则可得: (x-x1)(x-x2) x0-x1)(x0-x 0 0 同理可求出l1(x)、l2(x)的表达式,考虑到l1(x) 在x0,x2处函数值为0,且它的次数不能超过2,显 然应包括(x-x0)(x-x2)这个因子, (x=A(x-x 0( 2)9 又l1(x)在x处函数值为1, 故 (x1-x0)(x1-x2) (x-x0)(x-x2) 则有:l1(x)= (x1-x0)( 考虑到l2(x)在x,x处函数值为0,且它的次 数不能超过2,显然应包括(x-x0)(x-x1)这个因 子,则l2(x)=A(x-x)(x-x1),又l2(x)在x2处 函数值为1,故4=(x2-xx2-x),则有 (x-x0)(x-x1) 故
则可得： ( )( ) ( )( ) ( ) 0 1 0 2 1 2 0 x x x x x x x x l x − − − − = 。 同理可求出 ( ) 1 l x 、 ( ) l 2 x 的表达式，考虑到 ( ) 1 l x 在 0 2 x , x 处函数值为 0，且它的次数不能超过 2，显 然应包括 ( )( ) x − x0 x − x2 这个因子， 则 ( ) ( )( ) 1 x A x x0 x x2 l = − − ， 又 ( ) l 1 x 在 1 x 处函数值为 1， 故 ( )( ) 1 1 0 1 2 x x x x A − − = ， 则有： ( )( ) ( )( ) ( ) 1 0 1 2 0 2 1 x x x x x x x x l x − − − − = 。 考虑到 ( ) 2 l x 在 0 1 x , x 处函数值为 0，且它的次 数不能超过 2，显然应包括 ( )( ) x − x0 x − x1 这个因 子，则 ( ) ( )( ) 2 x A x x0 x x1 l = − − ，又 ( ) 2 l x 在 x2 处 函数值为 1，故 ( )( ) 1 x2 x0 x2 x1 A − − = ，则有： ( )( ) ( )( ) ( ) 2 0 2 1 0 1 2 x x x x x x x x l x − − − − = 。 故：
P2(x)=J0× (x-x1)(x-x2)+y (x-x0)(x-x2) )(x0-x2) (x1-x0)(x1-x2) (x-x0)(x-x1) 1, (x2-x0)(x2-x1) 称为抛物插值多项式 在a,b上有n个插值节点x0,x1,…xn,且已知 f(x)在节点上的函数值ya,y,…yn。现在要求一个 多项式P(x),使得 Pn(x)=y;(i=0,1,…,n)(*5) 若能够找到这样的函数,即 l;(x,)= 0i≠j 且次数不能超过n。则 P(x)=∑(x)=p1(x)+y4(x)+…+,M1(x) J×1+y1×0+…+yn×0 x)=∑4(x)=1(x)+y4(x)+…+y(x) i=0 J×0+y1×1+…+ynX0=
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 2 0 2 1 0 1 2 1 0 1 2 0 2 1 0 1 0 2 1 2 2 0 x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x P x y − − − − + − − − − + − − − − = 称为抛物插值多项式。 在 [a,b] 上有 n 个插值节点 x x xn , , 0 1 ，且已知 f (x) 在节点上的函数值 n y , y , y 0 1 。现在要求一个 多项式 P (x) n ，使得 P (x ) y (i 0,1, ,n) n i = i = （*5） 若能够找到这样的函数，即： = = i j i j l i x j 0 1 ( ) 且次数不能超过 n 。则 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y y y y P x y l x y l x y l x y l x n n n n i n i i = + + + = = = + + + = 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y y y y P x y l x y l x y l x y l x n n n n i n i i = + + + = = = + + + = ……………………………………………………… ……