前言数誉被為重葆之科艺；即数享家道人證贵，浪费时間，去證明等於其本身之事物。此说法（出身某哲享家）有雨黏不正確。第一，数享雞於科擎说法而非科拿，然其為一創造藝。第二，敷學之基本结果，其為等式（egualities）常母等為不等式（inequalities）以莅各章，将於三方面提出不等式理。第一，於一，二，三章純為原理方面。第二，於第四章，利用以前各章成果，遵出分析之基本不等式，常念實用敢享家再使用之结果。松第五章，題示如何使用此等结果，出計多有趣而重要之綫何基本對，極大頭極小性質：平方，立方，等遗兰角形，如此類推。最筱，於第六章，研究某些距離性質，亚展示常見之某些距数。由是，有多方面興味之题材，可一供或分别。有些護者，希望瞭解高深敷享基之原理性途。将欣赏開首三章。此外，於第三章，有計多配合不等式之精彩圖形。其他额者，樂於立时將公懿之结果，用於更具分析性之果，将获現第四章為有趣。有些人對能用於解决以往由微精分方法魔理之周题的基本不等式，特别感到興趣，第五章將申之。者有興趣放觀念及定理之御者，可研瀛第六章所迹，某些特殊之非欧发里德距離。凡被本善内容鼓舞者，可读主题有阁之优秀著作，如哈定（G.HHardy）利脱漏德（J.E.Littlewood）及颇利（G，Polya）所著之1934年偷敦橘大馨版“不等式”一书。包含各種定理之较新著作為貝肯巴克：E.F.Beckenbach）及貝曼（R，Bellman）所著之“不等式”，及1961年柏树版之瓦来格（JutiuSprirerVerla）所著代数舆敷#”（ErgnitsenerMathematik）等书。著者
目绿汉序VI致護者，VI前言·X第一章基·本知識·1工具9第一草第三章韬對值21第四章典型不等式43第五章松大奥極小間題7595第六章距離之性質符號-109智题答案-111名對照表127
1第一章基本知戳“大於”關係11同想符号””意即“大放”或“篇大於”。而可同答周題3>2否？当然篇是。但是-3>2否？公-3，對於2，為“较大负”，但此说明未答爱题本意。如岚数（客，正，资，有理及無理敷）由水平面羧上，指向右方之字刻度各黏，依通常之綫何方式表示如圆1·1，别題示数目由左至右，侬序增值。表示－2之，出現於表示一3之黏右方，如是一2>-3同檬。(1. 1)4>-4，3>2，0>-2,-1>-2,1>0叶+-+竭 1.1 数刘度故有决定不等式之以下裁何法刚：令α及b，為由右向水平嫩目刻度上黏，表示之任實数。如而体如代表之點，位於代表6数之右方，始有a>b。能-3-2或～300>-2，但依撑前迹何规律，此均错认之说。於魔理不等式时，使用代数作業，较諾圆解，常能更富成果而较需要，裁何法刷提供正数之基本敏迹，亚有以下同羲之簡罩代定羲：【定菱】如a及b篇任两實数，则如而懂如a一b為正，始有a>b由是，如4=-2及6=-3，a6=-2（-3）=1，而為正，故2≥3，如以上何讨所示。可用現在之稚减代数法，考查（1-1）中不等式，亚用綫何法舆代敷法两者，驗證以下不等式：1>-40元>3，2>0，1>-9，V2>1，2
2不等式1。2正敷，负数，及零算合於前籁中，會用正，定‘>b之义。正集合P，及相似之爱敷集合N，以优有乏敷0篇数自乏特别集合0，放不等式研究中，均接任主要角色。其，当然要自由使用熟悉之宽数系统。全藍理之基本點，為實数系一所有代数不等式一中之一切顺序阅保，能對有翻正数集合P之其餘雨滴罩原理行之，此等原理，下節提示。以符號言，“a為正”，為“aP”，全额為“a為集合P之一份子（或元）”。由是，而有5P，0e0，一3&N。兹要察前迹集合P，N，及O舆其諾元。当然，数目零為集合0之体有数0：而满足方程式a+0=a以對任一實数a。有翻登数集合N，显分“爱数”靓念，英“一之贺”觀念，颜篇重要一a之贫，定為数日一α，以致(a)+(-a)=0由是，如a=-3，a之貢為-（→3）=3，因（-3）+（3）=0也。同楼，如a=0刚-=0，以0十0=0也。一贡数，定羲為一正数之资。由是而知3，1/2，9/5，元，V2均為正敷集合P之元，-3，1V2，-9/5，～元，-V2，均為登数集合N之元。不予正嫩基本念以定羲，但將以丽基本原理，描述此等目。13基本不等式原理下列简罩定则，包含正敷集合P，只作説明，而不作證；為原理（axioms）。可為循熟悉之實数體系代敷结榜，求不等式全部理获展，【质理I】如a為一實数，以下設明，一而优一為真為集合之唯-数月0：a篇正数集合P之-元；-a為集合P之元
第一章基本知識3【原理I1如a及，均為正集合P之元，则和α+及稚ab，均為集合P之元。原理I所攀三交错説明，随意實a，奥其資数一a相開如下：如α為雾，刚一雾，如前所示；如α為正，则依前迹定，一α創资；且如a為正，则復依資数定羲，a=-（a）瘾為骨。由是a与α，於集合P，N，及0中成對，如表1所示。表1成對目及其数自集数 合N0paP0N-Q於綫何示中（圆1·1），代表a及一a之點，重合於表示0之點或魔於该點相對之一侧。1●4原理I之重新碓立原理I舆正敷集合P相，而不等式4>b，定羲於集合P之项，兹以不等式保项，重新确立原理工。如a及b均随意宽，其差a一b，為一宝数如是原理工能蘑用於ab由是（a-b）郎b），或（ab）（郎a或-a一b）=（b-a）eP（即α<），而此三種可能性，互相排斥。故下列明，為原理I之秸果。【原理I"如a及6均宽，别以下翻保，一而懂一成立：a=ba>b，b>a特别是，原理I说明，於特别情况=0，即如a為一實数，则確只以下交朗保之一成立：a=0（a0），成>0（即aP），或0>a（即aeP）如是原理I，能由原理I引出。如一説明S能由一創其一籍果一说明T引出，乃日“T產生S”。已知原理I奎生原理I，而原理I'亦座生原理I。如説明各生其餘，乃其