.14不等式翰假定不等式（2·2），對n=1，2，....，元-1需真，即對元1之乘积：(2.6)a,ag ... a.1zbib, .....bx-l i如而催a,=b，，a=b，，0-1=b-1，等既始能成立。而筱由*以正数相乘”之乘法规则（定理2·3），当以，乘不等式（2·6）時，得(2·7)(aran:ar-1)arz(b,b,br-j)ar;如雨优如a-1=b,b...-b.-4.a.等號始能成立。由同一规则，常以6,5，·6-乘不等式a.zb.亦得(2·8)(b,bg *br-1)a.z(b,bg.+be-1)b, :如面如4=b，等既始能成立。现随移易规则，由（27）及（2·8）而致Q1a,*+. ax-1azb,b,*.+ b.-,b,i如而值如a=b，a,=b，.，a=b，等號始熊贼立。2·7除法1理2·6如a>>0而>d>0刚a/d>b/c。特别，谢a=b=1，如c>d>0，1/d>1/c。更普遍言之如a>b>0而c>d>0即afd>bc如而如a=b，及c=d，乃有a/d=b/c注意，a被d除，而b被除一非c除a，或d除b由是，用除法，不等式76及5>3，出7/3>6/5；但不等式7/5>6/3為认
15第二章 工具丽已予之不等式，亦引出V6≥1/7，舆1/3>5【】已有a.bac-bddcdC侬原理亚，因ce及dsP，分母cdeP，因a≥b及c≥d，由定理25，亦随而ac≥bd故分子acbdeP或O，除非a=b及d，确有ac-bdeP，侬定理1·I，负数及正数之乘稽為；但乘稚ac-bdcd等於非负数ac-bd，而cd篇正，故bac-bda.dcdC非贫。由是a/d≥b/c，如而催如a=b及c=d，乃有a/d=b/c。密题1．由不等式(V-)≥0,證明對所有正4b2(1/a)+(1/b)≤Vab於何情况之下，等號成立？證明正数及其倒数之和，最少為2。即對所有正数4，證明2.1224+t對α何值，等號成立？
不等式167明對所有ab，3a'+b'+c'≥ab+bc+ca.封所有4，6，7明4(a"-b)(a*-b)≤(sb)及a+)(a+b)z(a+b)25.證明對所有非贫a，，，a'b+b"c+c"a+ab"+bc'+ca"≥6abc.6.證明，封满足ab≥0之所有a：6(a-b8)2(a-b)及满足ab≤0之所有，b，證明(-)(a-b)7.封满足+b≥0之所有a，b，證明+b>ab+b8封3至7題之任一，决定於何種情况下，等髋成立。2.8幕舆根【定理2·7】如a>0，如及n均正整数，且如a1/及61/，表示正我根，a=/n>bm/n 及 b-m/n>a-m /n更普遍言之，如a≥b>0，如m篇一非贡整数，且n篇正整数，如a/及b1/，我示正n灰根，αu/n≥bm/n 及 b-m/n≥ a"m/n(2·9)
e具17第二章工如而如（i）a=b或（ii）m=0，始有a/=b/，及/=α--/b-m/n對a=9及6=4，某值a/bm/na/，表示如表2.封各m/n正值，将g/>4m/，而4m/>9m/表2、数目乘嘉示豌mgu/s4n/a4*#/9-m/找11011111322231141949.3112788:22711511628181【證】如m=0，则a=bm/"/"=a-/=1。如是，在此情况，（2·9）中之等成立。如m十0，则依不等式乘法规则（定理2·5）α≥：如而懂如a=b，等始能成立。如a<b1/為眞，则亦将（a1/）"<（1/"），或<b為真；但依假設a≥b，自然/n≥bn。因此a≥b/n，如而懂如a=b，始有a#/=bm/對於资指敷，命a/n=c1bm/n=d则11格-因恰已显示c≥d
不等式18随由定理2.6，而11即2一期5-m/n >a如而筐如c=d，即a=b，等成立。规律能引伸於正奥資之無理乘需。智题1.封所有4，6，7明(a+br.1ha+b22於何情况之下，等號始能成立？2.證明如ab及c，d均正（而c及d均有理），则(a"-b-)(a"-b)≥0而a'+ + be+a a'bd + a'.於何種情况之下，等劈始能成立？1上题第二不等式，於c=d=1情况，化成何式？於=d=情况，3.2化成何式？對bd>0，證明如而懂如ad≤bc，a/b≤cd，證如而懂如他4遗立，其等號始於各成立。發明如a/b≤c/d，则5.+6c+d16.d亚證如而如ad=bc，等始能成立