四、隐函数求导举例例1 设方程F(x,y)=-xsinx=0...(7)由于F及2其偏导数F，F,在平面上任一点都连续,且F(O,O)=0F,(x,)=1-→cos y>0 。故依定理18.1和18.2,方程(7)2确定了一个连续可导隐函数y=f(x)，按公式(5)其导数为2F(x,y)()=-P,()2-cos y1--cosy2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 , sin 0 (7) 2 0,0 0, 1 , 1 cos 0 18.1 18.2, (7) 2 , (5) , 1 2 . , 2 cos 1 1 cos 2 x y y x y F x y y x x F F F F F x y y y f x F x y f x F x y y y = − − = = = − = = − = = − − 例 设方程 由于 及 其偏导数 ， 在平面上任一点都连续，且 。故依定理 和 方程 确定了一个连续可导隐函数 按公式 其导数为 四、隐函数求导举例
例2讨论笛卡儿叶形线x3+y3-3axy=0..·(8所确定的隐函数 =f(x)的一阶与二阶导数。解油隐函数定理知:F,(x,y)=3(y2-ax)→0的点(x，y)附近，方程（8）都能确定隐函数y=f(x)现求它的一阶和二阶导数如下：对于(8)式求关于x的导数（其中y是x的函数)并以3除之，得 x2+y2y'-ay-axy'=0......(9)或 (x2 -ay)+(y2 -ax) = 0.....(10)2ay-x于是y'=(y2 -ax ± 0). 再对(9)y?- ax式求导，得x+y-a=0
例2 讨论笛卡儿叶形线 所确定的隐函数 的一阶与二阶导数。 3 0 (8) x 3 + y 3 − axy = y = f (x) x + y − a = 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 , 3 0 8 8 3 0 (10) 0 9 x y y ax ay y ax y y ax ax = − − + − = − − y 2 2 2 2 2 解：由隐函数定理知：F 的 点 x,y 附近，方程（ ）都能确定隐函数 y=f x 现求它的一阶和二阶导数如下： 对于（ ）式求关于x的导数（其中y是x的函数）并 以 除之，得 x +y y -ay-axy =0 (9) 或 x ay-x 于是y = .再对（ ） y 式求导，得
2x-ay'+(2yy'-a)y'+(2 -ax)y" = 0J"(y2 - ax) = 2ay'- 2yy'2 - 2x.把（10）代入（11）式的右边得-2a3xy -2xy(x3 + y3 -3axy..(11)2ay'-2yy'-2x=(y2 -ax)2a'xy再利用方程（8）就得到y"=.·(12)(y2 - ax)由（10）易见，曲线在点A(3/2a,/4a)处有水平切线，在点B(/4a,/2a)有一垂直切线
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 3 2 2 3 2 3 3 0 2 2 2 . 10 11 2 3 . (11) 8 (12) 10 , 4 , 2 y y ax y y y ax ay yy x xy xy x y axy y ax xy y ax a a a a + − = − = − − − + − − − 3 3 3 3 2x-ay + 2yy -a 把（ ）代入（ ）式的右边得 -2a 2ay -2yy -2x= 2a 再利用方程（ ）就得到y =- 由（ ）易见，曲线在点A 2 处有水平切线，在 点B 4 有一垂直切线