18.2（隐函数可微性定理）设F(x,J)满足隐函数存在唯一性定理中的所有条件，又设在D内还存在连续的偏导数F(x,J)，则由F(x,y)=0所确定的隐函数y=f(x)在其定义域(x-α,x+α)内有连m. - (5)
18.2（隐函数可微性定理） ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 , , , 0 , , (5). , x x y F x y D F x y F x y y f x x x F x y f x F x y = = − + = − 设 满足隐函数存在唯一性定理中的所有条件， 又设在 内还存在连续的偏导数 ，则由 所确定的隐函数 在其定义域 内有连 续导函数，且
证明：设x与x+△x都属于(x-α,x+α)，它们所对应的函数值=f(x）与y+Ay=f(x+△x）都含于(y-β,y +β)内。由于F(x,y)=0, F(x+△x,y+△y)=0因此由F、F.的连续性以及二元函数中值定理，有0= F(x+Ax,y+Ay)-F(x,y)= F (x +x, y+ y)Ax + F, (x + x, y+ y)Ay其中0<0<1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 , , , 0, , 0, 0 , , , , 0 1 x y x y x x x x x y f x y y f x x y y F x y F x x y y F F F x x y y F x y F x x y y x F x x y y y + − + = + = + − + = + + = = + + − = + + + + + 证明：设 与 都属于 ，它们所 对应的函数值 与 都含于 内。由于 因此由 、 的连续性以及二元函数中值定理，有 ， 其中
Ay =- F.(x+ Ax, y+Ay)F, (x+x, y+y)Ax上式右端是连续函数F(x,y)、F,(x,y)与f(x)的复合函数，而且F(x,J)在U(P)内不等于零，固有Ay--F(x,y)f'(x)=limAxF,(x,y)Ax0且f'(x)在(xo-α,x+α)内连续
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 , , , , , , , , lim x y x y y x x y y F x x y y x F x x y y F x y F x y f x F x y U P y F x y f x x F x y f x x x → + + = − + + = = − − + 上式右端是连续函数 、 与 的复 合函数，而且 在 内不等于零，固有 且 在 内连续
定理18.3若函数F(x,x2,,Xn,)在以点P(x°,x2,...x,°)为内点的区域D Rn+1上连续；(1)F(x,x2,...x,)= 0(2)偏导数F,Fr，,F,F,在D内存在且连续；(3)F(x,x2,...x, y0)±0则点P的某邻域U(P）CD内，方程F（xixnJ)=0唯一地确定了一个定义在Q。（x,x，x)的某邻域U(Q。）CR"内的n元连续函数（隐函数）
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 0 0 0 0 1 0 1 2 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 1 2 0 0 1 0 0 0 0 1 2 0 18.3 , , , , , , , (1) , , , 0 (2) , , , , (3) , , , 0 , , 0 , , n n n n n x x x y y n n n n F x x x y P x x x y D R F x x x y F F F F D F x x x y P U P D F x x y Q x x x U Q R n + = = 定理 若函数 在以点 为内点的区域 上连续； 偏导数 在 内存在且连续； 则点 的某邻域 内，方程 唯一地确定了一个定义在 的某邻域 内的 元连续函数（隐函数）
y=f(xi,x2..xn)使得：1° 当(xi,x2,*. x,)U (Q.)时(x,...xn, J (xi, X2,..xn)eU(P),且F(x,.. n, f(,,)=0, ° = f(x..)2°y=f(xi,)在U(Q)内有连续偏导数：fzf,，FFFXiX2Xn而且f,=-FXFFA1米
( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 1 2 1 2 0 1 , 1 2 0 0 0 0 1 1 1 1 0 , 1 , , , , , , , , 0, , . 2 , , , n n n n n n n n n x x x x x y y f x x x x x x U Q x x f x x x U P F x x f x x y f x x y f x x U Q f f F F f f F = = = = − = − 使得： 当 时 ， 且 在 内有连续偏导数： ， 而且 2 , n n x x x y y F f F F = −