得解:x=-∑x=x 1i=1 2 2g()= 2x<0 * X 是1ogL(入)的最大值点 入的极大似然估计量是 * d=X
x x n n i = i = =1 * 1 得解: 0 1 log ( ) 1 2 2 2 = − = n i i L x 是logL()的最大值点. ∴ 的极大似然估计量是 = x * = X *
例4总体均匀分布Ⅹ~U(a,b). 求:两个参数a,b的极大似然估计 解 x∈[a2b f(,a,b) b OXx≠[a2b] 似然函数L(a,b)=f(x2,a,b) x1∈[a,b]所有i=1,2,…,n (b-a) 0 其余情况
总体均匀分布 X ∼ U(a,b). 求:两个参数a,b的极大似然估计 解: 例 4 = − 0 [ , ] [ , ] 1 ( , , ) x a b x a b b a f x a b = − = == 其余情况 所有 似然函数 0 [ , ] 1,2, , ( ) 1 ( , ) ( , , ) 1 x a b i n b a L a b f x a b n i n i i
我们由上看到,L(a,b)作为a和b的二元函 数是不连续的 所以我们不能用似然方程组来求极大似然 估计,而必须从极大似然估计的定义出发,求 L(a,b)的最大值 为使L(a,b)达到最大,b-a应该尽量地小 但b又不能小于max{x1,x2,…,xn}.否 则,L(a,b)=0.类似地a不能大过 m1nⅩ1,X2,…,xn} 因此,a和b的极大似然估计为 a=min{X1,X2,…,Xn} b=max{X1,X2,……,Xn}
我们由上看到,L(a,b)作为a和b的二元函 数是不连续的. 所以我们不能用似然方程组来求极大似然 估计,而必须从极大似然估计的定义出发,求 L(a,b)的最大值. 为使L(a,b)达到最大,b－a应该尽量地小. 但b又不能小于max{x1,x2 , ,xn }.否 则,L(a,b)=0. 类似地a不能大过 min{x1,x2,,xn}. 因此,a和b的极大似然估计为 max{ , , , } min{ , , , } 1 2 * 1 2 * n n b X X X a X X X = =
例5设X1,X2…X是取自总体X的一个样本 6 6-1 0<x<1 X f(x)= 其它其中O>, 求的极大似然估计 解:似然函数为 L(0)=116x4-=0"(∏x)00x<1 1<i<n 对数似然函数为 hL()=nh+(0-1∑hx 回回
解：似然函数为 = − = n i i L x 1 1 ( ) 1 1 ( ) − = = n i i n x (0 1) xi 对数似然函数为 = = + − n i L n xi 1 ln ( ) ln ( 1) ln 1 i n 例5设X1 ,X2 ,…Xn是取自总体X的一个样本 = − 0, 其它 , 0 1 ~ ( ) 1 x x X f x 求 的极大似然估计. 其中 >0
对数似然函数为 hL(0)=mhO+(0-1∑hx 求导并令其为0 dn l(o)n Inx. =0 de 0 从中解得 6 ∑hx即为的MLE 回回
= = + n i i x n d d L 1 ln ln ( ) 求导并令其为0 =0 从中解得 = = − n i n xi 1 * ln 即为 的MLE . 对数似然函数为 = = + − n i L n xi 1 ln ( ) ln ( 1) ln