对于 (n − 1) 阶行列式命题成立，即 , 2 1 2 1 1 1 − − − − − = + + + n + n n n Dn x a x a x a 则 按第1列展开: Dn 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 ( 1) 1 1 − − − = + − + − x x D xD a n n n n = xDn−1 + an = 右边 所以，对于 n 阶行列式命题成立. 6.设 n 阶行列式 det( ) D = aij ,把 D 上下翻转、或逆时针旋转 90 、或依 副对角线翻转，依次得 n n nn a a a a D 11 1 1 1 = ， 11 1 1 2 n n nn a a a a D = ， 1 11 1 3 a a a a D n nn n = ， 证明 D D D D D n n = = − = − 3 2 ( 1) 1 2 ( 1) , . 证明 det( ) D = aij n n nn n n n n nn a a a a a a a a a a D 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( 1) − = = − = − − = − − n n nn n n n n a a a a a a a a 3 1 3 1 2 1 2 1 1 1 1 2 ( 1) ( 1) n nn n n n a a a a 1 11 1 1 2 = (−1) (−1) (−1) − − D D n n n n 2 ( 1) 1 2 ( 2) ( 1) ( 1) ( 1) − + + + − + − = − = −