B.Ⅱ吉米多维奇 数学分析习题集题解 (六) 费定晖周学圣编演 郭大钩邵品琮主审 山东科学技术出版社
目录 第八章重积分和曲线积分 §1.重积分……………………………………………………1 §2.面积的计算法……… 苓3,体积的计算法 84.曲而面积计算法 ………………105 氵5.重积分在力学上的应用………………………!9 §6.二重积分……… 144 §.利用三重积分计算体积法…………………168 8.重积分在力学上的应用…187 §9.重和重!义积分…………218 §0.多重积分 …………………………270 §1曲线积分……………………………………………299 s12.格林公式……… ………………………………319 S13.曲线积分的物理应用… 丶号甲甲4Ba· §14.出面积分……………………………400 §15.斯托克斯公式 …130 16.奥斯持洛格拉德斯基公式………………………440 §17.场论初步 475
第八章重积分和曲线积分 §1.二重积分 1二重积分的直接计算法所谓连续函数f(x,y)展布在有限封 闭可求积维域内的二重积分乃指的数 f(x,y)ldy=m∑》f(,y)△43 其中Δx,=x,+1-x,4y,=y+-y,而其和为对所有i,使(x,y)∈ 的那些值来求的。 若域由下面的不等式所给出 a≤x≤b,y1(x)≤y≤y2(x), 其中y1(x)和y2(x)为在闭区间[a,b〕上的连续函数,则对感的-重积 分可按下面的公式来计算 x】 了·y nd y 2二重积分中的变量代换若可微分的连续函数 ytu 把平面Oxy上的有限闭域D单值唯一地映射为平面OU上的域Ω及 雅哥比式 D(z, y) I=D(a,)×0, 则下之公式正确: f(r,y)dxdy= l f(r(u, v),y(u,D))1I dudu
特别是,根据公式x=rcsy,y= rainy变换为极坐标r和φ情形 有 f(r, y)dxd. f(rcos, rsing)rdrd9. 3901把积分‖ rydxdy,当作积分和的极跟,用直线 n 把积分域分许多正方形,并选取被积函数在这些正方 形之右顶点的值计算所论积分的值 解由于 (n+1 An ro). 其中 n(n+1) n(n+1) 2 故 c dady 4 ≤ 3902.用直线 0,1, 把域1≤x≤2,1≤y≤3分为许多矩形.作出函数 f(x,y)x2+y2在此域内的积分下和S与积分上和 S.当n→∞时.上和与下和的极限等于什么? 解下和
1+ +(1+ 2 2n2 2 i+n十 +2 401 3n 其中 (n-1)n(2n-]) (n-1)n(2n-1) 上和 +1+ 2 2 40,11 ±+ 3n 当n+∞时,S与S的极艰均等于3=133 3903.用-系列内接正方形作为积分域的近似域,这些方形 的顶点A,在整数点,并取被积函数在每个正方形距原 点的最远的顶点之值近似地计算积分 dxdy 4+x2 并与精确的值加以比较。 解由题意知,应取的正方形顶点为(1,1),(1,2),(1, 3),(1,4),(2.1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(32)