不等式4為同羲。由是原理工及I為同羲。欲示原理与I，考愿日α1=3，a=-4，6，=0，6。=3示原理I，注意於a,，-a，b,O，及b；亦可注及40（作"α,非集合0之-元”）及-a,4P，等等。示原理I，而有a,-6,=3-0=3a,-b,>0,a>6;a-02㎡3-30，a1-b=0，41=b;a2-6,=-4-0=-4,b,-a2>061>a2a-6g=-4-3=-7bg-az016>a2:而俊注意，於四例中，原理工”中所示之三種係，一币懂一於各例成立。此原理I’之释示，将於下節，糍癫於介韬额外不等式谢係時行之。15额外不等式關保取代如>a之不等式，可同為4<b，额日“a小於”。雨不等式完全同羲，而無軒轻之分。於以前原理I”之释示中，符號“”完全通用。而考膚恒将a篇前，以示所有關係。期将有(1 : 2)ar>b,a,=bg,az<b1a,<b,同梯-4<4，2<3，-2<0,-2<-1,0<1.13<元,0<2,-9<1,1<V2,-40<-20符既“”及“<”，表示殿格不等式。於不等式研究中，考虑之其他两種係，篇混合不等式α≥6及二b，各作a大於或等於”，及“a篇小於或等於”，前者，α之意篇6或a6，必居其：例如，3≥2，亦且2≥2。次者a≤b之意羲篇a<b或a=b，必有其—由是1≤2，亦且2≤2。於（1·2）中，说明原理I所列關係之一，於各例成立，但原理本身説明更進一步，懂一厨係成立。因此，欲作原理I之完全释示，宝愿加以説明。(1.3a±b，41ba±ab
5第一章基本知識護作“α，既不小於，亦不等於6，”，等等。自然得此等（1·3）之“”説明，均厨多餘，且誠無人宣告，瘾完全书出此等已於（1·2）包含之料。此係基原理I或I之排斥性原剧一而懂一”方面一為懿而取者。由於排斥性原，题然（1·2）及（1·3）各自之開係间；即互相影警。然而，不等式之“贫”性，常為極有用之概念。如趣向於雨符號“”及“”之混淆，可於有效不等式中，注意如3>2或2<3者，符號大（）端，指向大，而小（尖端）端，指向小敷。16含负数之乘穗正敷及贡敷乘稚，為何種数目？雨贡数乘為何？可用原理IⅡ及其某些秸果，以决定此等周题答案。如aeP，而bN，侬麦1，-eP，如是，依原理，a（-b）P。故依负数定羲，a（b）N但【a（-b）ab保依互换括号及登號之常用代敷法则而得：［a(--abab因此ab&N，由是，面有下列定理：【定理1·1】正数a及贡b之乘ab，為—贫。同樣，如aeN，而bN，依表l，-aeP，雨-beP。故依原理，其精（）（b）。但依代数法则（α）（-b=ab，因此abP故得此定理：【定理1·2】雨資敷α及b之乘精ab，為一正。特别，依此最俊定理及原理卫，除零以外，任何實数之平方，篇一正敷。当然，0°=0，由是，而得全部不等式理中，最簡罩而極有用之定理如下：【定理！·3任何数a，足不等式α≥0。如而如a=0，、等號始成立
不等式61·7“正”興“食”現在，已知原理I及直之作用。而樂於由之學督，决定非零寞数，何者鹰於正数集合P，及何者厨於貢数集合N一一如前未得知！欲明乎此，且将引號置於“正”及“資”上，以示资料所来自之原理。慈由数4=1开始。因a半0，由定理1·3随而a?0。由是a為“正”但是α"±12=1如是，1為“正”。其灰，且試a=2，因现已决定1窝正”：因1+1=2，且因依原理Ⅱ，雨“正”敷之和為”正”，随而2需“正”。1，则2a=1。由是，“正”数2及数a之，為“正”数现令211。但如α為资”，2奥α之精，依定理1·1而“食”。因此a=2愿為*正”。11均正”，故依表1，数目-1，一号，一2 均由是，数目1，2，4贺梦。24之，能题示整数3，4等等：分数/3，1/4等等：及分数一3'33，5等等，均篇“正”，而由是-3，-4，I等等均“資”。故對3’4'4任何非零有理数，能决定其是否為“正”或“貢”。最俊，用於定义無理之有限作业，能用於决定關於有理数之何者為“正”，及何者為“负”，一已知無理数，於實数完全满足原理I及Ⅱ之場内，是否為“正”或“貨”。将不群讨無理數；因其有興趣之，於新数享文库之，尼文（IvanNiven）所著“有理数及無理数”一书可。智題1.赠圖於右向水平数目刻度綫上，以示表示下列諾敷之各无：
7第一童基本知3,-1，0,-1.5,元-3,V2,2，-2，-3龄增加顺序，重春諾敏，以形如α<b<之遵不等式，提出结果。如説明错，置一籁龄e，以得：2(a) --3eN,(f) αeN,(b) 0=P,(g) (a*+1)sP,(c) 50,(h) -2*eP,(d) V2 eN,(i) (a*+1)e0,(e)(☆-3)eP,G) -3eP。3.各空白，填以P，N，O，伴得真寳説明秸果：4849(a)(f)7 -- 4(2)(6) e2732737217211)- 93(72) e93(72+(b)(g)8388372(e) -23 - =251)+93(72)8(h)93(72-323222+3-12+号）(d) 二23 ~ -23(i)32334+54521()(e)(-3)*-3*-24於各空白，填以>，<，或二，以得真说明籍果：4849(a)) 74(2)(6),2732737217211)93(72 +93(72)(6)(g)8388372-25(c) "-231)(h)93(7293(72)232322+31(2+-)23-23(i)(d)2'4454+53233
等式临不811(-3)2()33() --22复者查T，认者查F：5.(f)(a) -2≥-3-1≤23<3(6)0≤0(g)2432N-(h)(c)0>-155<↓(d)()1 2* <-2*231<-1(e)G) 1<0236查出下列各数之颈”值：0-e,0,V6t-4ac—2，3一元，（3元）17、填上空白，提供肯定開係，同找於说明之“颈”调係：(a)atbab(d)atbab(e) ab,ab(b)a+b,a6)ab,ab。(c)ab,ab,&避明各正数P，大於各资数n9.對雨真数a及b，如能證明a≥b及≤b，所能获致之罩一粘為何？10.證明，由原理Ⅱ，如4，，4，，.,為正，则和4，+，++a，及横a,a，a。均正。用享柄法行之。（見师26意见）11.用原理I与Ⅱ，发明号為一*正”数