9第二章工藝具21引言魔理不等式时，最俊使用之懂有基本假設，為第一章所之两原理，循数體系及其规律如分配律，数享歸柄法等等。仍有种簡罩定理之由此等原理遵出者，常出現於理之發展及愿用中，慈之為“斯务之工具”（Toolsofthetrade)。此等定理或作业想舆其證明，於其本身優黏言，即具吸引力舆趣味。進而言之，彼等提供数學家，由少数基本说明舆假定，建立定理作怠健系途径之侵良示觉。證明常怠简短，但仍完整；而少数地方，要求技巧，以使数享或為今人漫往之課題。本章之中，有些此等定理，已予列學，解，證明之，字母&，b，c等之出現於定理説明者，除非明白规定，愿知均保代表随意赏数。為方便起见，行將取用之定理或规则，此魔筐對“>情况明。於各情况，有一同之“<”规。由是，對“>”法，有移易性。“如α>b而>，a，封瘾同之”规如ab面cat”同樣能建立“”规，以舆本章所示“>”规，互相随伴，但瘾注意享陷穿！如一规前包含一正體乘数，如0，而需随意量之差為正，其随伴之“<”规，仍有>（或如所欲0<），而非<0，由是，随伴於如>b，而c>o，则ac>c之规，為“如a<b，前>oa心<bc”。位於各節用始魔之定理祝明，分為两段。较聞之第一段，蕊理殿格“》不等號，包含定理之心藏部份，第二段包含混合“之不等號，有时更包括宝值之随意数情况。由是，所魔理者為更普通而含蕃之情况。證明常优給予较含蓄之普通情况，但能特别愿用於第一段。定理解释之見於本章者，有時将包含日说明之“”规，而有時包含
10不等式輪连生之“<”规射。22.移易性【定理2.1】如a>b，而b>c，刷a>c。更普避营之，如a,≥4，a≥a，.,-1≥aa≥a，如而催如α相等，始有a1=a。由是，如考虑個人消费，會引致靓察星期六所费金鏡，多龄其他遇内任何一天，及最低限度星期日所费，同於星期六，则可断星期日所费，多於返内任何一天。再，第一章哲题1之答案為！-3<-2<-1.5<-1<3-元0<元-3<V2<2<3此可获巍解释其意义优為集合之阴首九元，為小於聚娘之数，由是一3一2，一2<-1.5，等等，依前迹移易性规，仍產生此等目，各為小放任何筏藏之！例如-3<~1.5，-1<2，3一元<V2等。【體】移易规刚，可用簡罩的数學歸柄法（見2·6節所翰）證明。但對此第一规，将提供包含四實数之罩一值接證明。然筏，假定a≥4.，a.≥a，a≥a.。依不等式之代数定，各量a,一a，，a，一，，a，一a.，保在集合P或集合0中。因此其和(a,-a)+(a a,)+(a,-a )=ay-a依原理Ⅱ，在P中，或在0中：如而催如a1-a=0，a.一a，=0，a-a=0，始在中由是a之a如而如=，=a，，=，其等始成立。對普通情况之明，留作哲题之用。2.3加法【定理2..2】如a>b，而c>d，则a+c>b+d如a>b而c為任一寶，刚a+c>b十c。更普源以吾，如a≥b，a,≥b，"",a≥b,别
11第二章工具a+a,+-+a.≥b,+b,+...+b.(2.1)（21）中之等號，如而如a,=b1，a,=b，，a.=b，始能成立。由是，如不等式1<V2及3元相加，乃得1+3<V2+元，此最俊不等式，与-1=1结合，得3<V2+丸一1，而所有此五開係相加，连生10<3（V2+π）-2。【證1正如在移易情况中，一歸纳證明，復可使用。然此灰，一普通情况之直接證明，将予提供。因依假設，各量a，一b，，.一b。，…，a,一b，P或：0，依弟一草智題10所予原理之通式，和（a-b，）+(ag-b,)+(a,-b,)++(a.-b)=(a,+ag+a+.+u-(b,+6,+b,+...+b)eP,除非a,-b,=0,a,-6,=0,a,-b,=，a，-b,一0，始0由是0,a,+a+aa+...+ab,+ba+b,+.-+b如而催如a,=b，，a,=b。，a。=b，.·，a=b，，等號始能成立。2.4敲相乘【定理2·31如>b，而>0，ac>bc.如>b而c<0，刷ac<bc更普遍以言，如a≥，而>0，ac≥b，如而懂如a=b，始有ac=bc如a≥b，而o，ac≤bc，如而懂如ab，始有at=bc 。由是，以一正教乘不等式各项，所遗不等就不雙，但以贡敷相乘，则反是。特别，對c=-1，如a≥b，则-a≤-b。例如以1及-1乘3>2，各得3>2及-3-2。【證】已知a≥如是或O。如，则随而由原理亚，c(a-b)=ca-cb=P或eo郎cazcb。但如cN，由定理1l，随而ca-b）N或&o；故，-［（a-=cb-cae或o，如是，cb≥ca。於雨情况，如而懂如α=b，等始能成立
12不等式25减法【定理2·4】如a>，而d，a->b-。>b，而念任一宝数，则a->b-。更普言之，如ab，及c≥d，a-d≥b-，如而如a=b及c=d，始a-d=b-c。注意d為由a减去，而c由一非c由a，或d由b减去。由是，依减法，不等式7>6及5>3，引致7-3>6-5，郎4>1：但不等式7一5>6一3為认。或者，為解释<”填规别，不等式-5<10及-4<-3，出-5-（-3）10-（-4）郎-2<14。【證】瘾用以貢数，乘一不等式规则（定理2.3）於之d，乃得→c≤-d，郎一d一，其中，如而懂如=d，其等処始能成立，现瘾用不等式相之规於a≥及-d≥-c得a+（~d）≥b+（c）或ad≥b-c，如而如a=b及c=d，乃有a-d=bc智题a+b)<b#1證明如a<b，a<2.證明對所有ab，c，d(a-b)(c-d")≤(ac-bd)2及(a+$)(c+d)≥(ac+bd)2如而优如αd=bc，等號始或立3.證明数所有a，48:(a-b)2≥4abab)如而如a=。，等號始成立4、用数學婦辆法，證明普通“移易规则
第二章工具.1326乘法【定理2.5】如a>6>0面c>d>0ac>d。更普百之，如≥6>0.2b.>0，..,a.≥b.>0.射(2·2)arar...a.2b,b,...ba o如面懂如a1=b，4，=6，4=b元，（2·2）中等号始成立。由是，由2>1及4>3，得（24)>（1)(3），或8>3，但注意—1>-2，-3-4出（-1)-3）（-2)(4）：自然，数目篇正之件，不能介入。【髓】兹用数享婦柄法提供一證，确立此證明之概率程序，包含下列步躲。第一，對所有正整数”说明之證明，已對开首之一或二測题；而稳，於假定之下，説明谢所有整，基至包括某一如无能禽任一大於1之整数（特别，令无一1二1或2，為已题證说明者），可断言對所有正整数说明成為慎确。对n=1，定理2.5之结輪a，≥.61，簡罩的為假設之重迹。此翻察於数享婦法證明中，足以用於第一步，但亦将提供對n=2之證明；即將證明如a≥b,>0及,b>0，a,a,≥bb不等式(2·3)aia, ≥b,a,随正数乘不等式之乘法规而来，如而懂如4，b，，等號始能成立。不等式(2·4)b1a, ≥b,b.魔同一规靴而来：如而筐如&二b，等晓始能成立，现在，期擎之不等式(2- 5)aa, Zb,b.係随移易规（定理2·1），由（2·3）及（2·4）而致：如而催如（2·3）及（2·4）中等號成立，（2·5）中者始成立，即如而催如41=6，，及a2二b。始能成立。已示不等式（2·2），對n=1及n=2成立